九年级上册1.1 反比例函数优秀教案及反思

第1章   反 比 例 函 数

课题

＊ 1.1  反比例函数

本课（章节）需 6 课时 ，本节课为第 1 课时，为本学期总第 1 课时

教

学

目

标

1、知识与技能

理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.

2、过程与方法

经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.

3.情感与价值观：

培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.

重点

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.

难点

能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.

主备教师

教具

多媒体

课型

新授

教   学   过   程

个案修改

一、创设情境，导入新课

1．复习小学已学过的反比例关系，例如：

(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)

(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)

2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？

在小学，我们已经知道，如果两个量x，y满足xy=k（k为常数，k≠0），

那么x，y就成反比例关系.

我们这节课就来学习一下成反比例关系的函数--反比例函数.

二、合作交流，探究新知

动脑筋：（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.

（2）利用（1）的关系式完成下表：

（3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？

（4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？

（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？         

先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式.

我们已经知道，路程与速度、时间之间的关系式为，因此.

上述问题中路程s=3000m，因此选手的平均速度v（m/s）与所用时间

t（s）之间的关系式为.        ①

①式表明：当路程s一定时，每当t取一个值时，v都有唯一的一个值与它对应，因此平均速度v是所用时间t的函数。

由于当路程s一定时，平均速度v与时间t成反比例关系，因此，我们把这样的函数称为反比例函数.

【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数.

如在①式中明速度，v是所用时间t的反比例函数，3000是比例系数.                  

反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.例如在前面得到的中，t>0.

如图1-1，已知菱形ABCD的面积为180，设它

的两条对角线AC，BD的长分别为x，y.写出变量y与x

之间的函数表达式，并指出它是什么函数.

解：⸪菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，

⸫，                              图1-1

⸫xy=360（定值），即y与x成反比例关系.

⸫.

因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数.

三、针对练习，巩固提高

1、下列函数中，哪些一定是反比例函数，若是，写出其比例系数．

①y＝3x；②y＝(m为常数)；③y＝；④y＝－；⑤y＝－4x－1；⑥xy＝2.

【解析】：②中m2＋1≠0，故y＝是反比例函数；④中y＝－是反比例函数；⑤中y＝－4x－1＝－是反比例函数；⑥中xy＝2可变形为y＝，也满足定义．所以②④⑤⑥是反比例函数．①为正比例函数，③中y与x－2成反比例，但y不是x的反比例函数．求比例系数先将其化为y＝的形式，k即为比例系数．

【解答】：一定是反比例函数的有：②④⑤⑥；②y＝(m为常数)的比例系数为m2＋1，④y＝－的比例系数为－6，⑤y＝－4x－1的比例系数是－4，⑥xy＝2的比例系数为2.

【自我诊断】1.若函数y＝(m－1)x|m|－2是反比例函数，则m＝________.

【答案】-1.

点拨：由题意可得：，解得：m＝-1.

【方法总结】：(1)辨别一个函数是否为反比例函数，必须具备y＝(k为常数，k≠0)的形式，且比例系数不为0；(2)反比例函数可写成如下三种形式：①y＝，②xy＝k，③y＝kx－1，但要注意三种形式中都有k≠0.

2、已知反比例函数y＝－.

(1)写出这个函数自变量的取值范围；

(2)求当x＝－时函数的值；

(3)求当y＝2时自变量x的值．

【解析】：(1)中反比例函数的自变量x位于分母的位置，其取值范围为x≠0，(2)(3)中求函数和自变量的值，分别把已知量代入y＝－中即可求出结果．

【解答】：(1)x≠0；即函数y＝－自变量的取值范围为x≠0；

(2)把x＝－代入y＝－得，y＝－＝1.即当x＝－时，函数的值为1；

(3)当y＝2时，－＝2，解得x＝－.即当y＝2时，自变量x的值为－.

【自我诊断】2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)之间的函数关系是          ；其中自变量t的取值范围为          .

【答案】；.

【方法总结】：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但在实际问题中，应该根据具体情况来确定.

3、如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100米2的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD<CF)．设所利用的旧围栏CF的长度为x米，新围栏CD的长度为y米．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)若利用旧围栏12米，整修旧围栏的价格为1.75元/米，建新围栏的价格为4.5元/米，则计划修建费用应为多少元？

【解析】：可先利用面积把长与宽表示出来，再写出y与x之间的关系，再利用x＝12求出y的值．

【解答】：(1)∵S矩形CDEF＝CD·CF＝xy＝100，∴y＝(10<x≤25)．

(2)由(1)知，当x＝12时，y＝.计划修建费用为：1.75x＋4.5(x＋)＝6.25x＋＝6.25×12＋＝150(元)．即计划修建费用应为150元．

【自我诊断】 3.设一个菱形的面积是24，两条对角钱的长分别是x和y.

(1)求y与x之间的函数关系式，并判断属于什么函数；

(2)当其中一条对角线长x＝6时，求y的值．

【解答】(1)⸪

⸫，

故y是x的反比例函数；

（2）当x＝6时，

【方法总结】解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．

四、课堂小结，升华知识

（一）知识点小结

（二）解题策略：

（1）判断一个函数是不是反比例函数：首先要着两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的三种表达形式进行判断。

（2）利用反比例函数的定义求字母系数：根据自变量x的指数为-1列出关于字母系数的方程求解，另外，自变量x的系数中含有字母时，需注意系数不能为0.

五、反馈检查，完善自我

课本P3   练习第1、2题。

教

学

反

思

教学过程中，注重引导学生就生活实例展开联想，直观地感受数学的魅力所在．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．