新高考高考数学一轮复习巩固练习2.11第16练《函数模型的应用》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 用函数图象刻画变化过程
1．如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
答案 D
解析 点E在射线OB上自O向右移动过程中，面积的增长先快，后慢，最后不变化，结合选项，只有选项D符合．
2．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水．则一定正确的论断是( )
A．① B．①② C．①③ D．①②③
答案 A
3．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
答案 ABC
解析 从图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用，该药物的血药浓度应大于最低有效浓度，药物发挥治疗作用，A正确；第一次服药后3小时与第2次服药1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，B正确，D错误；服药5.5小时后，血药浓度小于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，正好能发挥作用，C正确．
考点二 已知函数模型的实际问题
4.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时，口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
答案 C
解析 由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段，当t≥5时，函数的解析式为y＝80＋b，将(5,100)和(15,60)分别代入解析式y＝80＋b，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100＝80＋b，,60＝80＋b，))
解得a＝5，b＝20，
故t≥5时函数的解析式为y＝80＋20.
令y＝40，解得t＝25.
∴最少需要的时间为25 min.
5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)间的关系为P＝P0e－kt，如果在前5个小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h，参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30)( )
A．13 h B．15 h
C．18 h D．20 h
答案 B
解析 ∵前5个小时消除了20%的污染物，
∴(1－20%)P0＝P0e－5k，
即k＝－eq \f(ln 0.8,5)，
当污染物减少50%时，P＝(1－50%)P0＝0.5P0，
∴0.5P0＝，
∴t＝eq \f(5ln 0.5,ln 0.8)＝－eq \f(5ln 2,3ln 2－ln 10)≈－eq \f(5×0.69,3×0.69－2.30)＝15(h)．
6．某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1，))据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过__________小时后，学生才能回到教室．
答案 0.6
解析 当0≤t≤0.1时，y＝10t＝0.25，t＝0.025，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，
∴此时学生不能回到教室，
∴有y≤0.25＝eq \f(1,4)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1≤eq \f(1,4)，
∴t－0.1≥eq \f(1,2)，∴t≥0.6，
∴至少需0.6小时后，学生才能回到教室．
7．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示，
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：
①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________．
答案 ①
解析 符合条件的是①f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝2＋a＝4，得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合，
若模型为f(x)＝＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
考点三 构造函数模型的实际问题
8．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则每天应该从报社买进报纸( )
A．215份 B．350份
C．400份 D．250份
答案 C
解析 设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表．
则推销员每月所获得的利润
y＝[(60x＋7 500)＋(8x－2 000)]－60x
＝8x＋5 500(250≤x≤400，x∈N)，
又由y＝8x＋5 500在[250,400]上单调递增，
所以当x＝400时，y取得最大值8 700.
9.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润eq \f(y,x)＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，
∵x＋eq \f(25,x)≥10，即eq \f(y,x)≤2，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
10．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x>400，))则总利润最大时，该门面经营的天数是____________．
答案 300
解析 由题意，总利润
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300x－\f(1,2)x2－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400，))
当0≤x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.
综上，当x＝300时，总利润最大．
11．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款( )
A．413.7元 B．513.7元
C．546.6元 D．548.7元
答案 C
解析 依题意可得，因为168<200×0.9＝180，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．
当购买价值500元的物品时实际付款为500×0.9＝450>423，
所以购买B商品享受了9折优惠，
则B商品的原价为eq \f(423,0.9)＝470(元)．
若一次性购买两件商品则付款总额为168＋470＝638(元)，
则应付款(638－500)×0.7＋500×0.9＝546.6(元)．
12．已知某电子产品电池充满时的电量为2 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择，模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电200毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的eq \f(1,2t).现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的值可以是( )
A．6.6 B．7.6
C．8.6 D．9.6
答案 C
解析 由题意，模式A在待机t小时后电池内的电量为y＝－200t＋2 000.
设当前电量为Q，模式B待机t小时后电池内的电量为eq \f(1,2t)Q，
则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，其在待机10小时后的电量为eq \f(1,210－m)(－200m＋2 000)．
由eq \f(1,210－m)(－200m＋2 000)>2 000×5%＝100，
得eq \f(2,210－m)(10－m)>1，即2(10－m)>210－m.
令10－m＝t，则2t>2t，
当t＝1或t＝2时，2t＝2t，
当12t，
即1<10－m<2，即8所以m的值可以是8.6.
13.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq \r(3) 平方米，且高度不低于eq \r(3) 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
答案 2eq \r(3)
解析 由题意可得9eq \r(3)＝eq \f(1,2)(2BC＋x)·eq \f(\r(3),2)x，
∴BC＝eq \f(18,x)－eq \f(x,2)(2≤x<6)，
∴y＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)≥2eq \r(\f(18,x)×\f(3x,2))＝6eq \r(3).
当且仅当eq \f(18,x)＝eq \f(3x,2)(2≤x<6)，
即x＝2eq \r(3)时等号成立．
14．新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2020年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1,2,3月份的销售量分别为1.2千台，1.4千台，1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y(单位：千台)和月份x之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择：
①f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②g(x)＝pqx＋r(q>0，q≠1)，如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则估计5月份的销售量为________千台．
答案 3.2
解析 将(1,1.2)，(2,1.4)，(3,1.8)代入f(x)得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1.2，,4a＋2b＋c＝1.4，,9a＋3b＋c＝1.8，))得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＋b＝0.2，,5a＋b＝0.4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.1，,b＝－0.1，,c＝1.2，)) ∴f(x)＝0.1x2－0.1x＋1.2，
f(4)＝0.1×16－0.1×4＋1.2＝2.4，
将(1,1.2)，(2,1.4)，(3,1.8)代入g(x)得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(pq＋r＝1.2，,pq2＋r＝1.4，,pq3＋r＝1.8，))
整理得q＝eq \f(1.4－r,1.2－r)＝eq \f(1.8－r,1.4－r)，
解得r＝1，q＝2，p＝0.1，g(x)＝0.1×2x＋1，
g(4)＝0.1×24＋1＝2.6，
用两个模拟函数求出4月份的销售量，
f(x)更接近2.3千台，所以选择f(x)作为模拟函数，
f(5)＝0.1×25－0.1×5＋1.2＝3.2(千台)．x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.61
7.00
8.87
数量/份
单价/元
金额/元
买进
30x
2
60x
卖出
20x＋10×250
3
60x＋7 500
退回
10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－250))
0.8
8x－2 000