人教版九年级上册期末复习：第16讲 与圆有关的位置关系-解题技巧训练 （含解析）

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第16讲 与圆有关的位置关系


【板块一】切线的判定
方法技巧
当待证切线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确的公共点时，做垂直，证半径（有点连半径，证垂直；无点作垂线，证全等）
题型一 连半径，证垂直
【例1】如图，AD，BD是的弦，且∠ADB＝90°，点C是BD的延长线上的一点，且满足AD2＝CD·DB，连接CA，求证：AC是的切线。

【解析】连接AB，则AB是的直径，设CD＝x，BD＝y，
则AC²＝AD²＋CD²＝xy＋x²＝x（x＋y），AB²＝AD²＋BD²＝xy＋y²＝y（x＋y），
∴AC²＋AB²＝（x＋y）²＝BC²，∴∠CAB＝90°，∴AC是的切线.

【例2】如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（A左B右），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点.
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：直线CP是△ABC的外接圆的切线.

【解析】（1）易求A（－2，0），B（8，0），C（0，－4），
易证AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，故△ABC是直角三角形；
（2）设△ABC的外心为O′，∵∠ACB＝90°，∴O′（3，0），连接O′C，O′P，
作PE⊥y轴于点E，∵P（3，），∴O′C²＝25，O′P²＝，CP²＝CE²＋PE²＝，
∴O′C²＋ CP²＝ O′P²，∴∠O′CP＝90°，∴直线CP是△ABC的外接圆的切线，
题型二 作垂直，证半径
【例3】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且AD＋BC＝CD，求证：以CD为直径的圆与AB相切.

【解析】取CD的中点O，连接AO并延长交BC的延长线于点E，则△AOD≌△EOC，
∴AO＝OE，AD＝CE，∴AD＋BC＝CE＋BC＝CD＝BE，取AB的中点F，
连接OF，则OF∥BC，且OF＝BE＝CD，
∵∠ABC＝90°，∴OF⊥AB，∴以CD为直径的圆与AB相切.

针对练习1
1.如图，△ABC是的内接三角形，点E是经过点C的直线1上的一点，且∠ECB＝∠BAC，求证：直线1是的切线.

解：作直径CF，连接BF，则∠CBF＝90°，.∠BCF＋∠F＝90°；
∵∠ECB＝∠BAC＝∠F，∴∠BCF＋∠ECB＝90°，即OC⊥l，∴直线l是的切线.


2.如图，AB是的直径，点C是上的一点，过点C的直线与切线DB相交于点D，过点D作DE⊥DB交直线AC于点E.若AB＝2DE，求证：DC与相切.

解：连接OC，OD，则OA∥DE，OA＝DE，∴四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠COD＝∠BOD，∴△OCD≌△OBD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴DC与相切.





3.如图，在平行四边形ABCD中，经过A，B，C三点，且，求证：DC与相切.

解：连接CO并延长交AB于点E，连接OA，OB，∵，
∴∠AOE＝∠BOE，∴CE⊥AB，∵DC∥AB，∴OC⊥DC，∴DC与相切.

4.如图，AD是△ABC的高，且AD＝BC，点E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作，试判断BC与的位置关系，并说明理由。

解：过点O作OM⊥BC于点M，取CD的中点N，连接FN，
则FN∥AD，FN＝AD，∴OM＝FN＝AD，
∵EF＝BC＝AD，∴OM＝EF，∴BC与相切.

5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与边AB交于点P，△ABC的内切圆与边BC相切于点M，作MD∥AC交于点D，连接PD.求证：PD与相切.

解：设与AB相切于点S，连接IS，ID，IM，则∠PSI＝∠IMC＝∠IMB＝90°，
设∠B＝∠ACB＝2，则∠SP1＝∠B＋∠PCB＝3，∠SIP＝90°－3，
∵MD//AC，∴∠DMB＝∠ACB＝2，∴∠IDM＝∠IMD＝90°－2，
∴∠DIM＝4，∴∠MIC＝90°－，∴∠DIP＝90°－3＝∠SIP，
∴△IPD≌△IPS，∴.∠IDP＝∠ISP＝90°，∴PD与相切




【板块二】切线的性质
方法技巧
已知切线，连接过切点的半径，构造垂真关系，进行角度的转化或在直角三角形中运用勾股定理求线段的长（遇切线，连半径）.
题型一 遇切线，连半径，求角度
【例1】如图，AB是的直径，点P是AB的延长线上的一点，PC与相切于点C，∠APC的平分线交AC于点D.
（1）求∠ADP的度数；
（2）连接BC交PD于点E，若CD，CE的长是方程x2－mx＋2m＝0的两个根，求DE的长.

【解析】（1）连接OC，则∠OCP＝90°，设∠A＝，则∠COP＝2，
∴∠CPO＝90°－2，∴∠APD＝∠CPO＝45°，
∴∠ADP＝180°－（∠A＋∠APD）＝135°；
（2）由（1）知：∠CDE＝45°＝∠CED，∴CD＝CE，∴方程有两个相等的实数根，
∴（－m）²－4×2m＝0，∴m＝8（m＝0含去），∴CD＝CE＝4，∴DE＝CD＝4.

【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点O为BC的延长线上的一点，经过A，C，D三点的恰好与AB相切.

（1）求∠OCD的度数；
（2）求的值
【解析】（1）连接OA，则∠OAB＝90°，设∠OCD＝∠B＝∠D＝,则∠AOB＝2∠D＝2，
∴＋2＝90°，∴∠OCD＝＝30°；
（2）过点A作AE⊥OC于点E，设的半径为1，∵∠B＝∠OCD＝30°，∴OB＝2OA＝2
∴BC＝1，AE＝AB＝，∴，，



题型二 遇切线，连半径，运用勾股定理求线段的长
【例3】如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是边AB上的一点，且AE＝AB，经过点E的分别与边BC，CD相切于点M，N，与AB相交于另一点F，若，求矩形的面积.

【解析】连接NO并延长交EF于点G，则NO⊥CD，∴ NG⊥EF，∴ EG＝GF，连接OM，则OM⊥BC，∴四边形OMBG是矩形，∴OM＝BG，设EG＝GF＝x，则EN＝x，在Rt△NEG中，（x）²－x²＝8，∴EG＝x＝4，连接OE，设OE＝ON＝OM＝r，在Rt△OEG中，
r²＝（8－r）²＋4²，∴r＝5，∴EB＝EG＋GB＝9，∴AB＝EB＝12，∴S矩形ABCD＝96.
【例4】如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，点Q是以C（0，－1）为圆心，1为半径的上的一动点，过点Q的切线交直线AB于点P，求线段PQ的长的最小值

【解析】连接CQ，则QC⊥QP，连接CP，，∴PQ＝，
∴当CP最短时，PQ有最小值，此时CP1⊥AB，连接CA，
易知：BC＝4，OA＝4，AB＝5，∵BC·OA＝AB·CP1，
∴CP1＝＝，∴PQ的长的最小值是

针对练习2
1.如图，AB为的直径，点D为的中点，点E为BA的延长线上的一点，EC与相切于点C，连接CD，若∠E＝32°，则∠ECD＝_________

答案：74°
2.如图，点C是的直径BA的延长线上的一点，CD与相切于点D，点E是优弧上的一点（不与A，D，B重合），若∠C＝40°，则∠DEB＝____________

答案：115°或65°
3.如图，圆内接四边形ABCD的边AB是外接圆的直径，过点C的切线垂直于直线AD于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD＝__________.

答案：20°
4.如图，在△ABC中，BC＝2AC＝2a，当∠ABC最大时，则的值.

解：：AC＝a，点A在以C为圆心，以a为半径的上（与直线BC的交点除外），
∴当∠ABC最大时，AB与相切，切点记为A′，连接CA′，则∠CA′B＝90°，
此时，A′B＝＝a，∴当∠ABC最大时，
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，以OA为半径的交AB于点D，过点D作的切线交BC于点E，若OA：OC：AB＝1：2：5，求的值.

解:连接OD，证ED＝EB，设OA＝1，OC＝2，AB＝5，则BC＝4，连接OE，
设EB＝ED＝x，则CE＝4－x，∵OC² ＋CE²＝OE²＝OD²＋DE²，∴22＋（4－x）2＝12＋x2，∴x＝，即BE＝，CE＝4－x＝ ，∴＝
6.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM的长为半径作P，当P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长.
图1 图2
解：①如图1中，当P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∴PM2＝BM2＋PB2，∴x²＝4²＋（8－x）²，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC－PC＝8－5＝3；②如图2中，当OP与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，
∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4，
综上所述，BP的长为3或4.
7.如图，以的弦AB为边向外作正方形ABCD，过点D作DE与相切于点E，若AB＝2，DE＝3，求的半径.

解：过点O作OM⊥CD于点M，交AB于点N，则ON⊥AB，∴AN＝AB＝1＝DM，NM＝AD＝2，
连接OE，则∠OED＝90°，连接OA，设的半径为r，ON＝x，
∵OE²＋DE²＝OD²＝OM²＋DM²，OA²＝ON²＋AN²，∴，
∴，∴的半径为
【板块三】切线长定理——双切图
方法技巧
从一点出发的两条切线，构造切线长定理的基本图形是解决一类问题的关键.
【例1】【教材变式】（课本P101－6改）如图CA，CD是的两条切线，切点分别为A，D，AB是的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于点F，交于点E.
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝2，求AE的长.

【解析】（1）连接BE，则∠AEB＝90°，∴△ABE≌△CAF，∴CF＝AE，
（2）由（1）得BE＝AF，易证AE∥OD，∴OD⊥BE，∴BE＝2DF，设AE＝x＝CF，CD＝CA＝2.
∴DF＝2－x，∴BE＝4－2x，在△ABE中有：x²＋（4－2x）²＝2²，
∴x1＝，∴ x2 ＝2（舍去）,∴AE＝
【例2】【2018原创题】如图，AB为的直径，PB，PC分别与相切于点B，C，PC与BA的延长线交于点D，过点P作PE⊥PB，交AC的延长线于点E.
（1）求证：AB＝2PE；
（2）若AD＝1，CD＝3，求AE的长.

【解析】（1）连接PO，OC，∵PB，PC与相切，∴∠CPO＝∠BPO，∵∠OCP＝
∠OBP＝90°，∠POB＝∠POC，∵∠BOC＝∠OCA＋∠OAC，∠OAC＝∠OCA，∴∠POC
＝∠OCA，∴AC∥OP，又∵PE∥AB，∴四边形PEAO是平行四边形，∴AB＝2AO＝2PE；
（2）设OC＝OA＝R，在Rt△OCD中，R2＋32＝（R＋1）²，∴R＝4，设PB＝PC＝x，
在Rt△PBD中，x2＋92＝（x＋3）2，∴x＝12，∴AE＝PO＝＝＝4.



【例3】如图，在矩形ABCD中，以BC为直径在矩形内作半圆O，过点A作AE与相切于点E，连接CE，BE，若，求的值.

【解析】连接OA交BE于点F，则OA垂直平分BE，设BC＝2，AB＝3，∴OA＝，
∴BF，∴BE＝，OF＝＝，∴CF＝2×OF＝，∴
【例4】如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，弦BC∥PA，连接AC，若2AC＝BC，的半径是5，求PA的长.

【解析】连接AB、OP相交于点M，连接AO并延长交BC于点N，连接CO，证AN⊥BC，
∴CN＝NB＝BC，AC＝AB，证O垂直且平分AB，设CN＝4a，则BC＝8a，AC＝4a，∴AN＝8a，
在Rt△CON中，5²＝（4a）²＋（8a－5）²，∴a＝1，∵AM＝AB＝2，∴OM＝，
设MP＝y，∵OP²－OA²＝AP²＝AM²＋MP²，∴（＋y）²－5²＝（2）²＋y²，∴y＝4，
在Rt△AMP中，PA²＝（2）²＋（4）²＝100，∴PA＝10

针对练习3
1.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝α，点Q是⊙O上异于A，B的一点，则∠AQB＝ （用含α的式子表示）

解:连接OA，OB，则∠AOB＝180°－α，分类讨论点分别在优弧和劣弧上
∴∠AQB＝90°－或∠AQB＝90°＋

2.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B，C分别作⊙O的切线相交于点P，连接AC，OP.若2OP＝9AC，求的值

解:连接BC，交OP于点D.则OP垂直且平分BC∴OD＝AC，设AC＝2,则OD＝1.0P＝9，∴DP＝8，设DB＝x.则，，∴∴∴，
∴，

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O经过A，C两点，交边AB于点D，分别过C，D两点作⊙O的切线相交于点E
（1）求证:∠CED＝2∠B；
（2）DE交BC于点F，当DE∥AC时，若3EC＝5EF，DF＝4，求⊙O的半径长.

解：（1）连接OC,OD,则∠DOC＝180°－∠CED,∴∠A＝∠DOC＝90°－∠CED,
∵∠B＝90°－∠A∴∴∠B＝∠CED，∴∠CED＝2∠B
（2）延长DO交AC于点H∵DE∥AC，∴四边形CFDH是矩形，∴DF＝CH＝4，CF＝DH，
设EF＝3x，则EC＝5x＝ED，∴3x＋4＝5x，∴x＝2，∴CF＝4x＝8＝DH，
设⊙O的半径为r，则OH＝8－r，OC＝r.在Rt∠OCH中，，∴r＝5.

4.如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，⊙O与边AB，AD都相切，AO＝10，求⊙O的半径长

解:连接DB，延长AO交BD于点M∵⊙O与AB，D都相切，且AB＝AD∴AM垂直平分BD，
过点D作DN⊥AB于点N，∴AB·DN＝320.∴DN＝16，∴AN＝12，BN＝8∴BD＝，
∴DM＝BD＝，连接OD，设⊙O的半径为r，
∵,∴

【板块四】切线长定理多切图
反复运用切线长定理及其基本图形是解决“多切图”问题的基本策略；母子直角三角形是基础，勾股定理及面积法是常见的数学方法，方程思想是核心.
【例1】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点，B，点C，M在⊙O上，∠AMB＝60°，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点E，F，且△PEF的外心在PE上，⊙O的半径为
（1）求△PEF的周长
（2）求AE的长

【解析】连接OA，OB，OP，则∠AOB＝2∠AMB＝120∴∠APB＝60°∴∠OPB＝∠AB＝30°
∴PB＝PA＝OB＝3,∵EC＝EA，FC＝FB，∴PE＋EF＋PF＝（PE＋EA）＋（PF＋FB）＝PA＋PB－6:
（2）∵△PEF的外心在PE上∴∠PFE＝∠BFC＝90°，连接OC，则四边形OCFB是正方形，
∴BF＝OB＝，∴PF＝3－∴PE＝2PF＝6－2，∴AE＝PA－PE＝2－3.

【例2】（1）如图1，O与四边形ABCD的各边都相切已知四边形的面积为S，AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，⊙O的半径为r
①求r的值（用相关的字母表示）；
②若a＝13，c＝7，r＝4，则S＝80（直接写出结果）

【解析】（1）①连接OA，OB，OC，OD及过切点的半径,
∴S＝（a＋b＋c＋d)r∴r＝
②证AB＋CD＝AD＋BC，∴a＋c＝b＋d＝20，∴a＋b＋c＋d＝40∴s＝.

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝13，AB＝21，CD＝11，⊙与⊙分别为
△ABD与△BCD的内切圆，其半径分别为，，求的值.

【解析】（2）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，DE＝CF，则AE＝BF＝5
∴,.由（1）类比得，.∵,∴，∴

【例3】已知:在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，O分别与边AB，BC，CD，AD相切，切点分别为G，F，E，H.
（1）如图1，若∠ABC＝60°，求证:BF＝CF；
（2）如图2，GE，BC的延长线交于点P，若CD＝4，BF＝3，求GP的长

【解析】（1）连接OE，OF，OB，得正方形OECF，∠OBF＝∠ABC＝30°∴BF＝OF＝CF（2）延长BA，CD相交于点M，连接OM，OE，∴OM垂直平分EG，由（1）知，OE＝CE，证△ECP≌△OEM∴EP＝OM，证CE＝CF＝ED）＝2，BF＝BG＝3,设ME＝MG＝x，则MB＝x＋3,MC＝x＋2,BC＝5，
在Rt△MCB中，，∴x＝10＝ME,∴,
∵∴,∴GP＝EG＋EP＝


针对练习4
1.如图⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的一条切线DE与AB,AC分别相交于点D,E.若BC＝6，⊙O的半径为2，，则△ADE的周长是（B）
A.15 B.9 C.7.5 D.7

解:由＝（AB＋BC＋AC）·r知AB＋BC＋AC＝21∴AB＋AC＝15，
设⊙O与AB相切于点F，与AC相切于点M∴AF＋AM＝（AB＋C）－BC＝9
∴△ADE的周长是9，故选B.

2.如图，⊙O与四边形ABCD的各边都相切，点M，N分别是AD，BC的中点，四边形的周长为a，则下列说法正确的是（D）
A.MN＜a B.MN＝a C .MN＞a
D.以上都不正确

解:连接AC，取AC的中点，连接M，N，则＝（AB＋CD），
易证AB＋CD－AD＋BC＝a∴,≥MN（当AB∥CD时，取等号）∴MN≤a，故选D.

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O分别与三边相切于点D，E，F，若AD＝10，BC＝5，则OB的长为

解:连接OE.OF设⊙O的半径为r，则AC＝10＋r.AB＝15－r，
在Rt△ABC中，，∴r＝2，∴OB＝.

4.如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆，过点D作直线DE与⊙O相切于点F，交AB边于点E.若正方形的边长为1，求△ADE的面积

解:∵AB，CD，DE都与⊙O相切∴∴可设BE＝EF＝x，∴DE＝x＋1，AE＝1－x，
在Rt△ADE中，，∴x＝∴AE＝，∴

5.如图，在等边△ABC中，AB＝6，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.点M在⊙O上，且BM⊥DM，求BM的长.

解:∵△ABC是等边三角形∴BD＝DC＝3，延长M交⊙O于点N，连接ND
∵∠DMN＝90°∴ND为⊙O的直径，连接OC，在Rt△ODC中，∠OCD＝30°，
∵DC＝3，∴OD＝，∴ND＝，在Rt△BND中，DM⊥BN∴,
∵,∴,
∴.


【板块五】三角形的内心
方法技巧
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三个内角的平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.如图，点I是△ABC的内心，ID⊥BC于点D，IE⊥AC于点E，IF⊥AB于点F，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则:
（1）∠BIC＝90°＋∠BAC，∠AIC＝90°＋∠ABC，∠AIB＝90°＋∠ACB；
（2）ID＝IE＝IF，点I是△DEF的外心，△DEF为锐角三角形；
（3）AE＝AF＝（b＋c－a）， BD＝BF＝（a＋c－b）；CD＝CE＝（a＋b－c）.

【例1】如图，点O是△ABC的内心，OD⊥BC于点D，Oe⊥AC于点E，OF⊥AB于点F
（1）若AB＝9，BC＝14，AC＝13，则AF＝4，CD＝9；
（2）若AB＝9，AC＝13，则DC－BD＝4；
（3）若∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则OD＝2；
（4）若∠A＝90°，求证:.

【解析】易知:AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE
（1）易证:AF＝(AB＋AC－BC)＝4，CD＝(AC＋BC－AB)＝9；
（2）DC－BD＝EC－BF＝（CE＋AE）－（BF＋AF）＝AC－AB＝4:
（3）∵∠A＝90°∴BC＝＝10，正方形形AEOF，
∴OD＝OE＝OF＝AF＝(AB＋AC－BC)＝2；
（4）BC＝a,AC＝b,AB＝c,.

【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点M.
（1）如图1，连接IB，IC，求证:MB＝MI＝MC；
（2）如图2，若AI⊥OI，求证:AB＋AC＝2BC.

【解析】（1）连接MB，MC∵点1是△ABC的内心∴∠ABI＝∠CBI，∠BAM＝∠CAM＝∠CBM，
∴∠MBI＝∠CBM＋∠CBI＝∠BAM＋∠ABI＝∠MIB，∴MB＝M1，同理可证MC＝MI，∴MB＝MI＝MC;
（2）∵I是内心，∴，连接OM交BC于点N，则OM⊥BC∴BN＝NC＝BC，
∵AI⊥OI，∴AI＝IM＝BM，过点I作IG⊥AB于点G，则证Rt△AG≌Rt△BMN∴AG＝BN＝BC，
又证AG＝（AB＋AC－BC），∴BC＝（A＋AC－BC），∴AB＋AC＝2BC.

【例3】如图，在扇形OAD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为上的一动点（不与点A，D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O，I，D三点的圆的半径为r.问:r的值是否发生变化？若不变，求r的值；若变化，请说明理由

【解析】连接IO，IP，ID，∵点I是△OPQ的内心∴∠IOP＝∠IOD，易求∠OIP＝90°＋∠OQP＝135°,∵△OIP≌△OID（SAS）∴∠OID＝∠OIP＝135°，设过O.I.D三点的圆为⊙，
作直径DE，连接OE，则∠DOE＝90°，∠E＝45°∴DE＝OD＝∴r.



针对练习5
1.已知点是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠B0C＝110°，则∠BIC＝152.5°或117.5°
解:（分类讨论）①当点O在△ABC内部时，∠BIC＝90°＋∠BAC＝90＋×55＝117.5；
②当点O在△ABC的外部时，∠BIC＝90°＋∠BAC＝90°＋×125°＝152.5°
2.在扇形OAB中，∠AOB＝30°，AC⊥OB于点C，点I为△AOC的内心，以I，O，B为顶点的三角形的外接圆的直径为，则AC的长为

解:（方法同例3）易求OB＝OA＝8,∵∠AOB＝30°∴AC＝OA＝4.

3.如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上的一点（不与A，B重合），点I是△ABP的内心，PI的延长线交⊙O于点M
（1）求的值；
（2）过点I作IN⊥PB于点N，求的值

解:（1）证IM＝AM＝BM∵AB＝AM,∴；
（2）证IN＝PI，OB＝AB＝AM＝IM∴IN＋OB＝（PI＋IM）＝PM,∴

4.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），经过O，A两点的⊙分别交x轴的正半轴，y轴的负半轴于点B，C，点I是△OBC的内心，IG⊥BC于点G，求BG－CG的值.

解:过点A作AM⊥OB于点M，AN⊥y轴于点N，∵A（2，2）∴AM＝AN＝OM＝ON＝2∴Rt△ABM≌Rt△ACN∴BM＝CN，∴OB－2＝OC＋2，即OB－OC＝4，过点I作IE⊥OB于点E，IF⊥OC于点F
∵I是△OBC的内心∴BG＝BE，CG＝CF，四边形OEIF是正方形，
∴BG－CG＝BE－CF＝（BE＋OE）－（CF＋OF）＝OB－OC＝4

5.已知AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，点E为△ABD的内心，AB＝10
（1）如图1，连接AE，BE，若OE⊥BE，求AE的长；
（2）如图2，点C为的中点，过点C作CM⊥AE于点M，若AD＝8，求CM的长

解:（1）延长BE交⊙O于点F，连接AF，则∠AFE＝90°，∵点E是△ABD的内心，∴∠AEB＝135°，∴∠FAE＝∠FEA＝45°,∵OE⊥BE，∴设BE＝EF＝AF＝a，
在Rt△ABF中，，∴a＝∴AE＝AF＝a＝2；
2）连接DC，∵点E是△ABD的内心，点C是的中点，∴点E在DC上，
过点E作EG⊥AD于点G，易求EG＝DG＝（DA＋DB－AB）＝2，
∴AG＝6，∴AE＝，连接CA,
CB，则CA＝CE＝AB＝，∴ME＝AM＝AE＝，在Rt△CEM中，CM＝

【板块六】 隐形的圆─“道是无圆却有圆”
常见的隐圆有两类：（1）到定点的距离等于定长的点在同一个圆上（圆的定义）；（2）若定长线段的张角是定角（定弦定角），则定角的顶点在定弦所对的一条弧上运动．利用“辅助圆”的丰富性质转换角，求线段的长或最值是隐圆类冋题的基本模式．
题型一 利用圆的定义构隐圆
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝5，且AD∥BC，对角线BD＝8，求CD的长．

【解析】∵AB＝AC＝AD＝5，∴点B，C，D在以5为半径的⊙A上，延长DA交⊙A于点E，连接BE，则∠DBE＝90°，∴BE＝＝6，∵AD∥BC，∴＝，∴CD＝BE＝6．

【例2】如图，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE＝1，求BP的最大值．

【解析】过点A作AG⊥BC于点G，延长CB至点F，使BF＝BC，连接EF，则BP＝EF，在Rt△ABG中，BG＝AB＝2，＝＝12，∴FG＝5，连接AF，则AF＝＝，∵AE＝1，∴点E在以1为半径的⊙A上，∴FE的最大值为AF＋AE＝＋1，∴BP的最大值为．

题型二 利用定弦定角构隐圆
【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点P为对角线BD上的一点，作PE⊥AP交BC于点E．若∠CAE＝15°，求的值．

【解析】∵∠ABE＝∠APE＝90°，∴A，B，E，P四点在以AE为直径的圆上，∴∠BPE＝∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝30°，过点E作EG⊥BP于点G，∴可设BG＝EG＝a，则PE＝2EG＝2a，∴PG＝a，∴PB＝（＋1）a，∴＝＝

【例4】如图，△ABC为等边三角形，面积为9，点P为△ABC内的一动点，且满足∠PAB＝∠PCA，求线段BP的最小值．

【解析】∵∠PAB＋∠PAC＝60°，∴∠PCA＋∠PAC＝60°，∴∠APC＝120°，∵＝9，∴AC＝6，∴点P在以AC为弦，圆心角∠AOC＝120°的⊙O上，连接OB，∵OC＝，AC＝2，∴OB＝2OC＝4，∵当点P在线段OB与⊙O的交点处时，BP最小，∴线段BP的最小值为OB－OP＝4－2＝2．

针对习6
1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦（CD与AB不平行），点M是CD的中点，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且∠EMF＝60°，求的值．

解：连接OM．則OM⊥CD，连接OC，OD，则点C、E、O、M在以OC为直径的圆上，点O、F、D、M在以CD为直径的圆上，∴∠OCM＝∠OEM，∠ODM＝∠OFM，∠OEM＋∠OFM＝180°－∠EMF＝120°，∴∠OCM＋∠ODM＝120°，∴∠COD＝60，∴CD＝OC＝OD＝AB．∴＝．

2．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是上的一点，且∠AOC＝120°，点P是上的一动点，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，CD⊥OB于点D，求证：EF＝CD．

解：∵∠PFO＝∠PFO＝90°，∴P，E，O，F四点在以OP为直径的⊙上，作⊙的直径FM，连接MF，则∠EMF＝∠EPF＝∠COD＝60°，又∵ME＝OP＝OC，∴Rt△EMF≌Rt△COD，∴EF＝CD
（另解：可通过计算证明EF＝OP＝OC＝CD）．

思考：若条件“∠AOC＝120°”去掉，结论还成立吗？
3．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，且∠AEB＝90°，点F为DE的中点，连接CF，求CF的最大值．

解：∵∠AEB＝90°，点E在以AB为直径的半圆⊙M上．
∴解法同［例2］，CF的最大值为＋1．

4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q，求DQ的最小值．

解：∵∠ADB＝45°＝∠PQB，∠CQB＝135°，∴点Q在以BC为弦，圆心角∠BMC＝90°的上，∴DQ的最小值为2－．

5．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，BF⊥AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝AB；
（2）连接DB，DF，求证：∠BDF＝∠BCF．

解：（1）连接BE，∵∠BFE＝∠BCE＝90°，∴B，C，E，F在以BE为直径的圆上，∴∠BFC＝∠BEC，
∵点E是CD的中点，∴△ADE≌△BCE，∴∠BEC＝∠AED＝∠FBC，∴∠BFC＝∠FBC，∴CF＝CB＝AB；
（2）由（1）知：CF＝CB＝CD，∴点F，B，D在⊙C上（点C是△BFD的外心），∠BDF＝∠BCF．



【板块七】 隐圆隐切线求最值
在与最值有关的动态几何向题中，常利用“隐圆”或 “辅助圆”，借助切线的性质转化为与切线相关的间题解决．
【例1】（2019武汉元调）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上的一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，求AF的最大值．

【解析】∵∠AGB＝90°，AB＝4，：点G在以AB为直径的⊙O上，∵点C是定点，∴当CG与⊙O相切时，AF最大，∵⊙O与AD，BC分别相切于点A，B，此时AF＝GF，CB＝CG＝4，设AF＝GF＝x，则DF＝4－x，CF＝4＋x，在Rt△CDF中，＋＝，∴x＝1，即AF的最大值为1．

变式训练：（1）求DG的最小值；（2）当AF最大时，求AE的长


【例2】如图，点C是⊙O上的一点，⊙O的半径为2，点D，E分别是弦CA，CB上的一动点，且OD＝OE＝，求AB的最大值．

【解析】∵OD＝OE＝，∴点D，E在以为半径的⊙O上，∵点D，E分别在弦CA，CB上，∴当CA，CB分别与小⊙O相切于点D，E时，AB最大（如图），连接OC．则OD＝OC．∴∠DCO＝30，CD＝，∴∠ACB＝2∠DCO＝60°，∴△ABC是等边三角形，，此时AB＝AC＝2CD＝2，即AB的最大值为2．


【例3）】如图，在矩形ABCD中，AB＝，点P是边BC上的一动点（不与B，C重合），PQ⊥AP交边CD于点Q，若CQ的最大值为，求矩形ABCD的周长．

【解析】连接AQ，则点A，D，QP在以AQ为直径的⊙O上，∵点P是BC上的一动点，
∴当⊙O与BC相切于点P时，CQ最大（如图），连接PO并延长交AD于点M，则OM⊥AD，
∵CQ＝，∴OM＝DQ＝，OP＝OA＝MP－OM＝，在Rt△AOM中，AM＝＝＝1，∴AD＝2AM＝2，∷矩形ABCD的周长为2(＋2)＝9．



【例4）如图，A（0，8），B（0，2），点E是x轴的正半轴上的一动点，连接AE，BE，当∠AEB最大时，求点E的坐标．

【解析】易证：同弧所对的圆内角大于所对的圆周角，同弧所对的圆周角大于所对的圆外角，∴当过点A，B，E三点的⊙与x轴的正半轴相切于点E时，∠AEB最大，过点作F⊥AB于点F，则AF＝FB＝AB＝3，∴OF＝5，连接A，E，则E⊥x轴，∴四边形EOF是矩形，∴E＝OF＝5＝A，F＝OE，在Rt△AF中，F＝＝4＝OE，∴E(4，0)．

针对习7

1．如图，点P为⊙O内的一定点，点A为⊙O上的一动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 ．

解：不妨设点A是⊙O上的一定点，点P是⊙O内的一动点（相对送动），∵OP＝，∴点P在以为半径的⊙O上，∴当AP与小⊙0相切时，∠BOC＝2∠BAC最大，从而弦BC最大，如图，点为切点，C的长是BC的最大值，连接O，则O⊥AB，∴A＝，∴C＝2O＝2，即BC的最大值为2．


2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内的一点，且AC＝2，设∠BOC＝m，则m的取值范围是 ．

解：AC＝2，且点C在第一象限，∴点C在以2为半径的⊙A的第一象限的弧上，∴当C与⊙A相切于点时，m最小，接A，A⊥O，A＝0A＝2，∴∠OA＝30°，∴m的最小值为60°，∴m的取值范围是60°≤m＜90°．

3．如图，点A，B，P三点在一条直线上，AB＝4，PB＝2，∠ACB＝90°，当∠APC最大时，求PC的长

解：∵∠ACB＝90°，点C在以AB为直径的⊙O上，∴当∠APC最大时，PC与⊙O相切于点C，连接OC，则OC⊥PC，在Rt△POC中，PC＝＝＝2．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是边AB上的一点，PQ⊥CP交边BC于点Q，求BQ的最大值．

解:∵∠CPQ＝90°，点P在以CQ为直径的⊙O上，∴当⊙O与AB相切于点P时，CQ最小，∴BQ最大，连接OP，则OP⊥AB，AC＝AP＝6，∴BP＝10－6＝4，设CO＝OP＝r，则OB＝8－r，在Rt△OBP中，＝，∴r＝3，∴BQ＝OB－OQ＝5－3＝2．

5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边AB上的一点，点E，F分别是边BC，AC上的动点，且∠DEF＝45°．
（1）若DF＝2，求△DEF的外接圆的半径；
（2）当DF的值最小时，求AF的长．

解：（1）作△DEF的外接圆⊙O，连接OD，OF，则∠DOF＝90°，∴OD＝OF＝DF＝2，即△DEF的外接圆的丰径为2；
（2）由（1）知，DF＝OD＝OF＝OE，∴当OD＝OE＝OF最小时，DF的值最小，又∵D，E，F分别在AB，BC，AC上，∴⊙O与△ABC各边有公共点，∴当⊙O是△ABC的内切圆时，⊙O的半径最小，从而DF的值最小，∴四边形ODAF是正方形，∴AF＝2．


6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，点P是边AD上的动点，当∠BPC最大时，求PC的长．

解：当过B，C两点的⊙O与AD相切于点P时，∠BPC最大，连接PO并延长交BC于点M，则PM⊥BC，又∵OB＝OC．∴BM＝MC＝BC＝6，∴PD＝MC＝6，作AH⊥BC于点H，易得HM＝AP＝2，∴BH＝6－2＝4，AH＝CD＝4，PC＝2．