湖南省麻阳苗族自治县第一中学2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

2022年高三开学考试

一.选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，集合（为自然对数的底数），则（       ）

A． B． C． D．

2．已知，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知向量，满足，，，则（　　）

A． B． C． D．

4．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（   ）

A． B． C． D．

5．已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（　　）

A．直线是图象的一条对称轴

B．的图象可由 向左平移个单位而得到

C．的最小正周期为

D．在区间上单调递增

6．、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

7．若，则（       ）

A． B．

C． D．

8．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题:本小题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9．若，，且，则的可能取值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．某位同学记录了100次上学所用时间（单位：分钟），得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．上学所用时间平均数的估计值小于14

C．上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.17

D．上学所用时间的众数和中位数的估计值相等

11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（       ）

A．当时，

B．函数有两个零点

C．若方程有三个解，则实数的取值范围是

D．

12．2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（       ）

A．图（4）中共有294个正六边形

B．

C．是一个递增的等比数列

D．记为数列的前n项和，则对任意的且，都有

三.填空题:本小题4小题,每小题5分,共20分.

13．某机构开展关于环境保护的知识问卷（满分100分），从中抽取了8份试卷，成绩分别为72，85，80，81，86，81，92，90，则这8份试卷成绩的第60百分位数为______．

14．已知直线与直线垂直，则a等于___________.

15．已知，则的值是____.

16．已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的渐近线的方程为______．

四.解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

17．已知是数列的前n项和，

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．

18．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．

(1)求B和b的值；

(2)求面积的最大值．

19．《道路交通安全法实施条例》第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为．会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人．

(1)完成下面的列联表，并由表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？

(2)采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时使用手机的女性司机人数，求的分布列和数学期望．

参考数据：

参考公式：，其中．

20．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．

(1)证明：平面平面；

(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．

21．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.

(1)求的方程；

(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.

22．已知函数，．

(1)若x轴与曲线相切，求a的值；

(2)设函数，若对任意的，，求a的最大值．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

求出集合由交集的运算可得答案.

【详解】

集合，

，

.

故选：C．

2．B

【解析】

【分析】

先化简求得，再求模即可.

【详解】

∵ ，∴，

故选：B

3．D

【解析】

【分析】

由数量积运算求解即可.

【详解】

，，，．

，

因此，．

故选：D．

4．B

【解析】

【分析】

根据，利用倒序相加法求解.

【详解】

解：因为，

且，

令,

又

，

两式相加得：，

解得，

故选：B

5．B

【解析】

【分析】

根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.

【详解】

由函数部分图象，点，故 ，由于点 在单调递增的区间上，或 （舍去），

再根据五点法作图可得 ，求得，故 ．

对于A,令，求得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；

对于B,把向左平移个单位，可得的图象，故B错误；

对于C,的最小正周期为 ，故C正确；

对于D，，   ，故单调递增，故D对.

故选：B

6．C

【解析】

【分析】

由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】

抛物线的准线方程为，则，则、，

不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，

因为且，则为等腰直角三角形，

且，即，可得，

所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.

故选：C.

7．B

【解析】

【分析】

不等式变形后，构造函数确定单调性得出，然后由不等式的性质判断、对数函数性质判断各选项．

【详解】

由得，

设，易知是增函数，所以由得，

当时，C不存在，错误，A错误，

，则，，从而，D错误．

由不等式性质，B正确．

故选：B．

8．A

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出点E到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.

【详解】

取AD，BC中点N，M，正方形中心O，EF中点，连接，如图，

依题意，平面，，点O是MN的中点，，

等腰中，，，同理，

因此，等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，

刍甍的外接球球心在直线上，连，正方形外接圆半径，

则有，而，

当点在线段的延长线（含点O）时，视为非负数，若点在线段（不含点O）上，视为负数，

即有，即，解得，

因此刍甍的外接球球心为O，半径为，

所以刍甍的外接球的体积为.

故选：A

【点睛】

关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.

9．CD

【解析】

【分析】

将展开利用基本不等式求得最小值，再结合选项即可得正确选项.

【详解】

,

当且仅当即时等号成立，所以，

由选项可知的可能取值为，不可能为，

故选：CD.

10．BD

【解析】

【分析】

由频率之和为1，可得，频率分布直方图中众数为最高的小矩形的中间值，平均数为每一组中间值与小矩形面积乘积的和；中位数左侧和右侧的小矩形面积均为0.5.

【详解】

对于A，由频率之和为1有，故A不正确；

对于B，平均数：，故B正确；

对于C，上学所用时间超过15分钟的频率为，故C不正确；

对于D，由频率分布直方图可知，众数为14，设中位数为，则

，故D正确.

故选：BD

11．AC

【解析】

【分析】

根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；

利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在R上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．

【详解】

对A，设，则，所以，

又函数是定义在R上的奇函数，所以，

所以，即

故A正确．

对B，当时，，所以，

令，解得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，函数取得极小值，

当时，，又，故函数在仅有一个零点．

当时，，所以函数在没有零点，

所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，

故函数在上仅有一个零点，又，

故函数在上有3个零点．

故B错误．

对C，作出函数的大致图象，由图可知

若关于的方程有解，由B中的单调性可得，实数的取值范围是.

故C正确．

由图可知，对，

故D错误．

故选：AC．

12．BCD

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式的计算以及等比数列的性质求解即可.

【详解】

对于A，由图可知，图至图中正六边形的个数构成以为首项，

为公比的等比数列，故图中共有个正六边形，A错误；

对于B，由题可知，图中每个正六边形的边长为，

，，B正确；

对于C，是底数大于的指数型函数，

 是一个递增的等比数列，C正确；

对于D，，，，

，

当且时，

对任意的且，都有，D正确.

故选：BCD.

13．85

【解析】

【分析】

根据百分位数定义求解即可.

【详解】

解：这组数据为：72，80，81，81，85，86，90，92，

因为8×60%＝4.8，所以这8份试卷成绩的第60百分位数为85．

故答案为：85.

14．

【解析】

【分析】

若直线与直线垂直,则，进而求解.

【详解】

∵直线与直线垂直，

所以,

所以.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式即可求解.

【详解】

，

两边平方，可得，可得，

．

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

设C的左焦点为，连接，过作于D，根据已知及双曲线性质有为线段FB的中垂线，结合双曲线定义及参数关系求a、b的数量关系，即可得渐近线方程.

【详解】

设C的左焦点为，连接，过作于D，易知：，

在曲线C中，易知：，则，则D为线段FB的中点．

又，，即，得，则，

又，得，渐近线方程为．

故答案为：

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先求，利用和可求通项公式；

（2）先求，根据的取值逐个求解，然后求和可得答案.

（1）∵；∵，∴两式相减可得，又，∴.

（2）由（1）知：，所以当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以数列的前10项和为．

18．(1)，b=2；

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利用正弦定理可求得b；

（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面积公式可求得答案.

(1)

解：因为，所以，

，即，

因为，所以，

又，所以，所以，

又的外接圆半径，所以由正弦定理得；

(2)

解：由余弦定理得，

由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），

所以（当且仅当时取等号），

故面积的最大值为．

19．(1)列联表见解析；依据小概率值的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关．

(2)分布列见解析，数学期望为

【解析】

【分析】

（1）先完成列联表，计算出，再与进行大小比较，进而得到开车时使用手机与司机的性别是否有关；

（2）先求得随机变量的所有可能取值及其相对应的概率，进而得到的分布列，再利用随机变量期望公式即可求得的数学期望.

(1)

由已知数据可得列联表如下：

提出假设：开车时使用手机与司机的性别无关，

因为，

所以依据小概率值的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关．

(2)

采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，

其中的男性司机人数为：人；女性司机人数为：人．

由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3，

因为；；

；．

则的分布列为：

则．

20．(1)见解析

(2)存在，为的中点，

【解析】

【分析】

（1）由已知可得平面，则，则有平面，所以，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，

（2）假设存在点满足题意，过作于，过作于，连接，可证得为二面角的平面角，不妨设，则，则由∽，可得，再由可求出的值，从而可确定出点的位置

(1)

证明：因为，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为，所以,

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，

(2)

假设存在点满足题意，如图，过作于，

因为，所以∥，

由（1）知平面，所以平面，

因为平面，所以，

过作于，连接，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

所以为二面角的平面角，

不妨设，则，

在中，设，

因为∽，

所以，

所以，得，

所以，解得，

即此时为的中点，

综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，

【点睛】

关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是通过过作于，过作于，连接，结合已知条件证明出为二面角的平面角，再根据题意求解，考查数形结合的思想，属于较难题

21．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；

（2）由题意设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合可得，再代入韦达定理化简求解即可

(1)

由题意得，解得，，故的方程为.

(2)

证明：由题意设直线的方程为，，，

联立，得，       

所以，即，

，，

因为，所以，所以，       

即，则，

整理得，       

所以，即

整理得，解得或，       

当时，直线的方程为，恒过点，舍去；

当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，

即直线恒过定点.

22．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）求函数的导数，设切点，利用导数的几何意义可得，且，解方程求得答案;

（2）求出函数的导数，判断其正负确定函数的单调性，确定函数的最小值，比较函数在区间端点处的函数值，确定函数最大值，进而将对任意的，恒成立，转化为恒成立，从而求得答案.

(1)

由题意得，，

设x轴与曲线相切的切点为，

则，且，

即，显然，则，

则，又，解得 ；

(2)

由题意得，则，

由于，是单调增函数，，

故当时，，递减，当时，，递增，

故，

又 ，

则，令 ，则，

由于，（当且仅当x=0时取等号），故，

所以递增，则时，，

故时，,即，

即，即，

故对任意的，恒成立，

即恒成立，

故，令 ，则，

故单调递增，则即为，

即 ，所以，

故求a的最大值.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求参数的值以及利用导数解决不等式的恒成立问题，综合性较强，计算量大，解答时要注意利用导数判断函数的单调性，确定函数最值，另外还要注意函数在区间端点处的函数值大小的比较.