人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.3 复数的三角形式及其运算精品同步训练题

10.3复数的三角形式及其运算人教  B版（2019）高中数学必修第四册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是(    )

A. ， B.
C.  D.

2. 在复平面上，复数所对应的向量与轴正方向的夹角称为复数的辐角，显然一个复数的辐角有无穷多个，但是在区间内的只有一个，这个辐角就是该向量的辐角主值，复数的辐角主值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知复数满足，且有，求(    )

A.  B.  C.  D. 都不对

4. 将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知复数满足，且有，求(    )

A.  B.  C.  D. 都不对

6. 为虚数单位，若，则在复平面中，复数对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 欧拉公式是自然对数的底数，为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 欧拉公式为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”；根据欧拉公式可知，表示的复数的模为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是(    )

A. 复数为纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C.  D. 的最大值为

10. 任何一个复数其中、，为虚数单位都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是(    )

A.
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

11. 任何一个复数其中、，为虚数单位都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是(    )

A.
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

12. 任何一个复数其中、，为虚数单位都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是(    )

A. 当，时，
B.
C. 当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
D. 当，时，

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 复数，，则的最大值是___________．
14. 设复数，其中为虚数单位，若满足，则____________．
15. 欧拉公式其中为虚数单位是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为          ．
16. 如图所示，等边三角形的两个顶点，所表示的复数分别是和，则点所表示的复数为________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

．

18. 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为，，，其中为原点已知对应复数，求和所对应的复数．
19. 已知其中是虚数单位．

计算：，

猜想：的表达式，并用数学归纳法证明

计算：的值．

20. 如图所示，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明．

21. 设对应的向量为，将绕点按逆时针方向和顺时针方向分别旋转和，求所得向量对应的复数用代数形式表示．
22. 把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数形式和它的辐角的主值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查复数的三角形式和复数的运算，属于基础题．
由题可知 ，即可求出 ，再根据 对应的坐标即可得出它的辐角主值．

【解答】

解：由题可知 ，
则 ，
，
可知 对应的坐标为 ，则它的辐角主值为 ．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了辐角主值的概念与求法，属于中档题．
化简复数，可得辐角主值．

【解答】

解：．
所以复数的辐角主值为．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键．
根据题意可设为虚数单位；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果．

【解答】

解：因为，设为虚数单位；

由棣莫佛公式，可得

，

所以，

所以，即

因为，

所以；

化简可得，即，

所以，所以；

所以．

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数乘法、除法的几何意义，考查复数除法运算的三角形式，属于中档题．
根据复数乘法、除法的几何意义，结合复数除法的三角形式的运算法则，即可求解．
【解答】
解：因为复数的三角形式是，
所以根据题意可得：向量对应的复数是．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键根据题意可设为虚数单位；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果．

【解答】

解：因为，设为虚数单位；

由棣莫佛公式，可得，

所以

所以，即

因为，

所以；

化简可得，即

所以，所以；

所以．

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
【解答】
解：，
在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，根据，即可判断出．
【解答】解：因为是自然对数的底数，为虚数单位，
所以．
因为，所以，，
所以表示的复数在复平面内对应的点位于第二象限．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角表示，考查了复数模的求法，属于中档题．
直接由题意可得，再由复数模的计算公式得答案．

【解答】

解：由题意，，
表示的复数的模为．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角形式的应用，属中档题．
根据定义逐项计算判断即可．

【解答】

解：，是纯虚数，故A正确；
，由，，
可得在复平面内对应的点在第一象限，故B错误；


，故C正确；




，故D正确．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数的三角表示，复数的模长以及复数的概念，共轭复数等，属于中档题．
利用复数的三角表示求模长可判断；利用棣莫弗定理可判断；结合共轭复数可判断；取时，可判断．
【解答】
解：，
，则，
又，，选项A正确；
当，时，，，选项B错误，
当，时，，，选项C正确，
当，时，若，则复数，是实数，选项D错误，
故选AC．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中档题．
根据复数的乘方运算，复数的模长、共轭复数的求法逐个选项判断即可．
【解答】
解：对于选项，，则，可得，，选项正确；
对于选项，当，时，，选项错误；
对于选项，当，时，，则，选项正确；
对于选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，选项错误．
故选AC．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义的应用、复数的三角表示、模以及共轭复数，属于中档题．
根据新定义，逐一判定即可得出结论．

【解答】

解：对于，当，时，，故A错误；
对于，，，则，，所以，故B正确；
对于，当，时，，当为偶数时，复数不一定为纯虚数，比如当时，，为实数，故C错误，
对于，当，时，，则，故D正确；
故选BD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义及复数的运算，掌握复数的代数表示法及其几何意义是解题的关键．
将设为三角形式，和复数的代数形式，共同代入，化简后结合三角函数性质可求最大值．
【解答】
解：，，
设，
则，


，
当时，取得最大值，
从而得到的最大值为．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的四则运算，复数的三角形式，二倍角公式的应用，属于中档题．
结合复数的四则运算，复数的三角形式，二倍角公式的应用等知识求解即可得出结果．
【解答】
解：复数，
，
满足，
，

，
，则，可得，
，即，解得，
，
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，复数的四则运算，复数的三角形式的应用．
根据已知及两角和与差的三角函数公式，复数的四则运算，复数的三角形式的计算，求出复数的三角形式．

【解答】

解：因为，
所以
故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数乘法、除法的几何意义，考查复数乘法的代数形式的运算，考查复数的几何意义，属于中档题．
根据复数乘法、除法的几何意义求得，进而可求解．
【解答】
解：，所表示的复数分别是和，所表示的复数为，
把逆时针旋转得到，对应的复数为：



所以，即点对应的复数是

答案：

17.【答案】解：














． 

【解析】本题考查了复数的三角形式及复数的乘法运算，属于中档题．
把原式化为，去括号化简求得结果
原式化为，去括号化简求得结果
原式化为，去括号化简求得结果．
 

18.【答案】解：根据题意作图如下．
 

正方形的一条对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，且斜边是直角边的倍
所以




 

【解析】 本题考查复数乘法、除法的几何意义，考查复数乘法、除法运算的三角形式，属于中档题．
根据复数乘法、除法的几何意义，结合复数乘法、除法的三角形式的运算法则，即可求解．

19.【答案】解：，



猜想：
证明：当时，，猜想成立，
假设当时，成立．
当时，


即当时猜想成立．
综上所述，对一切的，都有．
，
故 

【解析】本题重点考查复数的三角系公式及运算，考查数学归纳法，属于一般题．
利用复数乘法运算的三角表示，结合三角恒等变换公式即可求解
可猜想：，再求证时和时猜想成立即可
化，再利用复数乘法运算的三角表示即可求解．
 

20.【答案】证明：假设每个正方形的边长都为，建立如图所示的平面直角坐标系，确定复平面．
由平行线的内错角相等可知，，，分别等于复数，，的辐角主值，
因此是的一个辐角．
又因为，，
所以存在整数，使得由于，，都是锐角，
， 

【解析】本题主要考查了复数三角形式中的意义，属于中档题．
由复数与其在复平面内对应点间的关系得出复数的代数形式与三角形式间的互化公式，即可完成证明．
 

21.【答案】解：因为对应的向量为，
故向量绕原点按逆时针方向旋转后，所得向量对应的复数为



向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为



． 

【解析】本题考查复数的四则运算和复数的几何意义．
根据题意可知将向量绕原点按逆时针方向旋转后，所得向量对应的复数为，顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为，进而可得答案．
 

22.【答案】解：由复数的三角形式乘法的几何意义得

，

因为，

所以

，

所以的辐角的主值为．

【解析】本题考查复数的三角形式以及辐角有关概念及应用．
由题意得，结合，即可求得，即可得解．