数学九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质公开课第1课时教学设计

第3章   图形的相似

课题

3.4.2 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线性质

本课（章节）需 14 课时 ，本节课为第 9 课时，为本学期总第 27 课时

教学目标

1.理解并掌握相似三角形的基本性质.

2.学会运用相似三角形的高，中线和角平分线解题.

重点

理解并掌握相似三角形的基本性质

难点

学会运用相似三角形的高，中线和角平分线解题.

主备教师

教具

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课型

新授

教   学   过   程

个案修改

一、创设情境，导入新课

知识回顾:三角形全等与相似有那些性质？

①全等三角形的对应角相等，对应边相等，对应边上高、中线、角平分相等

②相似三角形对应角相等，对应边成比例.

◆类比猜测相似三角形对应边上的中线、高线、角平分线有什么性质？

二、合作交流，探究新知

1、探究一：猜测三角形相似对应边上高的比等于相似比

已知，如图△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A‘D’

类似的，我们可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比．

2、探究二：若把相似三角形对应边上的高改为对应角的角平分线、对应边上的中线，那么它们对应角平分线的比、对应中线的比等于多少？

如图△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k， BE、B’E’‘分别为对应角的角平分线， CF、C’‘F’’分别为对应边上的中线，

分组进行讨论与证明、

相似三角形对应边上的中线比等于相似比，

相似三角形对应角的角平分线的等于相似比

 思考

若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， AD、A′D′分别为对应边上的高，BE、B′E′，分别为对应角的角平分线， CF、C′F′分别为对应边上的中线，那么AD、A′D′，BE、B′E′，CF、C′F′之间有什么关系。

例1、如图AB//PQ，AB=100m,PQ=120m,点P、A、C在一条直线上，点Q、B、C也在同一直线上，若AB与PQ的距离是40m，

   求点C到直线PQ的距离

解析：求点C到直线PQ的距离就是求

点C到PQ直线垂线段的长度。关键是

过点C作直线PQ的垂线，在图中找出

垂线段是那一条线段。再根据垂线段与

三角形高的关系，平行有三角形相似，

相似有对应高的比等于相似比来求解

解：过点C作CD⊥PQ交延长线于D，交AB的延长线于E。

∵ AB//PQ

∴ CE⊥AB

   DE=40m

△ABC∽△CPQ

CD=240m

答：点C到直线PQ的距离为240m

总结：解这类题要注意将距离与高联系，利用相似三角形对应高的比等于相似比求解

例2、如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.

1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？

2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？

3)求正方形PQRS的边长.

1）解： AE是ΔASR的高.   

  理由：

 ∵AD是ΔABC的高

 ∴ ∠ADC=90°

 ∵四边形PQRS是正方形

∴SR∥BC

 ∴∠AER=∠ADC=90°

 ∴ AE是ΔASR的高.

2）解： ΔASR与ΔABC相似. 

 理由:

     ∵ SR∥BC

      ∴ ΔASR与ΔABC相似.

3）解：∵ ΔASR ∽ ΔABC

    AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高

    ∴         

    设正方形PQRS的边长为 x cm,

    则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm

     ∴                     

    ∴正方形PQRS的边长为24cm.

总结：利用相似三角形的对应边上高的比等于相似比和正方形的四边都相等是解决问题的关键。设正方形的边长为x能使问题变得简单。

思考：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？

解析：由于矩形的长与宽不确定性，要分情况进行讨论。

情况一：SR=2SP  S矩形PQRS= 2×4=8cm2

情况二：SP=2SR  S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2

总结：由于长和宽的不确定性，所以要分情况

进行讨论。再利用相似三角形的性质求解

三、针对练习，巩固提高

例3、如图所示，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，

求证：AD·B′E′＝BE·A′D′.

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，

设△ABC和△A′B′C′的相似比为k，

∵AD，BE分别是△ABC的高和中线，

A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，

∴AD·B′E′＝BE·A′D′.

方法总结：本题考查相似三角形对应高和中线的性质，解题时应从三角形的相似出发，寻找对应的比例关系解题.

4、如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m， CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是   m. 

四、课堂小结，升华知识

（一）知识点小结

相似三角形对应边上高的比、中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。

（二）解题策略：

利用相似三角形的性质解题时要找准相似三角形。

五、反馈检查，完善自我

课本P87   练习题第1、2题

教

学

反

思

教学过程中，就前几课时所学习的理论知识进行进一步深入探讨.要求学生能够灵活运用，因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，形成正确的数学思维和严密的逻辑性，进一步提升学生自主探究和创新的能力.