新高考高考数学一轮复习巩固练习2.3第08练《函数的单调性与最大(小)值》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 确定函数的单调性(区间)
1．下列函数中，在[1，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝(x－2)2 B．y＝|x－1|
C．y＝eq \f(1,x＋1) D．y＝－(x＋1)2
答案 B
解析 对于A，因为y＝(x－2)2在[2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2]上单调递减，故A错．
对于B，因为y＝|x－1|在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，故B对．
对于C，因为y＝eq \f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递减，故C错．
对于D，因为y＝－(x＋1)2在[－1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1]上单调递增，故D错．
2．函数f(x)＝(6－x－x2)的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))
答案 B
解析 由题意知f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，2)).
令t＝－x2－x＋6，
则函数t在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))上单调递减．
又y＝在其定义域上单调递减．
故由复合函数的单调性知原函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)).
3．已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是( )
A．单调递增区间是(0，＋∞)
B．单调递减区间是(－∞，－1)
C．单调递增区间是(－∞，－1)
D．单调递增区间是(－1,1)
答案 D
解析 因为函数f(x)＝－x|x|＋2x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，)) 作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
4．(多选)已知函数f(x)＝x＋eq \f(m,x)，下列说法正确的是( )
A．m＝－1时，f(x)在(－∞，0)上单调递增
B．m＝1时，f(x)在(0,1)上单调递减
C．m<0时，f(x)在定义域上单调递增
D．m>0时，f(x)在(eq \r(m)，＋∞)上单调递增
答案 ABD
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当m<0时，y＝x与y＝eq \f(m,x)都是增函数，故f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确，C错误；
当m＝1时，f(x)＝x＋eq \f(1,x)，作出y＝x＋eq \f(1,x)的图象(图略)，可知f(x)在(0,1)上单调递减，故B正确；
当m>0时，f′(x)＝1－eq \f(m,x2)＝eq \f(x2－m,x2)，
x∈(eq \r(m)，＋∞)时，x2－m>0，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(eq \r(m)，＋∞)上单调递增，故D正确．
考点二 函数单调性的应用
5．若函数f(x)＝eq \f(ax＋1,x＋2)(a∈Z)在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 f(x)＝eq \f(ax＋2－2a＋1,x＋2)＝a－eq \f(2a－1,x＋2).
因为f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，所以2a－1>0，即a>eq \f(1,2).
因为a∈Z，
所以a的最小值为1.
6．已知函数f(x)，满足对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若f(2a)>f(6－a)，则a的取值范围是( )
A．(0,2) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 依题意，f(x)在R上单调递增，
因为f(2a)>f(6－a)，所以只需2a>6－a，
解得a>2.
7．若函数f(x)＝ex－e－x＋sin 2x，若a＝f(lg23)，b＝，c＝f(2－2)则a，b，c的大小为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．b>a>c
答案 B
解析 f′(x)＝ex＋e－x＋2cs 2x≥2＋2cs 2x≥0恒成立，
所以f(x)为R上的增函数；
因为lg23∈(1，＋∞)，＝－lg32∈(－1,0)，2－2＝eq \f(1,4)，
所以所以f(lg23)>f(2－2)>，
故a>c>b.
8．已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(13,4))) B．(－∞，－3)
C．(－3，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,4)，＋∞))
答案 D
解析 依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(13,4)(－1≤x≤2)，当x＝eq \f(3,2)时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(13,4)，因此a>eq \f(13,4).
9．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c(b∈R，c∈R)，M，N分别是函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值，则M－N的最小值为( )
A．2 B．1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析 当－eq \f(b,2)≤－1，即b≥2时，M－N＝f(1)－f(－1)＝2b≥4；
当－eq \f(b,2)≥1，即b≤－2时，M－N＝f(－1)－f(1)＝－2b≥4；
当－1<－eq \f(b,2)≤0，即0≤b<2时，M－N＝f(1)－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))＝1＋b＋eq \f(b2,4)≥1；
当0<－eq \f(b,2)<1，即－21.
综上所述，M－N的最小值为1.
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2ax＋12，x≤1，,x＋\f(4,x)＋a，x>1，))若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是________________．
答案 [3，＋∞)
解析 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2ax＋12，x≤1，,x＋\f(4,x)＋a，x>1，))可得当x>1时，f(x)＝x＋eq \f(4,x)＋a≥2eq \r(x·\f(4,x))＋a＝4＋a，当且仅当x＝2时，f(x)取得最小值4＋a，
当x≤1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－a))2＋12－a2，
若a≥1，f(x)在(－∞，1]上单调递减，
可得f(x)≥f(1)＝13－2a，
由于f(x)的最小值为f(1)，所以13－2a≤4＋a，
解得a≥3；
当a<1时，f(x)在x＝a处取得最小值，与题意矛盾．
综上，实数a的取值范围是[3，＋∞)．
11．(多选)已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是( )
A．对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0
B．对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq \f(gx1－gx2,x1－x2)<0
C．f(x)有最小值，无最大值
D．g(x)有最小值，无最大值
答案 ABC
解析 对于A, f(x)＝ex－e－x中，y＝ex为增函数，y＝e－x为减函数，
故f(x)＝ex－e－x为增函数，
故对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，故A错误；
对于B，易得反例g(1)＝e1＋e－1，g(－1)＝e－1＋e1＝g(1)，
故eq \f(gx1－gx2,x1－x2)<0不成立，故B错误；
对于C，因为f(x)＝ex－e－x为增函数，且当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
故f(x)无最小值，无最大值，故C错误；
对于D, g(x)＝ex＋e－x≥2eq \r(ex·e－x)＝2，
当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，
当x→＋∞时，g(x)→＋∞；当x→－∞时，g(x)→＋∞，故g(x)有最小值，无最大值，故D正确．
12．(多选)定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“Z函数”，以下函数中是“Z函数”的是( )
A．y＝－x2＋1
B．y＝3x－2sin x－2cs x
C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln |x|，x≠0，,0，x＝0))
D．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,－x2＋x，x<0))
答案 BD
解析 ∵x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
∴(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，故Z函数在R上单调递增，
对于选项A，y＝－x2＋1在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，故A不正确；
对于选项B，y′＝3－2cs x＋2sin x
＝3＋2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))>0，
∴此函数在R上单调递增，故B正确；
对于选项C，函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln |x|，x≠0，,0，x＝0))在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减，故C不正确；
对于选项D，函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,－x2＋x，x<0))在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递增且函数连续，可判断出此函数在R上单调递增，故D正确．
13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于任意x∈[1,2]恒成立，则a的最大值为________．
答案 －1
解析 由于f(x)满足f(x)＝f(－x)，
可知f(x)的图象关于y轴对称，
∵f(x)在(－∞，0]上单调递减，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
根据f(x)的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1,2]上恒成立，
得－eq \f(3,x)≤a≤－eq \f(1,x)在[1,2]上恒成立，
∴－eq \f(3,2)≤a≤－1，故a的最大值为－1.
14．已知函数f(x)＝ax＋eq \f(1,a)(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，则g(a)的最大值为________．
答案 1
解析 f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))x＋eq \f(1,a)，
当a>1时，a－eq \f(1,a)>0，
此时f(x)在[0,1]上单调递增，
∴g(a)＝f(0)＝eq \f(1,a).
当0此时f(x)在[0,1]上单调递减，
∴g(a)＝f(1)＝a.
当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.
∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，0∵g(a)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
∴当a＝1时，g(a)取得最大值1.