新高考高考数学一轮复习巩固练习8.14第81练《圆锥曲线高考大题突破练——范围与最值问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 范围问题
1．(2022·南京模拟)已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)求向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的数量积；
(2)设eq \(FB,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→))，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．
解 (1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4.))
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2＝eq \f(16,16)－4＝－3.
∴向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的数量积为－3.
(2)由(1)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4.))
∵eq \(FB,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→))，∴y2＝－λy1.
将y2＝－λy1代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λy1＝4m，,－λy\\al(2,1)＝－4，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ2y\\al(2,1)＝16m2，,－λy\\al(2,1)＝－4，))
∴eq \f(1－λ2,－λ)＝－4m2，
∴4m2＝eq \f(1－λ2,λ)＝λ＋eq \f(1,λ)－2.
令f(λ)＝λ＋eq \f(1,λ)－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，
∴4m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(64,9)，\f(225,16)))，∴m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,9)，\f(225,64)))，
∴m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,8)，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(15,8))).
∴l在y轴上的截距－eq \f(1,m)的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(8,15)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,15)，\f(3,4))).
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq \f(\r(2),2)，原点到直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1的距离等于eq \f(2\r(3),3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3))，若椭圆C上总存在两个点A，B关于直线y＝x＋m对称，且3eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))<28，求实数m的取值范围．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(2),2)，,\f(1,\r(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))＝\f(2\r(3),3)，))得a2＝4，b2＝2, 所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)根据题意可设直线AB的方程为y＝－x＋n，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋n，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))整理得3x2－4nx＋2(n2－2)＝0，
由Δ＝(－4n)2－4×3×2(n2－2)>0，得n2<6.
设A(x1，－x1＋n)，B(x2，－x2＋n)，则x1＋x2＝eq \f(4n,3)，x1x2＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n2－2)),3) ，设AB的中点为M(x0，－x0＋n)，则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2n,3)，－x0＋n＝eq \f(n,3).
由于点M在直线y＝x＋m上，所以eq \f(n,3)＝eq \f(2n,3)＋m，得n＝－3m，代入n2<6，得9m2<6，
所以－eq \f(\r(6),3)因为eq \(QA,\s\up6(→))＝(x1，－x1＋n－3)，eq \(QB,\s\up6(→))＝(x2，－x2＋n－3)，所以eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝2x1x2－(n－3)(x1＋x2)＋(n－3)2＝eq \f(4n2－2,3)－eq \f(4nn－3,3)＋(n－3)2＝eq \f(3n2－6n＋19,3).
由3eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))<28，得3n2－6n＋19<28，
即－1所以－1<－3m<3，即－1由①②得－eq \f(\r(6),3)考点二 最值问题
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的离心率为eq \f(\r(6),3)，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形的面积为eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设与圆O：x2＋y2＝eq \f(3,4)相切的直线l交椭圆C于A，B两点(O为坐标原点)，求△AOB面积的最大值．
解 (1)由题意知，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，bc＝eq \r(2)，
解得a2＝3，b2＝1，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当AB⊥x轴时，|AB|＝eq \r(3)；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
由已知eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m)),\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，得m2＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1))，
把y＝kx＋m代入椭圆方程消去y，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋1))x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
有x1＋x2＝eq \f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2－1)),3k2＋1)，
|AB|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋k2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2))2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋k2))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(36k2m2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋1))2)－\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2－1)),3k2＋1)))
＝eq \f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋1－m2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋1))2)
＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9k2＋1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋1))2)
＝3＋eq \f(12k2,9k4＋6k2＋1)
＝3＋eq \f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k≠0))
≤3＋eq \f(12,2×3＋6)＝4，
当且仅当9k2＝eq \f(1,k2)，即k＝±eq \f(\r(3),3)时等号成立.
当k＝0时，|AB|＝eq \r(3) .
综上所述，|AB|max＝2，S△OAB＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)，从而△AOB面积的最大值为eq \f(\r(3),2).
4．(2022·汉中模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(1,0)，动点M满足|MA|＝4－|MB|.记动点M的轨迹为曲线C，直线l：y＝kx＋2与曲线C相交于不同的两点P，Q.
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上存在点N，使得eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(ON,\s\up6(→))(λ∈R)，求λ的取值范围．
解 (1)由已知可得|MA|＋|MB|＝4，
根据椭圆的定义得，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
∵2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(3).
∴曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0.
∵Δ＝16(12k2－3)>0，∴4k2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(xN，yN)，
则x1＋x2＝eq \f(－16k,4k2＋3)，x1x2＝eq \f(4,4k2＋3)，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－eq \f(16k2,4k2＋3)＋4＝eq \f(12,4k2＋3).
由eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(ON,\s\up6(→))易知λ≠0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xN＝\f(1,λ)x1＋x2＝－\f(16k,4k2＋3λ)，,yN＝\f(1,λ)y1＋y2＝\f(12,4k2＋3λ).))
又∵点N在椭圆上，∴3xeq \\al(2,N)＋4yeq \\al(2,N)＝12，
∴λ2＝eq \f(64k2＋48,4k2＋32)＝eq \f(16,4k2＋3).
又∵4k2>1，∴4k2＋3>4，
∴0即0<λ2<4.
∴λ的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．