新高考高考数学一轮复习巩固练习2.5第10练《函数性质的综合应用》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 函数的单调性与奇偶性的应用
1．奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )
A．－10 B．15 C．10 D．9
答案 D
解析 由题意，得f(6)＝8，f(3)＝－1，又f(x)为奇函数，所以f(－3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝9.
2．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，4))，则ab等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D．0
答案 B
解析 因为f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
由f(x)是偶函数知，2a＋ab＝0，
解得a＝0或b＝－2，
若a＝0，
则f(x)＝bx2，其值域不为(－∞，4]，不符合题意；
若b＝－2，则f(x)＝ －2x2＋2a2，
由f(x)的值域为(－∞，4]知，2a2＝4，
所以a＝±eq \r(2)，
故ab＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\r(2)))－2＝eq \f(1,2).
3．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b答案 C
解析 奇函数f(x)在R上是增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
又g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(x)＝xf(x)是偶函数，
∴a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，
则2由g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(20.8)∴b4．设函数f(x)＝ln (1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
答案 A
解析 ∵f(x)＝ln (1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln 1＋x－\f(1,1＋x2)，x>0，,ln 1－x－\f(1,1＋x2)，x<0，))
当x>0时，f′(x)＝eq \f(1,1＋x)＋eq \f(2x,x2＋12)>0，
当x<0时，f′(x)＝eq \f(－x2＋12＋2x1－x,1－xx2＋12)<0，
且f(0)＝－1，易知f(x)在R上为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
∴满足f(x)>f(2x－1)成立时，只需|x|>|2x－1|，
解得x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
5．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0.
由题意可得y＝f(x)的图象如图①所示，
∵y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度得到(如图②)，
∴满足xf(x－1)≥0，即满足f(x－1)与x同号或二者至少有一个为0，
由图可得不等式xf(x－1)≥0的解集为[－1,0]∪[1,3]．
考点二 函数的对称性、周期性的应用
6．已知f(x)为定义在R上周期为2的奇函数，当－1≤x<0时，f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋1))，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝－1，则a等于( )
A．6 B．4 C．－eq \f(14,25) D．－6
答案 A
解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋1))＝－1，解得a＝6.
7．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x＋1)，f(1)＝－4，则f(2 023)等于( )
A．－4 B．4
C．8 D．16
答案 A
解析 由f(2－x)＝f(x＋1)得f(3－x)＝f(x)，即f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
从而f(6＋x)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且一个周期为6，所以f(2 023)＝f(1)＝－4.
8．已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当x∈(0,3)时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，则函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的( )
A．最小值为－eq \f(3,4)
B．最小值为－eq \f(7,8)
C．最大值为0
D．最大值为eq \f(7,8)
答案 A
解析 ∵函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，
∴f(6＋x)＝－f(－x)．
又函数f(x)为奇函数，∴f(6＋x)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为6的周期函数，
又函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，
故f(0)＝0，
f(－3)＝f(3)＝0，依次类推，f(3n)＝0(n∈Z)．
作出函数的大致图象，如图所示．
根据周期性可知，函数f(x)在区间[2 019，2 024]上的图象与在区间[－3,2]上的图象完全一样，可知函数f(x)在(－3,2]上单调递减，且f(－3)＝0，
∴函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的最小值为f(2 024)＝f(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－1＝－eq \f(3,4).
9．已知函数f(x)的定义域为R，直线x＝1和x＝2是曲线y＝f(x)的对称轴，且f(0)＝1，则f(4)＋f(10)＝______.
答案 2
解析 方法一 (定义法)
由y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
得f(－x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋x))，
同理得f(－x)＝f(4＋x)，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋x))＝f[2＋(2＋x)]，
所以f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋x))，
则f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10))＝f(0)＋f(0)＝2.
方法二 (性质法)
由直线x＝1和x＝2是曲线y＝f(x)的对称轴，
可得函数y＝f(x)的周期是2.
又f(0)＝1，则f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10))＝f(0)＋f(0)＝2.
10．若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋1，0≤x<1，,2－2x，x≥1，))若对任意的x∈[m，m＋1]，不等式f(1－x)≤f(x＋m)恒成立，则实数m的最大值为________．
答案 －eq \f(1,3)
解析 因为函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，函数f(x)单调递减，
所以当x<0时，函数f(x)单调递增，若对任意的x∈[m，m＋1]，
不等式f(1－x)≤f(x＋m)恒成立，则|1－x|≥|x＋m|，
即(1－x)2≥(x＋m)2，所以2(1＋m)x≤(1＋m)(1－m)．
当m＋1>0，即m>－1时，x≤eq \f(1－m,2)，所以m＋1≤eq \f(1－m,2)，解得m≤－eq \f(1,3)，所以－1当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式成立；
当m＋1<0，即m<－1时，x≥eq \f(1－m,2)，所以m≥eq \f(1－m,2)，解得m≥eq \f(1,3)，与m<－1矛盾，此时无解．
故－1≤m≤－eq \f(1,3)，则m的最大值为－eq \f(1,3).
11．(多选)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Z，,0，x∈∁RZ，))Z是整数集．下列四个命题中正确的是( )
A．f(f(eq \r(2)))＝1
B．f(x)是R上的偶函数
C．若∀x1，x2∈R，则f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)
D．f(x)是周期函数，且最小正周期是1.
答案 ABD
解析 因为函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Z，,0，x∈∁RZ，))Z是整数集，所以f(f(eq \r(2)))＝f(0)＝1，故A正确；由偶函数定义分x为整数和非整数可知B正确；取x1＝－0.1，x2＝0.1，则f(x1＋x2)＝f(0)＝1，而f(x1)＋f(x2)＝0，不满足，故C不正确；由周期函数的定义和图象可得最小正周期是1，故D正确．
12．(多选)已知定义在区间[－π，π]上的函数f(x)＝cs x－x2，则下列条件中能使f(x1)A．－π≤x1C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1))>|x2| D．xeq \\al(2,1)答案 AC
解析 ∵f(x)＝cs x－x2，
∴f(－x)＝cs(－x)－(－x)2＝cs x－x2＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数，
由单调性的性质易知，函数f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，
则要使f(x1)|x2|.
13．(多选)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(1－x)＝0，且f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)是周期函数
C．f(1)＝0 D．f(x＋1)是奇函数
答案 BCD
解析 ∵f(x＋1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))＝0，
∴f(x)关于点(1,0)对称，
令x＝0，有f(1)＝0，
且f(x＋1)由f(x)向左平移1个单位长度得到，
∴f(x＋1)关于(0,0)对称，
∴f(x＋1)是奇函数，
又f(x－1)是奇函数，所以f(x)关于(－1,0)对称，
∴f(x－3)＋f(1－x)＝0,
则f(x－3)＝f(x＋1)，
∴f(x)＝f(x＋4),
即f(x)是以4为周期的周期函数，
综上，选项BCD正确，A错误．
14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足以下条件：①f(2－x)＝f(2＋x)，②f(x)在区间(0,2]内单调递增，③f(1)＝0，则以下判断正确的是________．(填序号)
①f(x)是周期函数，最小正周期是8；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)在区间[－5,5]上有9个零点；
④当x∈(－3，－1)时，f(x)>0.
答案 ①②③
解析 由f(2－x)＝f(2＋x)知函数图象关于直线x＝2对称，②正确；
由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，对称中心为(0,0)，
且f(－x)＝－f(x)．
由于f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋8))＝f[2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋6))]＝f[2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋6))]
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－4))＝－f(x＋4)＝－f[2＋(x＋2)]
＝－f[2－(x＋2)]＝－f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是周期为8的周期函数，①正确；
画出函数f(x)的大致图象如图所示，
由图可知f(x)在区间[－5,5]内零点有9个，③正确；
当x∈(－3，－1)时，f(x)<0，④错．