初中数学冀教版九年级上册24.4 一元二次方程的应用第2课时教案设计

24．4  一元二次方程的应用第2课时  增长率问题

1．会列一元二次方程解决有关平均变化率的实际问题；（重点）

2．进一步经历“问题情境－－－建立模型－－－求解－－－－解释与应用”的过程，获得更多地运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解决实际问题的步骤和关键．（难点）

一、情境导入

向阳村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．

二、合作探究

探究点：用一元二次方程解决增长率问题

【类型一】下降率问题

  近年来随着中央坚持“房住不炒”的原则，某四线城市商品房的价格开始呈现下降趋势，2017年某楼盘平均售价为5000元/平方米，2019年该楼盘平均售价为4050元/平方米．如果该楼盘2018年和2019年楼价平均下降率相同，求楼价2018年到2019年的下降率．

解析：设2018年、2019年的年下降率为x，那么2018年的楼价为5000（1－x）元/平方米，2019年的楼价为5000（1－x）2元/平方米，即为4050元/平方米．

解：设楼价2017年到2019年的年平均下降率为x．根据题意，得5000（1－x）2＝4050，则（1－x）2＝0．81，解得x1＝0．1＝10%，x2＝1．9（不合题意，舍去）．故楼价2017年到2019年的年下降率为10%．　　

方法总结：解决平均增长率（或降低率）问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率（或降低率）为x，则两年后的值为a（1±x）2．由此列出方程a（1±x）2＝b，求出所需要的量．

【类型二】增长率问题

  某工厂一种产品2018年的产量是100万件，计划2020年产量达到121万件．假设2018年到2020年这种产品产量的年增长率相同．

(1)求2018年到2020年这种产品产量的年增长率；

(2)2019年这种产品的产量应达到多少万件？

解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2019年产量的表达式即可解决．

解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意，得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0．1，x2＝－2．1(舍去)．

答：这种产品产量的年增长率为10%；

(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．

答：2019年这种产品的产量应达到110万件．

方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均变化率为x（x＞0），增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数，即实际所求为下降率时，降低后的结果为a(1－x)n．

探究点二：用一元二次方程解决累计增长率问题

  某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．

(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；

(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)

解析：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月的收入之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入－一次性支付640万元≥旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．

解：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2．∴2月、3月生产收入的月增长率为20%；

(2)设m个月后（m＞3），使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得m≥12．∴使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．

方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．

三、板书设计

一元二次方程解决平均变化率问题：

1． 平均增长率（下降率）问题：

  平均增长率问题中的数量关系

2． 增长率问题的综合运用

教学过程中，强调解决有关增长率问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍． 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．