2020-2021学年2.4 一元二次方程根与系数的关系公开课教学设计

第2章   分式

课题

2.4  一元二次方程根与系数的关系

本课（章节）需 12 课时 ，本节课为第 9 课时，为本学期总第 15 课时

教

学

目

标

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

重点

掌握一元二次方程的根与系数的关系

难点

利用根与系数的关系解有关的问题

主备教师

教具

多媒体

课型

新授

教   学   过   程

个案修改

一、创设情境，导入新课

想一想：一元二次方程ax2+bx+c = 0(a≠0)的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外,根与系数之间还有什么关系呢？

二、合作交流，探究新知

1、算一算 解下列方程并完成填空：

（1）x2+3x-4=0;    (2)  x2-5x+6=0;       (3)   2x2+3x+1=0.

这表明，当           时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：

两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.

三、针对练习，巩固提高

例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

        （1）x2 + 7x + 6 = 0;    （2）2x2 - 3x - 2 = 0

解：（1）这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.

       Δ =  b2  - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.

        ∴方程有两个实数根.

         设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么

          x1 + x2 = -7 ,  x1 x2 = 6.

解：（2）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.

        Δ=  b2  - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,

         ∴方程有两个实数根.

         设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么

          x1 + x2 =        , x1x2  =  -1 .

例2: 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .

    所以：x1·x2=2x2=

    即：x2=

    由于x1+x2=2+ =

    得：k=－7.

答：方程的另一个根是    ，k=－7.

变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

例3  不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.

例4   设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，

          且x12 +x22 =4，求k的值.

解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0         

        即 -8k + 4 ≥ 0.

k ≤

        由根与系数的关系得   x1 + x2 = 2(k -1) ,  x1 x2 =k2.

       ∴x12 +x22= (x1+x2）2 - 2x1x2

                    = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.

        由x12 +x22= 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,

      解得 k1= 0 ,  k2 = 4 .

由k ≤，k2 = 4 不合题意，舍去.

∴ k= 0

常见的求值变形

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.

四、课堂小结，升华知识

四、反馈检查，完善自我

1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.

2、已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p =   ,q=   

3、已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

4、已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；

  （1）求k的值；  （2）求(x1-x2)2的值.

5.设x1,x2是方程3x2 + 4x–3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.

  (1) (x1 + 1)(x2 + 1);      (2)

教

学

反

思