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北师大版八年级上册1 探索勾股定理教学ppt课件
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这是一份北师大版八年级上册1 探索勾股定理教学ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了sA+sBsC，a2+b2c2，认识勾股定理，勾股定理与图形面积，∴c5，∴b12，∴AC7，根据勾股定理求面积，“割补法”求面积，“皮克公式法”求面积等内容，欢迎下载使用。
情境问题：如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索？
在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特殊的数量关系.事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系，让我们一起探索吧！
1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理
1. 用数格子（或割、补、拼）面积法探索勾股定理.2. 运用勾股定理进行简单的计算和应用.
问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.
即：两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2
变式：a2=c2-b2 b2=c2-a2
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,是直角三角形的一个重要性质.
符号语言：∵∠ACB=90° ∴ a2+b2=c2
以直角三角形三边为边的正方形面积分别为 S1，S2和S3，那么 S1+S2=S3
利用勾股定理求直角三角形的边长
例1. 在Rt△ABC中,∠A，∠B，∠C 的对边 分别为a，b，c，∠C=90°.(1)已知a=3，b=4, 求c； (2)已知c=13，a=5，求b； (3)已知a:b=3:4，c=10，求b.
解：(1)∵∠C=90°，a=3，b=4， ∴由勾股定理，得
c2=a2+b2=32+42=25，
(2)已知c=13，a=5，求b；
∵∠C=90°，c=13，a=5， ∴由勾股定理，得
b2=c2-a2=132-52=144，
(3)已知a:b=3:4，c=10，求b.
分清待求的是斜边还是直角边，以便合理选择直接用勾股定理，还是用变形公式. 若求斜边，则直接用勾股定理；若求直角边，则用变形公式；若两边之间存在倍分或和差关系，则利用勾股定理建立方程求解.
∵a:b=3:4，∴b= a.
∵∠C=90°，c=10，∴由勾股定理，得 a2+( a)2= 102，
解得a=6（负值舍去）. ∴b=8.
变式：在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=24,BC=25,求AC的长.
解:在Rt△ABC中, 由勾股定理,得
AC2=BC2-AB2=252-242=49,
例2. 如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝16，则S1的值为 .
解析：∵S1=S2＋S3 且S1＋S2＋S3＝16 ∴2S1=16， ∴S1=8.故答案为：8
变式一：如图，以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，其面积分别是S1，S2，S3，若S1=4π，S2=9π，则S3=______．
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
解：S1=( a)2π× = a2 S2=( b)2π× = b2 S3=( c)2π× = c2
根据勾股定理a2+b2=c2,得S3=S1+S2=4π+9π=13π.故答案为：13π.
变式二：有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”了2022次后形成的图形中，正方形D,E,F,G面积和是 ,生长了2022次图中所有的正方形面积和是 .
每一层正方形的面积和相等均为最大正方形面积.
应用勾股定理解决简单的实际问题
例3. 从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索？
解：如图，根据题意可得，∠ACB=90°,AC=8 m,BC=6 m,
由勾股定理得AB2=AC2+BC2=82+62=100
∴AB=10 m∴需要10 m的钢索.
1. 如图,下图中字母所代表的正方形的面积为A＝_____，B＝_____.
2. 若直角三角形两直角边之比为3:4，斜边长为20，则两条直角边分别为 ，_____，它的面积为_____.
3. 如图,已知△ABC中,AB＝17,AC＝10，BC边上的高AD＝8,则边BC的长为_____.
4. 如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的,其中阴影部分的面积是 ( )A.16 B.25 C.144 D.169
4. 求斜边为17cm,一条直角边长为15cm的直角三角形的面积.
∴S△ACB= AC·BC= ×15×8=60cm2.
解：在Rt△ACB中∠ACB=90°AB=17cm,AC=15cm由勾股定理得，BC2=AB2-AC2=172-152=64∴BC=8cm
5. 如图，求等腰三角形ABC的面积.
解：如图，过C作CD⊥AB,垂足为D，∵CD=CB=5cm，AB=6cm∴AD=DB=3cm,由勾股定理得，CD2=AC2-AD2=52-32=16∴CD=4cm
∴S△ABC= AB·CD= ×6×4=12cm2.
1. 直角三角形两直角边a，b与斜边c，求斜边时，c2＝a2＋b2；求直角边时，a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，注意公式的变形．2. 求与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的数量关系．
“割补法”将方格纸中的正方形变成若干个边长为整数的三角形或者正方形，再进行计算.
正方形周边上的格点数a=12
正方形内部的格点数b=13
所以，正方形C的面积为： （单位面积）
情境问题：如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索？
在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特殊的数量关系.事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系，让我们一起探索吧！
1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理
1. 用数格子（或割、补、拼）面积法探索勾股定理.2. 运用勾股定理进行简单的计算和应用.
问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.
即：两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2
变式：a2=c2-b2 b2=c2-a2
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,是直角三角形的一个重要性质.
符号语言：∵∠ACB=90° ∴ a2+b2=c2
以直角三角形三边为边的正方形面积分别为 S1，S2和S3，那么 S1+S2=S3
利用勾股定理求直角三角形的边长
例1. 在Rt△ABC中,∠A，∠B，∠C 的对边 分别为a，b，c，∠C=90°.(1)已知a=3，b=4, 求c； (2)已知c=13，a=5，求b； (3)已知a:b=3:4，c=10，求b.
解：(1)∵∠C=90°，a=3，b=4， ∴由勾股定理，得
c2=a2+b2=32+42=25，
(2)已知c=13，a=5，求b；
∵∠C=90°，c=13，a=5， ∴由勾股定理，得
b2=c2-a2=132-52=144，
(3)已知a:b=3:4，c=10，求b.
分清待求的是斜边还是直角边，以便合理选择直接用勾股定理，还是用变形公式. 若求斜边，则直接用勾股定理；若求直角边，则用变形公式；若两边之间存在倍分或和差关系，则利用勾股定理建立方程求解.
∵a:b=3:4，∴b= a.
∵∠C=90°，c=10，∴由勾股定理，得 a2+( a)2= 102，
解得a=6（负值舍去）. ∴b=8.
变式：在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=24,BC=25,求AC的长.
解:在Rt△ABC中, 由勾股定理,得
AC2=BC2-AB2=252-242=49,
例2. 如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝16，则S1的值为 .
解析：∵S1=S2＋S3 且S1＋S2＋S3＝16 ∴2S1=16， ∴S1=8.故答案为：8
变式一：如图，以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，其面积分别是S1，S2，S3，若S1=4π，S2=9π，则S3=______．
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
解：S1=( a)2π× = a2 S2=( b)2π× = b2 S3=( c)2π× = c2
根据勾股定理a2+b2=c2,得S3=S1+S2=4π+9π=13π.故答案为：13π.
变式二：有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”了2022次后形成的图形中，正方形D,E,F,G面积和是 ,生长了2022次图中所有的正方形面积和是 .
每一层正方形的面积和相等均为最大正方形面积.
应用勾股定理解决简单的实际问题
例3. 从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索？
解：如图，根据题意可得，∠ACB=90°,AC=8 m,BC=6 m,
由勾股定理得AB2=AC2+BC2=82+62=100
∴AB=10 m∴需要10 m的钢索.
1. 如图,下图中字母所代表的正方形的面积为A＝_____，B＝_____.
2. 若直角三角形两直角边之比为3:4，斜边长为20，则两条直角边分别为 ，_____，它的面积为_____.
3. 如图,已知△ABC中,AB＝17,AC＝10，BC边上的高AD＝8,则边BC的长为_____.
4. 如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的,其中阴影部分的面积是 ( )A.16 B.25 C.144 D.169
4. 求斜边为17cm,一条直角边长为15cm的直角三角形的面积.
∴S△ACB= AC·BC= ×15×8=60cm2.
解：在Rt△ACB中∠ACB=90°AB=17cm,AC=15cm由勾股定理得，BC2=AB2-AC2=172-152=64∴BC=8cm
5. 如图，求等腰三角形ABC的面积.
解：如图，过C作CD⊥AB,垂足为D，∵CD=CB=5cm，AB=6cm∴AD=DB=3cm,由勾股定理得，CD2=AC2-AD2=52-32=16∴CD=4cm
∴S△ABC= AB·CD= ×6×4=12cm2.
1. 直角三角形两直角边a，b与斜边c，求斜边时，c2＝a2＋b2；求直角边时，a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，注意公式的变形．2. 求与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的数量关系．
“割补法”将方格纸中的正方形变成若干个边长为整数的三角形或者正方形，再进行计算.
正方形周边上的格点数a=12
正方形内部的格点数b=13
所以，正方形C的面积为： （单位面积）
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