北师大版八年级上册 方程专题 数形结合 教学设计

方程专题——数形结合 教学设计

一．               教学分析

1. 教学内容分析

方程是研究数量关系和变化规律的数学模型，它可以更准确地描述数量关系、更清晰地刻画变化规律。方程是初中数学教学的一个重要内容, 也是初中学生用来解决问题的主要手段，是解决实际问题的重要工具，它对于学生发展用数学的意识有着重要的作用。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程等。因此，在方程的学习中，应关注建模和应用的过程，让学生经历“问题情境—建立方程模型—解方程—解的合理性”的全过程。

《课程标准》明确指出：“加强数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，引导学生从解题的思想和方法上考虑问题，达到巧妙解题。” 数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，它是一种比较一般而又十分重要的思想方法。数形结合思想就是把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，是抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

本节课的教学任务就是：依托旧知（方程模型），结合新知（勾股定理的知识），让学生感受一些应用问题中的等量关系就隐含着数形结合，让学生理解数形结合思想在解决问题时发挥的作用，为今后进一步学习数形结合思想奠定基础。

2. 教学对象分析

八年级学生已经学习了一次方程，具备利用等量关系正确列出方程并求解的能力，他们曾经在“方程（组）应用”教学中的行程问题（追击和相遇）、劳动力调配问题、工程问题、图形问题, 就已经涉及了数形结合的思想方法。或依据题意画出相应的示意图,或借助图形的直观观察，才能帮助七年级学生迅速找出等量关系，列出方程, 从而突破难点。而且，他们也学会把有理数、不等式解集表示在数轴上，这也是数形结合思想的渗透。

因此，本节课的教学内容放眼于八年级学生的新知（勾股定理），立足于方程，让学生更好的理解数形结合的思想，而且勾股定理的内容本身就是数形结合的最好体现。

3. 教学环境分析

为了提高教学实效，结合教学内容安排，选择多媒体教室。

二．               教学目标

1.了解数形结合在解决方程问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

2.通过运用数形结合的思想解题，培养学生的观察能力、分析归纳能力，理解数形结合转化问题的思想方法。

3.提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。

三．               教学重点、难点

1. 重点：理解数形结合转化问题的思想方法。
2.     难点：在代数与几何的结合点上去找出解题思路，如何以数思形、以形思数，从而达到数形结合、解决问题的目的。

四．               教学过程

（一）          教学流程

（二）教学过程设计

第一环节：感知数形结合

1. 课前观看微视频。
2. 完成课前练习。

引例：如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开拼成一个正方形。

（1）下图中虚线正方形的面积是           ，边长是          。

（2）如图，将五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形,请画出来。

（3）你能把10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形吗？若能，请在下图中画出。

【设计意图】微视频的学习让学生初步感受到：有理数的内容体现了数形结合思想，不等式的内容中蕴藏着数形结合思想，应用问题中也隐含着数形结合思想。让学生了解这种思想方法贯穿在数学学习中。

引例是一类很常见的问题，而且勾股定理的验证方法中也有图形的剪拼。有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质。“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算。另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念。因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现。通过学生经历这个过程，体会用数形结合解题的巧妙之处。

第二环节：理解数形结合

（一）以数解形

1. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF。你能找出图中相等的线段吗？你能求出哪些线段的长度？

    G

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,AB=10cm,动点P从点C沿CA以1cm/s的速度向A点运动，同时动点O从C点沿CB以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动。则几秒后，运动过程中所构成的△CPQ的面积等于9.

3. 如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求：（1）BC边上的高．

（2）       试一试：你能求出AC边上的高吗？

【设计意图】这三道题都或多或少的用到了勾股定理的知识，也涉及了方程的模型，但更重要的是隐含了数形结合思想中的一方面——以数解形。同时，每道题肩负的使命又不一样：第一题是勾股定理的折叠问题，比较典型的一类题；重新设置了较开放的问题，留给学生足够的思考空间；第二题是直角三角形中简单的动点问题 ，让学生初步感受用线段表示动点的运动轨迹，从而达到正确理解题意的效果；第三题设计旨在让学生体会恰当的设未知数，合理地利用等量关系。而且三道题的难易程度也是有梯度的，分别从不同角度渗透数形结合的思想方法。通过例题的分析，教师把在问题解决过程中所涉及的数学思想方法显化，对解决问题的思维策略进行提炼，“几何建模”及“转化”的数学思想在例题的分析中也得到了展示；在教师的引导下，学生潜移默化地学会了应对复杂问题的能力，这些数学思想和数学方法将深深地扎根在学生的脑海中。

（二）以形解数

已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴     点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？

提示: 数轴上有两点A、B，其对应的数分别为a、b，则有∣AB∣=∣a-b∣=∣b-a∣

【设计意图】数形结合思想的另一方面就是：利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；二元一次方程组的解的几何意义就是坐标系中两条直线的交点坐标等等。考虑到八年级学生还没学习平面直角坐标系和一次函数的内容，因此，只是把数轴和绝对值的内容加进来，保持数形结合思想方法的完整性。

第三环节：巩固提升

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90º,AC=1,BC=3,AB的垂直平分线DE交BC于点D, 交AB于点E,连接AD，则AD的长为             。

 2.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC—CD—DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动。当P点在BC边上移动时，几秒后，⊿BPQ的面积等于6cm2.

3.已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm.

(1)判断AB与CD位置关系；（2）求△ABC的面积。

4. 解关于x的方程： 

【设计意图】这四道习题完全是结合例题配置的，无论从编排顺序还是题型设置都与例题一致，已达到巩固提升和强化训练的效果。预估课堂内处理不完，就留为课后练习题，同样可以达到检测的效果。

第四环节:归纳小结

总结：（1）数形结合思想的两个方面：以数解形和以形助数。

     （2）借助数形结合思想分析题意，建立方程模型。

【设计意图】 一节课的结束，并不意味着教学内容和学生思维的终结。“学贵有疑”，有疑就对知识有“学而不厌”的追求。在课堂结束时，充分利用课堂的核心内容设计总结问题串，可培养学生独立探究新知识、自我归纳和反馈的能力。