湘教版九年级上册1.1 反比例函数获奖第3课时教学设计及反思

这是一份湘教版九年级上册1.1 反比例函数获奖第3课时教学设计及反思，共9页。教案主要包含了归纳及推论，自我诊断，方法总结等内容，欢迎下载使用。

＊ 1.2 第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用
本课（章节）需 6 课时 ，本节课为第 4 课时，为本学期总第 4 课时
教
学
目
标
1、知识与技能
（1）.会求反比例函数的解析式；
（2）.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.
2、过程与方法
经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.
3.情感与价值观：
提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.
重点
会求反比例函数的解析式.
难点
反比例函数图象和性质的运用.
主备教师
教具
多媒体、三角尺
课型
新授
教 学 过 程
个案修改
创设情境，导入新课
复习提问：
问题1、反比例函数的图象是什么？
问题2、反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件(如函数图象上点的坐标）求反比例函数的解析式吗？
用待定系数法求反比例函数的表达式
合作交流，探究新知
【动脑筋】：已知反比例函数y=的图象经过点P（2,4）
（1）求k的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？
分析：(1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.
(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.
(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.
解：（1）因为反比例函数的图象经过点P(2，4），即点P的坐标满足这一函数表达式，因而

解得k=8.
因此，这个反比例函数的表达式为.
（2）把点A，B的坐标分别代入，可知点A的坐标满足函数表达
式，点B的坐标不满足函数表达式，所以点A在这个函数的图象上，点B不
在这个函数的图象上.
（3）因为k>0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个
象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
反比例的图象与性质
图1-8是反比例函数的图象.
根据图象，回答下列问题：
（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由； 图1-8
（2）如果点A（-3，y1），B(-2，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小。
解：（1)由图1-8可知，反比例函数上的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.
（2）因为点A（-3，y1），B（-2，y2）是该图象上的两点，且-3<0，-2<0，所以点A，B都位于第三象限.又因为-3<-2，由反比例函数图象的性质可知：反比例函数与一次函数的简单综合
y1>y2.
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y=k1x，，其中k1，
k2为常数，且均不为零。
由于这两个函数的图象交于点P(-3，4），则点P(-3，4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式。
因此4=k1×（-3），
解得k1=，k2=-12.
因此，这两个函数的表达式分别为和，它们的图象如
图1-9所示.
反比例函数的比例系数k的几何意义（即反比例函数的面积不变性）
图1-9
【探究】若点P是(k≠0)图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴于点A，作 PB 垂直于 y 轴与点B，试探究矩形 AOBP 的面积S与比例系数k的关系.
交流讨论：设点 P 的坐标为 (a，b)，则
PA =, PB =
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
⸫，即ab=k
⸫S =PA﹒PB =﹒=
【归纳及推论】：
反比例函数的比例系数k的几何意义:若点P是反比例函数图象上的任意一点，作PA 垂直于x轴于点A，作 PB 垂直于y 轴于点B，矩形AOBP的面积与 k 的关系是S矩形AOBP=.
推论：连接PO,则△PAO与△PBO的面积和k的关系是：
S△QAO=S△QBO=S矩形AOBP=.
以上两个结论又统称为反比例函数的面积不变性.
针对练习，巩固提高
用待定系数法求反比例函数的表达式
1、已知点P(-1，4)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A．-eq \f(1,4) B.eq \f(1,4) C．4 D．-4
【解析】：∵点P(-1，4)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上，∴k＝xy＝(-1)×4＝-4，故选D.
【自我诊断】1.已知变量y是x的反比例函数，当x=2时，y=4，则y与x的函数表达式为 ，若y=-3，则x= .
【解答】
【方法总结】：本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，已知反比例函数上一点的坐标或一组自变量及对应函数的值，要求函数解析式，只要把这点的坐标或这一组自变量及对应函数的值代入就可求得．
反比例的概念与性质
的取值范围
2、若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都是反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象上的点，且x1<0【解析】：（方法一）：∵k＝1>0，∴y＝eq \f(1,x)的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，∵x1<0（方法二）：如图，画出反比例函数y＝eq \f(1,x)图象的草图,
在函数草图上绘出A、B、C三点的大致位置.则由图可知：y1【自我诊断】2.若点A(-2，-2）在反比例
函数y＝eq \f(k,x)的图象上，则当时，x的取值范围
是 .
【答案】x≤-2或x>0.
点拨：画出函数草图并描出点A,由图可知：
当时，x的取值范围是x≤-2或x>0.
【方法总结】：解决这类问题时应该从反比例函数图象性质入手，通过图象在不同象限中的性质来判断点的坐标的大小关系，解题时可画出反比例函数的大致图象，方便解答．
反比例函数与一次函数的简单综合
3、在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象大致是( )
【解析】：在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象只有两种情况，当k>0时，y＝eq \f(k,x)分布在第一、三象限，此时y＝kx－k经过第一、三、四象限；当k<0时，y＝eq \f(k,x)分布在第二、四象限，此时y＝kx－k经过第一、二、四象限，故选D.
【自我诊断】3.如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象交于M、N两点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【解答】：(1)由反比例函数定义可知k＝(－1)×(－4)＝4.
∴y＝eq \f(4,x)，而M(2，m)在反比例函数图象上．
∴m＝eq \f(4,2)＝2，∴M(2，2)．
即在一次函数图象上有
∴a＝2，b＝－2，∴y＝2x－2.
(2)由图中观察可知，满足题设x的取值范围为x<－1或0【方法总结】： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．
反比例函数的比例系数k的几何意义（即反比例函数的面积不变性）
4、如图所示，在平面直角坐标系中，过点M的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数(x＞0) 和(x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面积为 8，则k =______.
【解析】由图可知：k＜0且，解得k =-10.
【自我诊断】4.如图所示，点A在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
【解答】：∵S△AOC＝eq \f(1,2)yA·xA，且A在反比例函数y＝eq \f(k,x)的解析式上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝eq \f(1,2)·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(4,x).
【方法总结】：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|值的一半．
四、课堂小结，升华知识
知识要点1：反比例函数(k≠0)中k的几何意义
知识要点2：反比例函数与一次函数的综合性问题
五、反馈检查，完善自我
课本P11-12 练习第1,2,3题。
教
学
反
思
本次教学过程重在归纳总结，通过引导学生主动参与来加深其对知识的理解，在结合基本题型教学的同时，通过发散思维的引导，进一步提升学生的创新思维和实际动手能力，全面提升学生的认知水平．