新高考高考数学一轮复习巩固练习10.5第91练《事件的相互独立性与条件概率》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 事件的相互独立性
1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,10) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
答案 C
解析 不超过2次就按对的概率为P＝eq \f(1,10)＋eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,5).
2．某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛．现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且每名同学每次投篮之间没有影响．现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为( )
A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.32
答案 B
解析 设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为
P＝P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)
＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.
3．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(2,5)，那么三人中恰有两人合格的概率是( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(7,15)
C.eq \f(11,30) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，所以三人中恰有两人合格的概率为
eq \f(1,3)×eq \f(3,4)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(3,5)＝eq \f(7,15).
4．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为( )
A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1
答案 A
解析 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，
若A射击一次就击落敌机，则他击中敌机的机尾，故概率为0.1；
若A射击两次就击落敌机，则他两次都击中敌机的机首，概率为0.2×0.2＝0.04；
或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 0.9×0.1＝0.09，
若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为
0．1＋0.04＋0.09＝0.23.
5．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为eq \f(5,6)，eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，eq \f(1,2)，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(12,25) D.eq \f(14,25)
答案 D
解析 第一种情况：该选手一次性通过前三关，进入第四关，
所以P1＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，
第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，
所以P2＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \f(3,5)＝eq \f(4,25).
所以该选手能进入第四关的概率为P1＋P2＝eq \f(14,25).
考点二 条件概率
6．甲、乙两人从1,2,3, …，15这15个数中，依次任取一个数(不放回)，则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(7,15) C.eq \f(9,14) D.eq \f(8,15)
答案 C
解析 设事件A＝“甲取到的数是5的倍数”，B＝“甲所取的数大于乙所取的数”，则P(A)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)，P(AB)＝eq \f(4＋9＋14,15×14)＝eq \f(9,70)，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(9,14).
7．甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，“甲独自去一个工厂实习”为事件B，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,8)
答案 A
解析 “3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，“甲独自去一个工厂实习”为事件B，则P(B)＝eq \f(C\\al(1,4)·32,43)，P(AB)＝eq \f(A\\al(3,4),43)，所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(A\\al(3,4),C\\al(1,4)·32)＝eq \f(2,3).
8．一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(2,9) C.eq \f(2,45) D.eq \f(8,45)
答案 D
解析 由题意可知第一次取出的是黑球，设为事件A，第二次取出红球设为事件B，则P(A)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)，P(B|A)＝eq \f(2,9)，所以第二次才取出红球的概率是P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(4,5)×eq \f(2,9)＝eq \f(8,45).
考点三 全概率公式
9．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(19,49) C.eq \f(20,49) D.eq \f(2,5)
答案 D
解析 设A1＝“第一人从袋中取一个黄球”，B1＝“第一人从袋中取一个白球”，A2＝“第二人从袋中取一个黄球”，则P(A1)＝eq \f(2,5)，P(B1)＝eq \f(3,5)，
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝eq \f(2,5)×eq \f(19,49)＋eq \f(3,5)×eq \f(20,49)＝eq \f(98,5×49)＝eq \f(2,5).
10．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(13,24) C.eq \f(7,12) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 设A＝“取甲袋”，B＝“取乙袋”，C＝“从取到甲袋中取一个白球”，D＝“从取到乙袋中取一个白球”．则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(5,12)，P(D)＝eq \f(2,3)，所以取到白球的概率为P(A)×P(C|A)＋P(B)×P(D|B)＝eq \f(1,2)×eq \f(5,12)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(13,24).
11．(多选)下列结论正确的是( )
A．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A))与Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A|B))的含义相同
B．若事件A，B相互独立，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B))
C．对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立
D．抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面朝上”为事件A，“第2枚为正面朝上”为事件B，则A，B相互独立
答案 BD
解析 P(B|A)指A发生的条件下B发生的概率，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A|B))指B发生的条件下A发生的概率，故A错；
当事件相互独立时，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B))，故C错．
12．某中学三大社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2020级高一新生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考试选拔进入“乐研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为eq \f(2,3)，a，b，已知三个社团他都能进入的概率为eq \f(1,36)，至少进入一个社团的概率为eq \f(19,24)，则a＋b等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,12)
答案 D
解析 根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)ab＝\f(1,36)，,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))1－a1－b＝\f(19,24)，))
可得a＋b＝eq \f(5,12).
13．(多选)在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )
A．A，B所在线路畅通的概率为eq \f(1,6)
B．A，B，C所在线路畅通的概率为eq \f(5,6)
C．D，E所在线路畅通的概率为eq \f(1,30)
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为eq \f(29,36)
答案 BD
解析 由题意知，5只箱子通电时保险丝被切断的概率分别为P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,4)，P(D)＝eq \f(1,5)，P(E)＝eq \f(1,6)，
所以A，B两只箱子畅通的概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，因此A错误；
D，E两只箱子并联后畅通的概率为1－eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＝1－eq \f(1,30)＝eq \f(29,30)，因此C错误；
A，B，C三只箱子混联后畅通的概率为1－eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6)，因此B正确；
根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为eq \f(29,30)×eq \f(5,6)＝eq \f(29,36)，因此D正确．
14．甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为eq \f(3,5)，设各局比赛相互间没有影响，则甲队战胜乙队的概率为( )
A.eq \f(9,25) B.eq \f(36,125) C.eq \f(81,125) D.eq \f(63,125)
答案 C
解析 甲队战胜乙队包含两种情况：①甲连胜2局，概率为P1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(9,25)，
②前两局甲队一胜一负，第三局甲队胜，概率为P2＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(36,125)，
则甲队战胜乙队的概率为P＝P1＋P2＝eq \f(36,125)＋eq \f(9,25)＝eq \f(81,125).