沪教版 (五四制)八年级上册19．4 线段的垂直平分线优秀ppt课件

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19.4 线段的垂直平分线思考1：我们知道，线段是轴对称图形，那么 它的对称轴是什么？ABMN动手操作：在纸上随意画出一条线段AB，然后再画出这条线段的垂直平分线MN，接着在MN上任取一点P，分别联结PA，PB.那么线段PA与PB之间有怎样的数量关系？PC量一量猜想：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等.已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线， 垂足为C，点P在直线MN上.求证：PA=PB.如何证明这个命题呢？12已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线， 垂足为C，点P在直线MN上.求证：PA=PB.证明：12∵MN是线段AB的垂直平分线.(已知)∴MN⊥AB，AC=BC.(线段的垂直 平分线的意义)情况1：设点P不在线段AB上.∵MN⊥AB(已知) ∴∠1=∠2=90o.(垂直的定义)在△PCA与△PCB中AC=BC(已知)∠1=∠2(已证)PC=PC(公共边)∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)AM(P)NBC12情况2：如果点P在线段AB上.∴点P与点C重合.即PA=PB.定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.思考1：如何用几何符号表示这个定理？∴________( ) 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等.看图填空：∵MN⊥AB，AC=BC（已知）PA=PB定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.思考2：这个定理逆命题是什么？逆命题正确吗？ 写出这个定理的逆命题，再进行证明.逆命题是：和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上.如何证明这个命题呢？AQBC已知：如图，QA=QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.证明：情况1：如果点Q在线段AB上.∵QA=QB.∴点Q是线段AB的中点.即点Q在线段AB的垂直平分线上.情况2：如果点Q不在线段AB上.过点Q做QC⊥AB垂足为点C.∵QA=QB(已知)，QC⊥AB(作图)∴CA=CB(等腰三角形的三线合一)即点C是线段AB的中点.∴点Q在线段AB的垂直平分线上.(线段的垂直平分线的定义)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.AQB 看图填空：∵QA=QB(已知)∴点Q在线段AB的垂直平分线上.(_____________________________________)和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上任何图形都是由点组成的，因此我们可以把图形看成是点的集合.由上述定理和逆定理可以知道：组成线段AB的垂直平分线的所有点到A、B两点的 距离都相等.2. 到A、B两点的距离都相等的所有点都在线段AB的 垂直平分线上.线段的垂直平分线可以看作是到线段的两个端点的距离相等的点的集合. 到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上例题 已知：如图，在△ABC中，OM、ON分别是AB、AC 的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上.ACOMBN证明：分别联结OA,OB,OC.∵OM、ON分别是AB、AC的垂直 平分线.(已知)∴OA=OB,OA=OC(______)∴OB=OC(等量代换)∴点O在BC的垂直平分线上.(__________________ _________________________)线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 遇见点在线段的垂直平分线上，分别联结这个点与线段的两个 端点，得到的连线的长度相等.拓展思考1：公路旁边有两个工厂，要在公路边建一个电话亭，要求到两个工厂的路程相等，如何确定电话亭的位置？P解：将两个工厂用线段相连，作这条线段的垂直平分线，垂直平分线与公路的交点P就是电话亭的位置.P讨论：如果情况是这样电话亭又在哪里呢？拓展思考2：如图，三个居民区A、B、C之间要建一所学校，要使学校到三个居民区的路程相等，如何确定学校的位置？ABCP请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容？（1）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等. 格式：∵MN⊥AB，AC=BC（已知） ∴PA=PB（…）（2）到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上. 格式：∵QA=QB（已知） ∴点Q在AB的垂直平分线上（…）（3）线段的垂直平分线可以看作是到这条线段的两个端点的 距离相等的点的集合.线段的垂直平分线练习 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=24 cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，且△BCE的周长为34cm，求底边BC的长.ACEFB解：∵EF是AC的垂直平分线.∴AE=CE (______________)∵△BCE的周长为34cm.∴BC+CE+BE=34 cm∴BC+AE+BE=34 cm∴BC+AB=34 cm∵AB=24 cm.∴BC=10 cm.答：底边BC的长是10厘米.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等练习2 已知：如图， AC=AD，BC=BD，点E在AB上. 求证：EC=ED.ACEDB证明：∵AC=AD(已知)∴点A在线段CD的垂直平分线上.(______________________________________________)和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上∵BC=BD(已知)同理可证，点B在线段CD的垂直平分线上.∴AB是CD的垂直平分线.(两点确定一条直线)∵点E在AB上.(已知)∴EC=ED.(________________________________ ________)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等