新高考高考数学一轮复习巩固练习7.9第64练《空间向量的概念与运算》（2份打包，解析版+原卷版）

第64练　空间向量的概念与运算

考点一　空间向量的线性运算

1．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A.a＋b－c   B．－a＋b＋c

C.a－b＋c   D.a＋b－c

答案　B

解析　因为点M在线段OA上，且OM＝2MA，所以＝a，

又点N为BC的中点，所以＝b＋c，

故＝－＝b＋c－a＝－a＋b＋c.

2．(2022·宜春模拟)设O－ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点M，则M为BC的中点，

＝(＋)＝(－2＋), ＝＝(－2＋)．

∵OG＝3GG1，∴＝3＝3(－)，

∴＝.

则＝＝(＋)

＝

＝＋＋，

∴x＝，y＝，z＝.

考点二　空间向量基本定理及其应用

3．下列命题中正确的个数是(　　)

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面；

③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc；

④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}是空间向量的一个基底．

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；

②当a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面或在同一平面内，故②错误；

由空间向量基本定理知③正确；

④当a，b不共线且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)时，a，b，c共面，故④错误．

4．(2022·厦门一中模拟)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为(　　)

A．0  B．2  C．－1  D．－2

答案　B

解析　因为＝－2＋5－m，

动点Q在△ABC所在平面内运动，

所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.

考点三　空间向量数量积及其应用

5．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，下列结论正确的有(　　)

A.⊥

B.⊥

C.是平面ABCD的一个法向量

D.∥

答案　ABC

解析　由题意，向量＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，

对于A，由·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，可得⊥，所以A正确；

对于B，由·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以⊥，所以B正确；

对于C，由⊥且⊥，可得向量是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；

对于D，由是平面ABCD的一个法向量，可得⊥，所以D不正确．

6．(2022·长治市第二中学月考)如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AC＝6，AB＝4，BD＝8，则CD的长为(　　)

A.  B．7  C．2  D．9

答案　C

解析　因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以·＝0，·＝0，因为二面角为60°，所以·＝||·||·cos 60°＝6×8×＝24，即·＝－24，所以||2＝2＝(＋＋)2 ＝

2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝36＋16＋64＋0－48＋0＝68，

所以||＝2，即CD的长为2.

7．已知a＝(5,3,1)，b＝，且a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________________________．

答案　∪

解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.

因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.

由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜.

若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，

即(5,3,1)＝λ，

所以

解得t＝－，即t<且t≠－，

所以t的取值范围是∪.

考点四　向量法证明平行、垂直

8．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,1,1)，则(　　)

A．l∥α

B．l⊥α

C．l⊂α或l∥α

D．l与α相交

答案　C

解析　∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,1,1)，

∴a·n＝0，即a⊥n，

∴l∥α或l⊂α.

9．(2022·杭州模拟)已知平面α的法向量为a＝(2,3，－1)，平面β的法向量为b＝(1,0，k)，若α⊥β，则k等于(　　)

A．1  B．－1  C．2  D．－2

答案　C

解析　由题知，a·b＝2＋0－k＝0，解得k＝2.

10．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________．

答案　(－1,0,2)

解析　由题意得＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，由⊥，得·＝x－1＋z＝0，

由⊥，得·＝－2x－z＝0，解得故点P的坐标为(－1,0,2)．

11．(多选)(2022·重庆市两江育才中学模拟)关于空间向量，以下说法正确的是(　　)

A．向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b

B．若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面

C．设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，a＋c}也是空间中的一组基底

D．若空间中四个点P，A，B，C，＝＋，则A，B，C三点共线

答案　BCD

解析　对于选项A，由a·b＝0，也可能是a＝0或b＝0，故错误；

对于选项B，因为对空间中任意一点O，

＝＋＋，

则(－)＋(－)＋(－)＝0，

整理得＝－2－3.

由空间向量基本定理可知点P，A，B，C四点共面，故正确；

对于选项C，由{a，b，c}是空间中的一组基底，则向量a，b，c不共面，

可得向量a＋b，b＋c，a＋c也不共面，所以{a＋b，b＋c，a＋c}也是空间中的一组基底，故正确；

对于选项D，若空间中四个点P，A，B，C，

＝＋，

可得－＝(－)，即＝，则A，B，C三点共线，故正确．

12．(多选)给出以下命题，其中不正确的是(　　)

A．直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直

B．直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α

C．平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β

D．平面α经过三个点A(1,0，－1)，B(0，－1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1

答案　BCD

解析　对于A，∵a·b＝2－1－1＝0，∴a⊥b，∴l与m垂直，A正确；

对于B，∵a与n不共线，∴直线l不垂直于平面α，B错误；

对于C，∵n1与n2不共线，∴平面α与平面β不平行，C错误；

对于D，＝(－1，－1,1)，＝(－1,3,0)，

由n·＝－1－u＋t＝0，n·＝－1＋3u＝0，解得u＝，t＝，∴u＋t＝，D错误．

13.如图，在三棱锥D－ABC中，已知AB＝2，·＝－3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为________．

答案　2

解析　设＝a，＝b，＝c，

∵AB＝2，∴|a＋b＋c|2＝4⇒a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝4，

又∵·＝－3，∴(a＋c)·(－b－c)＝－3⇒a·b＋b·c＋c·a＋c2＝3，

∴a2＋b2＋c2＋2(3－c2)＝4，

又AD＝a，BC＝b，CD＝c，

∴c2＝a2＋b2＋2，

∴＝≥＝2，

当且仅当a＝b时，等号成立，即的最小值是2.

14．(2022·福州模拟)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC1的长为________；异面直线BD1与AC夹角的余弦值为________．

答案　　

解析　设＝a，＝b，＝c，

由已知得，a·b＝，b·c＝，a·c＝，|a|＝|b|＝|c|＝1，

又＝a＋b＋c，

∴||＝＝＝.

∵＝b＋c－a，＝a＋b.

∴cos〈，〉＝

＝

＝.