2021-2022学年北京市大兴区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市大兴区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 若菱形两条对角线的长分别为和，则此菱形面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图象中不能表示是的函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 某校学生参加区诗词大赛预选赛，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如下表，如果从这四位同学中选出一名总体水平高且成绩稳定的选手晋级，你会推荐(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 如图，菱形中，，，点，分别是边，的中点，动点从点出发，按逆时针方向，沿，，匀速运动到点停止，设的面积为，动点运动的路径总长为，能表示与函数关系的图象大致是
   (    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，，为的正方形网格中的两个格点，在此图中以，为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 写出一个随的增大而增大的正比例函数解析式：______．
11. 一次函数的图象与轴的交点坐标是______．
12. 如果将一次函数的图象向下平移个单位，那么所得图象的函数解析式是______．
13. 已知，一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则不等式的解集为______．
14. 现有名同学的身高分别为，，，，单位：厘米，增加名身高为的同学后，这名同学身高的平均数和方差与原来相比，平均数______填“变大”、“变小”、“不变”，方差______填“变大”、“变小”、“不变”．
15. 如图，点是正方形的对角线上一点．，，垂足分别是，，，则______．

16. 已知直线与直线关于轴对称．当时，，当时，，则直线______．

三、解答题（本大题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
    求点的坐标；
    当时，直接写出的取值范围．

19. 本小题分
    在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点．
    求这个一次函数的解析式：
    若点是轴上一点．且的面积是求点的坐标．
20. 本小题分
    如图，在▱中，对角线，交于点，且点，分别是，的中点，连接，，，．
    求证：四边形是平行四边形．

21. 本小题分
    下面是小明同学设计的“已知两条对角线长作菱形”的尺规作图过程．
    已知：如图，线段．
    求作：菱形，使得对角线，．
    作法：如图．
    作射线，并在射线上截取；
    作线段的垂直平分线，交于点；
    以点为圆心，为半径作弧，交于点，：
    连接，，，．
    则四边形为所求作的菱形．
    用直尺和圆规，依作法补全图中的图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明：
    证明：由作图可知，．
    为线段的垂直平分线，
    
    ，
    四边形是平行四边形______填推理的依据．
    又，是菱形______填推理的依据．

22. 本小题分
    某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量单位：根据调查结果，绘制出统计图和图．
    
    请根据相关信息，解答下列问题：
    本次接受调查的家庭个数为______，图中的值为______；
    调查的这些家庭月均用水量的众数是______，中位数是______；
    求调查的这些家庭月均用水量的平均数．
23. 本小题分
    已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点
    求，的值；
    点在直线上，过点作轴的平行线，交直线于点，若，求点的坐标．
24. 本小题分
    已知学校、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离学校，图书馆离学校李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校，给出的图象反映了这个过程中李华离学校的
    距离单位：与离开学校的时间单位：之间的对应关系．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    
    填表：

当时，请直接写出关于的函数解析式；
当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为______

25. 本小题分
    如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点，分别为，延长线上的点，且，，连接，为的中点，连接，交于点，连接．
    求证：是的中点；
    求的长．

26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴正半轴交于点，且
    求这个一次函数的解析式；
    当时，函数的值与一次函数的值相等，求的值；
    当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．

27. 本小题分
    在正方形中，点在射线上不与点，重合，连接，，过点在的左侧，作且使，连接．
    如图，点在边上．
    依题意补全图；
    求证：；
    如图，点在边的延长线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．

28. 本小题分
    对于平面直角坐标系中的点和四边形，给出如下定义：若在四边形上存在一点，使得，两点间的距离小于或等于，则称为四边形的“关联点”．
    如图，已知点．
    在点，，中，四边形的关联点是______；
    点为直线上一点．
    若直线：过点，点是四边形的关联点，求点的横坐标的取值范围；
    若直线：上，不存在点是四边形的关联点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：．
故选：．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
 

4.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，不是有唯一的值和它对应，所以不能表示是的函数，故B符合题意；
C、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，判断即可．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的，
该直线经过第一、三象限．
又，
该直线与轴交于负半轴，
一次函数的图象经过一、三、四象限，即该函数不经过第二象限．
故选：．
根据直线的、的符号判定该直线所经过的象限．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于甲的方差较小、平均数较大，则应推荐甲．
故选：．
此题有两个要求：成绩较好，状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛，从而得出答案．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意当点在点时，过点作于，如图：

四边形是菱形，，，
点是边的中点，
，
，
当时，，
当点由向运动时，的面积匀速增加，
当点与点重合时面积达到最大，
此时，
当由向时，的面积保持不变，
当由向运动时，的面积匀速减小，
当点与点重合时，此时．
故选：．
根据题意分析的面积的变化趋势即可．
本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象的性质，分析动点到达临界点前后函数值变化是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，以为对角线的平行四边形有个，以为边的平行四边形有个，
共有个，
故选：．
根据平行四边形的判定作出图形，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：，解得．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，再解不等式即可．
主要考查了二次根式有意义的条件．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
由随的增大而增大，可得出，取即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
【解答】
解：随的增大而增大，
，
符合题意．
故答案为：答案不唯一  

11.【答案】 

【解析】解：当时，，
一次函数的图象与轴的交点坐标是．
故答案为：．
代入求出值，由此即可得出一次函数图象与轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记一次函数，且，为常数的图象与轴的交点坐标是是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将一次函数的图象向下平移个单位，所得图象的函数解析式为：，
化简得，．
故答案为：．
将一次函数的图象向下平移个单位，即函数值减去，可得平移后函数解析式．
本题主要考查一次函数图象与几何变换，根据已知直线的解析式求得平移后的解析式．
 

13.【答案】 

【解析】解：随自变量的增大而减小，
当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：．
利用一次函数的性质，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
 

14.【答案】不变  变小 

【解析】解：原数据的平均数：，
方差：，
新数据的平均数：，
方差：，
所以平均数不变，方差变小，
故答案为：不变，变小．
根据平均数的计算方法分别计算出名同学和名同学的平均数，再分别计算出方差，可得答案．
本题考查了方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的定义和计算公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，，
四边形为矩形，
，
．
故答案为：．
如图，连接，利用正方形的性质可以证明≌，然后证明四边形为矩形，最后利用矩形的性质即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了全等三角形的性质与判定，有一定的综合性．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线与直线关于轴对称．当时，，当时，，
直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，，
，
，
直线，
故答案为：．
根据题意得到直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，，进而得到，解得，即可求得的解析式．
本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，能够理解题意，明确直线与轴的交点为是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先计算零指数幂、开方、负整数指数幂及绝对值，再合并即可．
此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

18.【答案】解：解方程组得，
点的坐标为；
由函数图象可得当时，． 

【解析】通过解方程组得点的坐标；
结合函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
 

19.【答案】解：设一次函数的表达式为，
把点与点代入得：，
解得：，
此一次函数的表达式为：；
点，点，
，
的面积是．
，即，
，
点的坐标为或． 

【解析】设一次函数的表达式为，把点和点的坐标代入求出，的值即可；
根据三角形面积求得的长，进而依据的坐标即可求得的坐标．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质可求得、，再结合、为中点，可求得，则可证得四边形为平行四边形．
本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 

21.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形  对角线互相垂直的平行四边形是菱形 

【解析】解：如图，四边形即为所求；


证明：由作图可知，．
为线段的垂直平分线，
，
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
又，是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
根据菱形的定义作出图形即可；
根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
 

22.【答案】       

【解析】解：本次接受调查的家庭个数为：个；
，即；
故答案为：，；

出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是；
将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数是．
故答案为：，；

这组月均用水量数据的平均数是，
根据每月用水的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水的户数除以总户数，即可得出的值；
根据众数和中位数的定义即可求解；
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．
 

23.【答案】解：根据题意，将点代入直线，
得，
解得，
点，
将点代入直线，
得，
解得；
当时，
解得，
，
当时，
解得，
，
，
点在直线上，
设点，
根据题意，可得点，
，
，
，
解得或，
点或． 

【解析】先求出点坐标，再待定系数法求直线的解析式即可；
分别求出点和点坐标，可得的长度，再设点，根据轴，可得点，表示出的长度，根据列方程，求解即可．
本题考查了一次函数的解析式，动点问题，熟练掌握用点坐标表示线段长度是解题的关键，注意第问分情况讨论．
 

24.【答案】或 

【解析】解：根据图形得：时，，
时，，

故答案为：，；
当时，；
当时，．
关于的函数解析式；
当李华从学校到书店过程中距离学校时，
由得，，
解得：；
当李华从图书馆返回学校过程中距离学校时，
由图形可得，，
综上所述，当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为或．
故答案为：或．
根据图形直接得出结论；
根据图形按分段函数分别写出函数解析式即可；
分两种情况求出时间即可．
本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，取的中点，连接，

四边形是矩形，
，，
又点是中点，
，，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
点是的中点；
解：，
，
，
点为的中点，点是的中点，
． 

【解析】由三角形中位线定理可得，，由“”可证≌，可得，可得结论；
由勾股定理可求的长，由三角形中位线定理可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：设，，
，
，
解得或舍去，
，
将，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
当时，，
将代入得：
，
解得，
的值是；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
直线与直线有交点时，交点的横坐标满足，即的解大于等于，
，
当时，，
解得，
，
当时，，
解得，
此时不等式无解，
直线与直线有交点时，，
若直线与直线无交点，则，
此时总成立，即时，函数的值总小于一次函数的值，
综上所述，的范围是． 

【解析】设，根据，可得，用待定系数法即得一次函数的解析式为；
当时，，将代入得的值是；
分两种情况：直线与直线有交点时，交点的横坐标满足，即，可得，若直线与直线无交点，则，此时时，函数的值总小于一次函数的值，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，能根据题意列出关于的方程和关于的不等式．
 

27.【答案】解图形如图所示．

结论：．
理由：过点作，交的延长线于，

四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，




．
即；
．
证明：过点作于点，

，
，
，
又，
≌，
，，
四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，


，
． 

【解析】根据要求画出图形即可；
过点作，交的延长线于证明≌，推出，，推出，再利用勾股定理解决问题即可；
过点作于点，证明≌，由全等三角形的性质证出，，证出，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

28.【答案】， 

【解析】解：在坐标系中找到，，三点，如下图所示：

故答案为：，．
直线：过点，
，
解得．
直线：，
令，则．
直线：与轴的交点为．
，
直线的解析式为：
，
如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
由平移可知
综上，．
直线，
令，
，
直线过定点．
由知，当时，存在点是四边形的关联点，
由对称性可知，当时，存在点是四边形的关联点，
当且时，不存在点是四边形的关联点．
在图中找到，，三点，并根据关联点的定义可直接判断；
根据待定系数法可求出的值，画出函数图象，由知点距离的距离为，且，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，求出对应的横坐标即可得出结论；
根据一此函数的解析式可知，过点，结合图形可得出结论．
本题是一次函数综合题，一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，本题的难点是理解给出的定义并找出的临界值．