小学奥数专题练习：数论（一）

小学奥数专题练习：数论（一）

一、单选题

1．如果形如的四位数能被9整除，那么这样的四位数的个数有（　　）

A．5个 B．9个 C．11个 D．12个

2．一个两位数是4的倍数，各个数位上的数字的和是9，这样的两位数有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

3．一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100．这个两位数字的各位数字的和是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

4．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是（　　）

A．1235 B．1245 C．2415

5．从1写到100，一共写了（　　）个数字“5”。

A．19 B．20 C．21 D．25

6．王红家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面铺方砖，请你帮忙选择其中一种方砖，使地面都是整块方砖．你的选择是（　　）

A．边长50厘米 B．边长60厘米 C．边长80厘米 D．边长100厘米

7．AB两只青蛙跳跃游戏，A每次跳10厘米，B每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一次掉进陷阱时，另一只距离最近的陷阱有（　　）厘米．

A．3 B．4 C．5 D．6

8．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

9．有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，那么，计算a×b×c的值应该是（　　）

A．120 B．210 C．1050 D．1260

10．一个两位数，其数字和是7．如果此数减去27，则两个数字的位置正好互换．原来的两位数是（　　）

A．61 B．52  C．43

二、填空题

11．写出一个二元一次方程，使它的一个解满足：：　     　

12．小强想了一个三位顺数，各个数字都不相同，而且个位数字等于十位与百位数字之和，那么这个数可能是多少？请写出一个符合条件的顺数，答案：　　     　 ．

13．整数除法，余数要比除数小．从1到1994各数都分别除以9，所有余数的和是　     　 ．

14．在1﹣12中任意取2个不同的数相乘，在得到的所有乘积中，能被6整除的数有　     　 个．

15．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1）是　        　 的平方．

16．两个数4000000004和5000000005的乘积的各位数字和是　     　 ．

17．一个自然数可以分解为三个质因数的积，如果三个质因数的平方和是7950，这个自然数是　     　 ．

18．在自然数1﹣﹣1000中不能被11和13整除的数有　     　 个．

19．22003与20032的和除以7的余数是　     　 ．

20．设三位数2A5和13B之积能被36整除，那么，所有可能的A+B之值的和是　     　 ．

三、解答题

21．324有几个因数？所有因数的和是多少？

22．因数和是指一个数所有因数的和，例如“6”的因数和是1+2+3+6=12．

（1）24的因数和是多少？

（2）一个自然数有5个因数，求因数和最小是多少？

（3）一个数的因数和是78，求这个数是多少？

23．求100以内有6个约数的数有那些？

24．幼儿圆买来一批糖，把它们分成若干份．如每份5块余下4块；每份4块余下3块；每份3块余下2块，问一批糖至少有多少块？

25．某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么，这三个年级演出节目数的所有不同情况共有多少种？

26．如图1中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是a．图2中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍．求这个自然数．

27．羊年的新春灯会上，人们将街道两旁挂满了灯笼，并在街道一侧从1开始按顺序编号，直到街尾，然后从对面的灯笼开始往回编号，到编号为1的灯笼对面结束．每个灯笼与对面灯笼恰好相对．若编号36的灯笼与编号65的灯笼相对，那么所有灯笼的号码和为多少？

28．一个三位数各个数位上的数字各不相同，当它的个位和百位颠倒后得到一个新三位数，新三位数减去原三位数后得792，问符合条件的三位数有哪些？

29．甲、乙、丙三班同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人，把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要有多少条船？

30．三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于﹖

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】A

4．【答案】C

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】B

11．【答案】2x+y=0

12．【答案】123

13．【答案】7971

14．【答案】29

15．【答案】7777777

16．【答案】8

17．【答案】890

18．【答案】840

19．【答案】5

20．【答案】29

21．【答案】解：因为324=22×34，

所以324=2m×3n，

其中m=0，1，2；n=0，1，2，3，4，

所以324的因数有：3×5=15（个）；

因为（1+21+22）×（1+31+32+33+34）的展开式就是324的15个因数，

所有因数的和是：

（1+21+22）×（1+31+32+33+34）

=7×121

=847

答：324有15个因数，所有因数的和是847．

22．【答案】解：60；31；45

（1）24=23×3，所以因数和为：（1+2+4+8）×（1+3）=60；

（2）5不能分解质因数了，这个自然数只能是某个数的5﹣1=4次方，这个数最小是24，因此因数和最小为：20+21+22+23+24=+1+2+4+8+16=31；

（3）78=2×3×13=6×13，分解各个因数，看是否能组成各个数（1+a+a2+a3+…）的形式相乘；

经试验，78=2×3×13，（1+1）×（1+2）×（1+3+9），2=1+1，不和题意舍去；

78=6×13，可以得出（1+5）×（1+3+9）符合要求，

所以这个数为：51×32=5×3×3=45；

23．【答案】解 因为这个数有6个约数，由于：6=（1+1）×（2+1）或6=5+1，

所以在100以内所求的数可以是：25=32，2×32=18，2×52=50，2×72=98，3×22=12，3×52=75，5×22=20，5×32=45，7×22=28，7×32=63，11×22=44，11×32=99，
13×22=52，17×22=68，19×22=76，23×22=92，共16个；

答 100以内有6个约数的数有32，18，50，98，12，75，20，45，28，63，44，99，52，68，76，和92共16个．

24．【答案】解：5、4和3的最小公倍数=5×4×3=60

60﹣1=59（块）

答：这批糖至少有59块．

25．【答案】解：1+2+3+4+5+6+7=28（种）；

答：这三个年级演出节目数的所有不同情况共有28种．

也可列举如下：

26．【答案】解：根据被除数=除数×商+余数，

由图1得所求的自然数为：8×[8×（8a+7）+1]+1，

由图2得所求的自然数为：17×（2a×17+15）+4，

由以上可得方程：

8×[8×（8a+7）+1]+1=17×（2a×17+15）+4，

 8×（64a+57）+1=17×（34a+15）+4，

 512a+457=578a+259，

 66a=198，

 a=3；

把a=3代入8×[8×（8a+7）+1]+1得：

8×[8×（8a+7）+1]+1=512a+457=512×3+457=1993．

答：这个自然数为1993．

27．【答案】解：（65﹣36﹣1）÷2=14（盏）

36+14=50（盏）

（36+65）×50

=101×50

=5050

答：所有灯笼的号码和为5050．

28．【答案】解：设原数百十个分别为a，b，c，

则原数为100a+10b+c，新数为100c+10b+a，

根据题意可列出等式得100c+10b+a﹣100a﹣10b﹣c=792，

即c﹣a=8，

c可取9，则a取1，

b可以有10种取法，

故符合题意的有10种，即109，119，129，139，149，159，169，179，189，199．

29．【答案】解：49、56、42的最大公约数是7，也就是船数；

每一条船上的人数：

49÷7+56÷7+42÷7，

=7+8+6，

=21（人）．

答：最少要有7条船．

30．【答案】解：168的因数有：1，2，3，4，6，7，8，12，14，21，42，56，84，168，

连续自然数只有6，7，8，

故这三个自然数的和：6+7+8=21．

故答案为：21．