高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数课后测评

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数课后测评，共8页。

1．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
2．已知f(x)为R上的增函数，且f(lg2x)>f(1)，则x的取值范围为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0，1)∪(2，＋∞)
3．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))的值为( )
A． eq \f(1,ln 2) B．－ eq \f(1,ln 2) C．－ln 2 D．ln 2
4．函数f(x)＝lg3(x2－2x－3)的单调增区间为( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(3，＋∞)
5．已知lg eq \s\d9(\f(1,2))a>lg eq \s\d9(\f(1,2))b，则下列不等式一定成立的是( )
A． eq \f(1,a)< eq \f(1,b)B．a3＞b3
C．ln (b－a)＞0 D．3a－b＜1
6．(多选)关于函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)，下列说法正确的是( )
A．定义域为(－1，4)
B．定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．值域为[－2，＋∞)
D．递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
7．不等式lg0.45(x＋2)>lg0.45(1－x)的解集为
________________________________________________________________________．
8．已知函数f(x)＝ln ( eq \r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．
9．已知函数f(x)＝lga(1＋x)，g(x)＝lga(1－x)，(a>0，且a≠1).
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3，63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
10．已知函数f(x)＝lg (x＋2)－lg (2－x).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>1的解集．
[提能力]
11．已知f(x)＝|ln x|，若a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))，c＝f(3)，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
12．(多选)已知函数f(x)＝lgax＋lga(a－x)(a＞0，且a≠1)，则( )
A．f(x)定义域为(0，a)
B．f(x)的最大值为2－2lga2
C．若f(x)在(0，2)上单调递增，则1＜a≤4
D．f(x)图象关于直线x＝ eq \f(a,2)对称
13. 已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(lg4x)<0的解集是________．
14．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg （x＋1），x>0,2x－1，x≤0))若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝ln (2－2x)＋ln (2－2－x).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．
[培优生]
16．已知函数f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1).
(1)若0＜x1＜x2，试比较f( eq \f(x1＋x2,2))与 eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)的大小，并说明理由；
(2)若a＞1，且A(t，f(t))，B(t＋2，f(t＋2))，C(t＋4，f(t＋4))(t≥2)三点在函数y＝f(x)的图象上，记△ABC的面积为S，求S＝g(t)的表达式，并求g(t)的值域．
课时作业(三十二) 对数函数的图象与性质(2)
1．解析：a＝lg32lg22＝1，由对数函数的性质可知lg52答案：D
2．解析：依题意有lg2x>1，所以x>2.
答案：C
3．解析：因为 eq \f(1,e2)>0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))＝ln eq \f(1,e2)＝ln e－2＝－2，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2.
答案：C
4．解析：由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3.即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).由于y＝lg3x在定义域上是增函数．y＝x2－2x－3开口向上，对称轴为x＝1，根据复合函数单调性同增异减可知，f(x)的单调递增区间是(3，＋∞).
答案：D
5．解析：∵lg eq \s\d9(\f(1,2))a>lg eq \s\d9(\f(1,2))b，∴0＜a＜b，∴ eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)，a3＜b3，故AB错误；
由b－a＞0，不能得到b－a＞1，故ln (b－a)＞0不一定成立，故C错误；
∴3a－b<30＝1，故D正确．
答案：D
6．解析：令－x2＋3x＋4>0，得－1即函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，4))，A正确，B错误；
∵－x2＋3x＋4＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋ eq \f(25,4)，
∴－x2＋3x＋4∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(25,4)))，
∴y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，＋∞))，C正确；
令t＝－x2＋3x＋4，则其在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))上单调递增， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))上单调递减，
又y＝lg0.4t在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上单调递减，由复合函数的单调性得y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))，D正确．
答案：ACD
7．解析：因为函数y＝lg0.45x在(0，＋∞)上是减函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,1－x>0，,x＋2<1－x，))解得－2答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
8．解析：由f(a)＝ln ( eq \r(1＋a2)－a)＋1＝4，得ln ( eq \r(1＋a2)－a)＝3，所以f(－a)＝ln ( eq \r(1＋a2)＋a)＋1＝－ln eq \f(1,\r(1＋a2)＋a)＋1＝－ln ( eq \r(1＋a2)－a)＋1＝－3＋1＝－2.
答案：－2
9．解析：(1)当a＝2时，函数f(x)＝lg2(x＋1)为[3，63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝lg2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝lg2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即lga(1＋x)>lga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当010．解析：(1)要使函数f(x)有意义．则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2>0,2－x>0))，
解得－2(2)由(1)知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为(－2，2)，设∀x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2))，则－x∈(－2，2).
且f(－x)＝lg (－x＋2)－lg (2＋x)＝－f(x), 故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)在定义域(－2，2)内是增函数， 因为f(x)>1，所以 eq \f(x＋2,2－x)>10，解得x> eq \f(18,11).
所以不等式f(x)>1的解集是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,11)，2)).
11．解析：a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))＝|ln eq \f(1,5)|＝ln 5，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝|ln eq \f(1,4)|＝ln 4，c＝f(3)＝|ln 3|＝ln 3，
∵函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，且3＜4＜5，
∴ln 3＜ln 4＜ln 5，
即c＜b＜a.
答案：D
12．解析：函数f(x)＝lgax＋lga(a－x)(a＞0，且a≠1)，
对于选项A，令x＞0且a－x＞0，解得0＜x＜a，
故函数f(x)的定义域为(0，a)，
故选项A正确；
对于选项B，f(x)＝lgax＋lga(a－x)＝lga[(a－x)x]＝lga(－x2＋ax)，
因为y＝－x2＋ax图象开口向下，故y有最大值，
但若0＜a＜1时，函数y＝lgax单调递减，此时f(x)无最大值，
故选项B错误；
对于选项C，若f(x)在(0，2)上单调递增，
①当0＜a＜1时，则y＝－x2＋ax在(0，2)上单调递减，
故 eq \f(a,2)≤0，解得a≤0，
故不符合题意；
②当a＞1时，则y＝－x2＋ax在(0，2)上单调递增，
故 eq \f(a,2)≥2，解得a≥4，
故选项C错误；
对于选项D，f(x)＝lgax＋lga(a－x)，
则f(a－x)＝lga(a－x)＋lgax＝f(x)，
所以f(x)图象关于直线x＝ eq \f(a,2)对称，
故选项D正确．
答案：AD
13．解析：由题意可知，f(lg4x)<0⇔－ eq \f(1,2)答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)14．解析：当x≤0时，2x－1是增函数，值域为(－1，0]；当x>0时，lg (x＋1)也是增函数，且值域为(0，＋∞)，故f(x)在R上单调递增．
∵f(2－a2)>f(a)，∴2－a2>a，
即a2＋a－2>0
解得－2答案：(－2，1)
15．解析：(1)要使函数f(x)＝ln (2－2x)＋ln (2－2－x)有意义，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－2x>0,2－2－x>0))，解得－1＜x＜1，即函数f(x)的定义域为(－1，1).
(2)f(－x)＝ln (2－2－x)＋ln (2－2x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)若f(x)≤m恒成立，则m≥f(x)max，
f(x)＝ln (2－2x)＋ln (2－2－x)＝ln [(2－2x)(2－2－x)]＝ln eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)＋2x))))，
因为－1＜x＜1，所以 eq \f(1,2)＜2x＜2，则2≤ eq \f(1,2x)＋2x＜ eq \f(5,2)，
所以0＜5－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)＋2x))≤1，
所以ln eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)＋2x))))≤0，
所以f(x)max＝0，即m≥0，
所以实数m的取值范围是[0，＋∞).
16．解析：(1)当a＞1时，画出函数f(x)＝lgax的图象：
如图：A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
连结AB取中点为D，过D做x轴的垂线交图象于点C，
则C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))))，
D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(1,2)[f（x1）＋f（x2）]))，
因为函数的图象是上凸的，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))> eq \f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]；
当0＜a＜1时，同上画出函数的图象，
因为函数的图象是下凸的，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))< eq \f(1,2)[f(x1)＋f(x2)].
(2)△ABC的面积为
S＝g(t)＝ eq \f(f（t）＋f（t＋2）,2)×2＋ eq \f(f（t＋2）＋f（t＋4）,2)×2－ eq \f(f（t）＋f（t＋4）,2)×4＝2f(t＋2)－f(t)－f(t＋4)＝lga eq \f(（t＋2）2,t（t＋4）)(t≥2).
∵a＞1，所以函数y＝lgax单调递增，
∴ 求S＝g(t)的值域，即变为求函数h(t)＝ eq \f(（t＋2）2,t（t＋4）)在t≥2时的最大值和最小值，h(t)＝ eq \f(（t＋2）2,t（t＋4）)＝1＋ eq \f(4,t2＋4t)，
当t≥2时，函数y＝t2＋4t单调递增，
所以 当t＝2时，函数h(t)有最大值，为 eq \f(4,3)，
此时S＝g(t)有最大值，为lga eq \f(4,3).
当t→＋∞时，h(t)→1，
此时S＝g(t)→0，
所以S＝g(t)的值域为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，lga\f(4,3))).