冀教版九年级上册25.7 相似多边形和图形的位似第2课时教学设计

25．7  相似多边形和图形的位似第2课时  位似图形

1．了解位似图形的有关概念，了解位似与相似的联系和区别；（重点）

2．理解位似图形的坐标变化规律，会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；（重点）

3．能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形．（难点）

一、情境导入

生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．观察下图，图中有相似的多边形吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？

二、合作探究

探究点一：位似图形的判定

如图，指出下列各图中两个图形是否是位似图形？若是，请指出位似中心．

解：（1）（2）（4）三图中的两图形都是位似图形，位似中心分别为A，P，P．

方法总结：解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点．若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断（1）（2）（4）是位似图形，（3）不是位似图形．

变式训练：见《学练优》本课时练习第3题．

探究点二：位似图形的性质

【类型一】 确定位似中心的坐标

  如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（　　）

A．（1，0）  B．（0，1） C．（－1，0）  D．（0，－1）

解析：如图，位似中心的坐标为P（0，－1）．故选D．

方法总结：位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

【类型二】 利用位似求点的坐标

   线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为(　　)

A．(3，3)      B．(3，3)或（－3,－3）

C．(－4，1)    D．(4，1)

解析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的或 －，∴端点C的坐标为(3，3)或(－3，－3)．故选B．

方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)．

变式训练：见《学练优》本课时练习第8题

【类型三】 利用位似的性质进行证明或计算

   如图，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6．

（1）若AC＝5，求A′C′的长；

（2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积．

解：（1）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为OB：OB′＝3：6＝1：2，

∴＝，即＝.

∴A′C′＝10；

（2）根据题意，得＝（）2＝，即＝，∴S△A′B′C′＝7×4＝28．

方法总结：位似多边形是一种特殊的相似图形，图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，可利用相似三角形的性质解决有关问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习第2题．

探究点三：位似作图

【类型一】 画位似图形

  按要求画位似图形：

(1)图①中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；

(2)图②中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的．

解析：(1)连接OA、OB、OC并分别延长使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO，顺次连接D、E、F就得出图形；(2)连接OA、OB、OC，作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ，连接OM，作NF∥OM交OC于F，再依次作EF∥BC，DE∥AB，连接DF，就可以得出图形．

解：(1)如图①，画图步骤：①连接OA、OB、OC；②分别延长OA至D，OB至E，OC至F，使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO；③顺次连接D、E、F，∴△DEF是所求作的三角形；

(2)如图②，画图步骤：①连接OA、OB、OC；②作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ；③连接OM；④作NF∥OM交OC于F；⑤再依次作EF∥BC交OB于E，DE∥AB交OA于D；⑥连接DF，∴△DEF是所求作的三角形．（注意：画位似图形时若无其他要求，一般有“正向”“反向”两种画法）

 方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

【类型二】  在平面直角坐标系中画位似图形

如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．

(1)以点M为位似中心，位似比为2，在网格中画出将△ABC放大的位似图形△A′B′C′；

(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．

解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．

解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；

(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．

方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．

变式训练：见《学练优》本课时练习第7题

三、板书设计

1．位似图形的定义及性质

2．位似变换的坐标特征：

关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)．

位似是相似图形的延伸和深化．经历位似图形的探索过程，感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣．位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的联系．