新高考高考数学一轮复习巩固练习8.16第83练《探索性问题与圆锥曲线的综合问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 探索性问题
1．已知椭圆N：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点C(0,1)，且离心率为eq \f(\r(2),2).
(1)求椭圆N的标准方程与焦距；
(2)直线l：y＝kx－eq \f(1,3)与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数λ，使∠AMC＝λ∠ABC恒成立，并说明理由．
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \f(\r(5),2)，点P(4，eq \r(3))在C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点(1,0)的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得eq \(QM,\s\up6(→))·eq \(QN,\s\up6(→))为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
考点二 综合问题
3．已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，抛物线x2＝4eq \r(3)y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l交y轴于点M，且eq \(MA,\s\up6(→))＝λ1eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))＝λ2eq \(BF,\s\up6(→))，当m变化时，求证：λ1＋λ2为定值；
(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，请说明理由．
4．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(0，－eq \r(3))，直线AF2的倾斜角为60°，原点O到直线AF2的距离是eq \f(\r(3),4)a2.
(1)求E的方程；
(2)如图，过E上任一点P作直线PF1，PF2分别交E于M，N(异于P的两点)，且eq \(F1M,\s\up6(—→))＝meq \(PF1,\s\up6(—→))，eq \(F2N,\s\up6(—→))＝neq \(PF2,\s\up6(—→))，探究：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．