高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用精品复习练习题

9.2正弦定理与余弦定理的应用人教  B版（2019）高中数学必修第四册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一艘游轮航行到处时，测得灯塔在的北偏东方向，距离为海里，灯塔在的北偏西方向，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时，测得灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的  (    )

A. 正西方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向

2. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标，，但不能到达．现在岸边取相距米的，两点，测得，，，，在同一平面内，则两目标，之间的距离为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标，，但不能到达，现在岸边取相距的，两点，测得，，，在同一平面内，则两目标，间的距离为

A.  B.  C.  D.

4. 小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘如图阴影部分，为了测量该池塘两侧，两点间的距离，除了观测点，外，他又选了两个观测点，，且，已经测得两个角，，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出，间距离的是

和；和；和．

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和和

5. 已知为的边上一点，满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为若，山坡对于地平面的坡度为，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，一栋建筑物的高为，在该建筑物的正东方向有一个通信塔，在它们之间的地面点三点共线处测得楼顶，塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则通信塔的高为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知中，，是的中点，，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 如图，甲船从出发以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，下面正确的是(    )

A. 乙船的行驶速度与甲船相同
B. 乙船的行驶速度是海里小时
C. 甲乙两船相遇时，甲行驶了小时
D. 甲乙两船不可能相遇

10. 如图，在中，已知点在边上，，，，则下列说法正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在中，，，所对的边分别为，，，，若，则．(    )

A. 角 B. 可以取 C. 可以取 D.

12. 地面上有两座相距的塔，高塔的高为，矮塔的高为，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点处望两塔塔顶的仰角互为余角，则下列结论正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需要测量繁殖区域内某湿地，两点间的距离如图，环保监督组织测绘员在同一平面内同一直线上的三个测量点，，从点测得，从点测得，，从点测得并测得，单位：千米，则，两点的距离为          千米．
14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．
15. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离如图，环保监督组织测绘员在同一平面内同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，单位：千米，测得、两点的距离为          ．
16. 列子汤问记有古代传说：“渤海之东，不知几亿万里，有大壑焉，实为无底之谷，其下无底，名曰归墟．”现代研究发现海洋蓝洞是海底突然下沉的巨大“深洞”，从海面上看蓝洞呈现出与周边水域不同的深蓝色，我国西沙群岛的“三沙永乐龙洞”为世界最深的海洋蓝洞，深达若要测量如图所示的蓝洞的口径，即，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，且，，，四点共面，测得，，，，则，两点间的距离为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在中，已知，点在边上，．

若，求；

若平分，求．

18. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，

当时，求小路的长度；

当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．

19. 如图，在梯形中，，，为上一点，，．

若为等腰三角形，求；

设，若，求．

20. 杭州市为迎接年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出，为赛道内的两条服务通道不考虑宽度，，，，，为赛道，，，，．

从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；

；

在条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道最长即最大，最长值为多少？

21. 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角已知山高为．

求船的航行速度；

若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？

22. 小王大学毕业后决定利用所学知识自主创业，在一块矩形的空地上办起了养殖场，如图所示，四边形为矩形，米，米，现为了养殖需要，在养殖场内要建造一个蓄水池，小王因地制宜，建造了一个三角形形状的蓄水池，其中顶点分别为两点在线段上，且，设．
     

请将蓄水池的面积表示为关于角的函数形式，并写出该函数的定义域；

当角为何值时，蓄水池的面积最大？并求出此最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

 【分析】
本题主要考查解三角形的应用问题，利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题．
【解答】
解：如图所示，，，

在中，，
由正弦定理有，所以，
在中，由余弦定理得，
因为，，所以，
由正弦定理得，
所以，故或，
因为，故为锐角，所以．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
由题意在中，由正弦定理求出的长，在中，由正弦定理求出的长，最后在中，由余弦定理求出长即可．
【解答】
解：在中，，，
由正弦定理得：，则，
在中，，，
由正弦定理得：，则，
在中，由余弦定理得：


所以，
故选D．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力和转化思想，是中档题．
在中由正弦定理可求的值，在中由正弦定理可求的值，再在中由余弦定理可求的值．

【解答】

解：由已知，中，，，可得，
由正弦定理，得，
所以；
中，，，可得，
由正弦定理，得，
所以；
中，由余弦定理，得
，
解得：，
则两目标，间的距离为．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的实际应用，属于中档题．
根据已知观测数据，结合各组观测角，判断在不同的三角形中，应用正余弦定理是否可以求得的长即可．
【解答】
解：根据题意，的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，
中，，故CD，故可以求出
与条件等价．
中，在中，，故，
在中，利用余弦定理求解即可
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查正余弦定理在三角函数中的综合运用，以及解三角形的实际应用，属于中档题．
根据题中所给条件，结合正余弦定理在三角函数中的综合运用，即可推出结果．

【解答】

解：设，由，
则，，
在中，由正弦定理可知，得，

在中，，
由余弦定理得：，
即，解得．

在中，由正弦定理得：，
即，．

故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理在实际问题中的应用，涉及诱导公式，属于中档题．
由实际问题恰当构建数学模型是解题关键，易求，在中，由正弦定理可求，在中，由正弦定理可求，再由，即可得答案．

【解答】

解：，，
，
而，
在中，由正弦定理，
得，
在中，由正弦定理，
得，
，
即，
，
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查正弦定理和解直角三角形，考查运算能力，属于基础题．
求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再根据求得，最后求得结果．
【解答】解：作，垂足为，则．
在中，．
在中，，，
由正弦定理得，，，
，．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：设，，由于在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：

，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为．
故选：．
首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积的求解基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了解三角形的实际应用，余弦定理，属于中档题．
连接，求出，再用余弦定理求出，计算乙船速度判断，；延长与延长线交于，计算甲乙到达点的时间判断，作答．

【解答】

解：如图，连接，依题意，海里，而海里，，

则是正三角形，，海里，在中，，海里，

由余弦定理得：，且有，

所以乙船的行驶速度是海里小时，A正确，不正确；

延长与延长线交于，显然有，即，海里，海里，海里，

甲船从出发到点用时小时，乙船从出发到点用时小时，，即甲船先到达点，

所以，甲乙两船不可能相遇，不正确，D正确．

故选AD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
利用三角形内角和及两角和的余弦公式判断，利用正弦定理及余弦定理判断，利用三角形面积公式判断即可．

【解答】

解：因为且与为三角形内角，
所以，，
则，所以A正确；
又，，所以，所以C错误；
又，
所以，所以B正确；
又，所以D错误；
故选AB．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正余弦定理解三角形和基本不等式，属于中档题．
由正弦定理化角为边，应用余弦定理可得，再由余弦定理结合基本不等式，及三角形的性质可得的范围．

【解答】

解：由三角形三边关系，得到；

因为，由正弦定理得，

，即，由余弦定理得，

因为，所以，且．

所以，所以，当且仅当时，等号成立，故．

故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形的实际应用，属中档题．
根据倍角公式建立等式，根据诱导公式建立另一个关于和的关系式，最后联立求得答案．

【解答】

解：高塔的高为，矮塔的高为，
在矮塔下望高塔仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，

则，，

根据倍角公式有，

在塔底连线的中点测得两塔顶的仰角互为余角，设望高塔塔顶仰角为，
即，，

根据诱导公式有，

联立得，．

故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查正余弦定理在解三角形中的综合运用以及解三角形的实际应用，属于中档题．
先根据已知可知为等腰三角形，可以求得，再在用正弦定理求出的值，最后在中运用余弦定理即可求出的值．

【解答】

 解：根据题意，在中，，，，
则，则，
在中，，，，
则．
则有，
变形可得，
在中，，，
，
则，则．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正余弦定理在解三角形计算中的综合应用和解三角形的实际应用，为等腰三角形，则，由正弦定理得，得，在中，由余弦定理得．
【解答】
解：易知在中，，
为等腰三角形，则，
在中，，，
所以由正弦定理得，
即，
得，
在中，
由余弦定理得
，
所以，
即，两点的距离为，
故答案为．
  

15.【答案】千米 

【解析】

【分析】

本题主要考查解三角形的实际应用，属于中档题．
先根据已知可知为等腰三角形，可以求得，再在用正弦定理求出的值，最后在中运用余弦定理即可求出的值．

【解答】

 解：根据题意，在中，，，，
则，则，
在中，，，，
则．
则有，
变形可得，
在中，，，
，
则，则．
故答案为千米．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用和解三角形的实际应用，属于基础题．
由正弦定理得，由余弦定理得的值即可．

【解答】

解：在中，，，
所以，所以．
在中，，
由正弦定理得，
因为，
所以．
在中，，
由余弦定理得，
所以．
故答案为： ．
 

17.【答案】 解：在中，，又，解得，
在中，，所以．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
因为平分，所以．
因为，所以．
所以．
在中，由正弦定理，得．
因为，所以，所以，
所以．
 因为，
且，
所以． 

【解析】本题考查了同角三角函数关系，诱导公式，二倍角公式，正余弦定理在解三角形中的运用，属中档题．
根据同角三角函数关系及余弦定理求即可；
在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理，继续求解．
 

18.【答案】解：在中，，，．

由余弦定理得，，
所以．

因为，

所以．

由正弦定理得，即，
解得．

因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以且，

所以．

在中，由余弦定理得，

，

所以．

由得，，

，
此时，，且．

当时，四边形的面积最大，即，
此时，，

所以，即．

答：当时，小路的长度为百米；
草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【解析】

【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用．
由余弦定理求出，然后在三角形中，由余弦定理求解即可
利用求解即可．  

19.【答案】解：由，可得，，
又为等腰三角形，所以，
又，
从而，，所以，
在中，由余弦定理得，
，
；
  因为，所以，，
在中，由正弦定理得，；
在中，由正弦定理得，，
由，得，
解得 

【解析】本题主要考查了正、余弦定理与解三角形的应用，属于中档题．
根据，可得，，又因为为等腰三角形，得到，，所以，再根据余弦定理即可求解；
，所以，，在和中由正弦定理结合列方程，即可求解．
 

20.【答案】解：在中，由正弦定理知，
，解得，

选：，，

，

在中，；

若选，在中，由余弦定理知 ，，化简得，
解得或舍负，

故服务通道的长度 ；

在中，由余弦定理知，，

，

，
即，
当且仅当时，等号成立，
此时，的最大值为．

【解析】本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由题意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；
当时，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周长的最小值．
 

21.【答案】解：在中，，解得，
在中，，
由正弦定理得：，
又，
所以，
故船的航行速度是每小时千米
由题意知在中，，，
由余弦定理得：，
故，
在中，由正弦定理得：，
故，
所以，山顶位于处南偏东． 

【解析】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，关键是将实际问题转化为解三角形的问题，属于中档题．
解，利用中，，在中，由正弦定理求得；
利用正弦定理和余弦定理，分别解，求得．
 

22.【答案】解：因为，，
所以，
在中，米，米，，
所以，
在中， ，
在中由正弦定理得：，
所以，
在中，由正弦定理得：，
所以，
则的面积


，；
因为，
所以 ，
所以，
则的最小值为，
 所以当时，取最大值为 ．
答：当时，蓄水池的面积最大，最大值为平方米． 

【解析】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，属于中档题．
在三角形中应用正弦定理及三角形面积公式即可得答案；
由的取值范围即正弦函数的图象即可得答案．