人教版九年级上册期末复习：第15讲 圆的有关性质-解题技巧训练 （含解析）

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第15讲 圆的有关性质


【板块一】 半径的运用
方法技巧
利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形。
▶题型一 利用半径相等作等量代换
【例1】 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形DEFG彼此相邻(点A，D，E在直径MN上，点B，C,F在半圆上，点G在CD上)，若正方形DEFG的面积为9，求⊙O的半径。

【解析】 连接OB，OC，OF，则△AOB≌△DOC(HL)
∴OA＝OD＝AD，设OA＝OD＝a，则AD＝CD＝2a，OE＝a＋3，
在Rt△ODC和Rt△OEF中，a2＋(2a)2＝OC2＝OF2＝(a＋3)2＋32,
∴a＝3或－(舍去)，∴OC＝＝a＝3，即⊙O的半径为3.

【解析】 通过等半径OC，OF结合勾股定理列方程.

【例2】 如图，点P是⊙O外的一点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与点A，B重合).求证：PA＜PC＜PB.

【解析】 连接OC，PO－OC＜PC＜PC＋OC，∵OA＝OB＝OC,
∴PO－OA＜PC＜PO＋OB，∴PA＜PC＜PC.

【解析】 点P到⊙O上的点的最小距离是PA的长，点P到⊙O上的点的最大距离是PB的长.

▶题型二 连半径，构等腰(构构全等)
【例3】 如图，AB是⊙O的直径，AD，BE的延长线交于点C，若∠C＝60°，试探究DE与AB的数量关系.

【解析】 连接OD，OE，∵∠C＝60°，∴∠A＋∠B＝120°，∴设∠A＝x，∠B＝y，∵OD＝OA＝OB＝OE，∴∠ODA＝∠A＝x，∠OEB＝∠B＝y，∠AOD＋∠DOE＝180°－2x＋180°－2y＝360°－2(x＋y)＝120°，∴∠DOE＝60°，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OE＝AB.


【例4】 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且交于点P，当四边形OAPC为平行四边形时，求证：AB＝CD.

【解析】 连接OB，连接OD.证△OAB≌△OCD即可.


针对练习1
1. 如图，点A，D，G，M在半圆上(点O是圆心)，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c的大小关系为 ．

【解析】 连接OD，OA，OM.

2. 图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，过上半圆上的一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆上移动时，(不与A，B重合)，点P（ ）．

A．C到CD的距离保持不变 B．位置不变
C．等分弧AB D．随C点移动而移动
【解析】 连接OP.


3. 如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，且AB＝2DE，若∠E＝13°，则∠AOC＝ ．

【解析】 连接OD.

4. 如图，扇形MON的半径为7，∠MON＝60°，点A，B，C分别在OM，ON及弧MN上，且△ABC使等边三角形.若AB⊥ON，求BC的长.

解：连接OC，设OB＝a，AB＝BC＝AC＝a，
∴在Rt△AOC中，(2 a)2＋(a)2＝72，∴a＝，∴BC＝a＝.


5. 如图，点P是⊙O内的一定点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与A，B两点重合)，求证：PA＜PC＜PB.

证明：证法同例2.


6. 如图，点P是△ABC的边AB的中点，分别以AC，BC为直径作半圆O1,O2,在半圆上分别取点E，F，使∠AO1E＝∠BO2F，求证：PE＝PF.

证明：连接PO1,PO2,证△PO1E≌△FO2P(SAS).



【板块二】 回到“圆的定义”中去
方法技巧
若O是一个定点，且OP＝r，则点P在以O为圆心，r为半径的圆上；共斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上.利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形.
▶题型一 四点共圆
【例1】 如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD的四条边的中点，求证：E，F，G，H四点在同一个圆上.

【解析】 连接AC，BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥CD，AB＝BC＝CD＝AD，连接OE，OF，OG，OH，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理可证：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴E，F，G，H四点在以点O为圆心的同一个圆上.

【点评】 到定点的距离等于定长的点在同一个圆上.

【例2】 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5.
(1)求证：A，B，C，D四点在同一个圆上；
(2)求(1)中圆的面积.

【解析】 (1)连接BD，则BD＝＝10，∴CD2＋BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°，取BD的中点O，连接OC，OA，则易证AO＝BO＝CO＝DO，∴点A，B，C，D在同一个圆上；

(2)25π.

▶题型二 求定点到动点的距离的最值(或范围)
【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在以1为半径的⊙B上，连接CD，并将CD绕点C顺时针旋转90°，得到对应线段CE，连接BE，求BE的长度的最小值.

【解析】 连接BD，AE，证△CDB≌△CEA，∴AE＝BD＝1，∴点E在以1为半径的⊙A上运动，∴BE的长度的最小值为BA－1，∵BA＝BC＝4，∴BE的长度的最小值为3.

【点评】 到定点的距离等于定长的点在同一个圆上.

【例4】 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M时边AD的中点，点N时边AB上的一动点，将△AMN沿直线MN翻折得到△A’MN，连接A’N，求A’C的最小值.

【解析】 ∵M’N＝MA＝1，∴点A’在以1为半径的M上运动，∴当点A’在CM上时，A’C的长最小，最小值为MC－1，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，∴DE＝DC＝1，CE＝，∴MC＝＝,∴A’C的最小值为－1.


针对练习2
1. 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是
A．矩形，平行四边形 B．菱形，正方形 C．正方形，直角梯形 D．矩形，正方形
2. 在同一个平面上，点P到院上的点的最大距离为10，最小距离为8，则该圆的半径为 ．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上的一动点，把△BDE沿直线DE翻折，得到△FDE，连接AF，求AF的最小值.

解：由翻折知DF＝DB＝BC＝3，∴点F在以3为半径的⊙D上，连接AD，则当点F在AD上时，AF的长最小，∵AD＝＝5，∴AF的最小值为AD－3＝2.


4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AC上的一点，且DC＝2，点E是边BC上的一动点，把△CDE沿直线DE翻折，得到△C’DE，求点C’到AB的最小距离.

解：由翻折知DC’＝DC＝2，∴点C’在以2为半径的⊙D上，过D作DG⊥AB，垂足为点G，∵垂线段最短，∴当点C’在DG上时，点C’到AB的距离最小，最小距离C’G＝DG－2，连接DB，∵AB·DG＝AD·BC＝2S△ABD，∴DG＝＝＝，∴点C’到AB的最小距离为－2＝


5. 如图，线段OB＝5，点A在OB上，OA＝2，点P是以2为半径的⊙A上的一动点，连接PB，以PB为边作等边△PBM(P，B，M按逆时针方向排列)，连接AM，求AM的取值范围.

解:以AB为边作等边△ABQ(点A，B，Q按逆时针方向排列)，连接AP，QM，则△BAP≌△BQM，∴QM＝AP＝2，∴点M在以2为半径的⊙Q上，∴当点M在AQ的延长线上时，AM的最大值为AQ＋2；当点M在线段AQ上时，AM的最小值为AQ－2，∵AQ＝AB＝3，∴AM的取值范围是1≤AM≤5.


6. 如图，点D时等边△ABC的边BC的中点，BC＝2，点F是一动点，DE⊥DF，且DE＝DF＝，指点AE与CF相交于点M.
(1)求证：A，D，C，M在同一个圆上；
(2)连接BM，求线段BM的长的最大值和最小值.

解：(1)连接AD，则AD⊥BC，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵DE＝＝AD，DF＝DC＝1，∴∠DAE＝∠DEA＝∠DCF＝∠DFC，∴∠EMF＝∠EDF＝90°.取AC得中点O,则OA＝OD＝OC＝OM＝AC,∴点A，D，C，M在以AC为直径的⊙O上;

(2)连接BO，则BO＝AQ＝，∵点M在以1为半径的⊙O上，∴当点M在BO的延长线上时，BM的最大值为BO＋1＝＋1；当点M在线段BO上时，BM的最小值为BO－1＝－1


【板块三】 垂直于弦的直径
方法技巧
(1)过圆心作弦的垂线段(弦心距)，构建垂直定理的应用模型；
(2)弦(非直径)的中点与圆心相连，构造垂直关系.
▶题型一 过圆心作弦的垂线段(作弦心距)
【例1】 如图，在O中，已知直径AB的长为2R，弦CD交AB于点P，当点P在AB上运动时，始终保持∠APC＝45°，问：的值是够变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由.

【解析】 过点O作OE⊥CD，垂足为点E，连接OC，则DE＝CE，设DE＝CE＝a，OE＝PE＝b，∴PC＝a＋b，PD＝a－b，∴PC2＋PD2＝(a＋b)2＋( a－b)2＝2( a2＋b2).在Rt△OCE中，∵OC2＋CE2＝OC2,∴a2＋b2＝R2,∴PC2＋PD2＝2 R2，∴＝.


【例2】 (1)如图1，点P是⊙O内的一点，弦AB⊥OP，垂足为点P，弦CD经过点P，求证：CD＞AB；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的的圆经过点A(13,0),直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C两点，求弦BC的长的最小值.

【解析】 (1)过O作OG⊥CD，垂足为点G，则CG＝DG＝CD，连接OA,OD,∵OP⊥AB，∴AP＝PB＝AB，设⊙O的半径为r，则AB＝2AP＝2，CD＝2DG＝2,在Rt△OPG中，∵OP＞OG，∴＞，∴CD＞AB.

(2)∵直线y＝kx－3k＋4＝(x－3)k＋4，经过顶点P(3,4)，∴由(1)知当BC⊥OP时，BC的长最小，连接OB，易求OP＝5，BP＝12，∴BC＝2BP＝24.


▶题型二 连接圆心与弦(非直径)的中点
【例3】 (1)如图1，点A时O上的一定点，B是⊙O上的一动点，点M时弦AB的中点，求证：点M在OA为直径的圆上；
(2)如图2，点A，B，C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，求CM的长度的最大值.

【解析】 (1)连接OM，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，连接AO，取OA得中点O1，连接O1M，则O1A＝O1O＝O1M，∴点M在以OA为半径的O1上，

(2)由(1)知：点M在以OA为直径的O1上，∴当点M时CO1的延长线于圆O1的交点时，CM的长度最大；过点C作CH⊥AO，垂足为H，∴CO1＝＝＝3，∴CM的长度的最大值为3＋3.


针对练习3
1.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°．若PC2＋PD2＝8，⊙O的半径长为_______.

答案：2.由例题1知PC2＋PD2＝2R2＝8，∴R＝2.

2.如图，已知点B，C在⊙O上，点A在⊙O内，∠CBA＝∠OAB＝60°，AB＝8，BC＝12，则⊙O的半径长为______.

答案：延长AO交BC于点D，则△ABD是等边三角形，BD＝AE＝8，过点O作OE⊥BC于点E，则BE＝BC＝6，∴DE＝2，OE＝2，连接OB，∴OB＝＝4.

3．在半径为6的⊙O中有一条长为8的弦AB，点P是AB的中点，当弦AB的端点A，B在⊙O上运动一周时，点P运动所形成的图形是____________________.
答案：以点O为圆心，以2为半径的圆.连接OP，OA，则OP⊥AB，AP＝AB＝4，OP＝＝2，∴点P运动所成的图形是：以点O为圆心，以2为半径的圆.

4．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P连接OP，若CP＝1，求AB2＋CD2的值.

答案：过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接OA，OD，则AE＝BE，CF＝DF，
易得AB2＝4AE2＝4(OA2－OE2)，CD2＝4DF2＝4(OD2－OF2)，AB2＋CD2＝4(OA2＋OD2)－4(OE2＋OF2)，
∵OE2＋OF2＝PF2＋OF2＝OP2，∴AB2＋CD2＝28.

5．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
(1)求证：AC＝DB；
(2)若AC·BC＝7，求圆环的面积S的值.

答案：(1)过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BE，CE＝DE，∴AC＝DB；
(2)连接OA，OC，则OA2＝AE2＋OE2，OC2＝CE2＋OE2，OA2－OC2＝AE2－CE2＝(AE＋CE)(AE－CE)＝AC·AD，AC＝DB，AD＝BC，S＝π(OA－OC)＝7π

6．如图正方形ABCD的顶点A，D和正方形EFGH的顶点E，F在以5为半径的⊙O上，点G．H在线段EC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形EGH的边长.

答案：过点O作OP⊥BC，分别交BC，AD，FF于点P，M，N，则OM⊥AD，ON⊥EF，连接OD，OF，在Rt△OMD中，OM＝＝4，∴OP＝PM－OM＝2，设NF＝a，则EF＝PN＝2a，ON＝2a＋2，在Rt△ONF中，a2＋(2a＋2)2＝52，∴a＝或－3(舍去)，∴EF＝2a＝，即正方形EFGH的边长为.

【板块四】圆中角
方法技巧
圆中的角主要有圆心角、圆周角：圆心角、弧、弦关系定理，圆周角定理及推论等定理的运用都是以“弧”
为中介，把圆中的角，圆中不同名称的量联系起来.
题型一利用直径构直角，遇直角连直径
【例1】如图，在半径为R的⊙O的内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点P，求证：AP2＋BP2＋CP2＋DP2为定值.

答案：作直径CE，连接ED，则∠CDE＝90°，∴CD2＋ED2＝CE2＝4R2，
∵∠CBD＝∠CED，∠BPC＝∠CDE＝90°，
∴∠BCA＝∠ECD，∴，∴AB＝ED，∴AB2＋CD2＝4R2，
∴AP2＋BP2＋CP2＋DP2＝4R2即为定值.

【例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过A，C两点作⊙O．分别交BC，AB于点D，E，若CD＝1、AC＝3，且E为AB的中点，求BD的长.

答案：连接AD，DE，∵AD＝＝，∴BD＝.
题型二利用圆内接四边形转化与有关的角
【例3】如图，AB是⊙O的直径，＝， CE⊥DB于点E，求的值.

答案：连接CA，CD，AD，CB，过点C作CF⊥AB于点F，证∠CBE＝∠CAD＝∠CDA＝∠CBA，
∴△CBE≌△CBF，∴BE＝BF，CE＝CF，∴△CAF≌△CDE，
∴AF＝ED，AB－BD＝(AF＋BF)－(DE－BE)＝2BE ，∴＝2.

【例4】如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点P是⊙O1上的一点，直线PA，PB分别与⊙O2交于C，D两点，连接CD，PO，求证：PO1⊥CD.

答案：延长PO1交⊙O1于点E，交CD于点F，连接AB，EB，证∠D＝∠PAB＝∠PEB，
∵PE是直径，∴∠PFB＋∠FPD＝90°，∴PO1⊥CD.

针对练习4
1.如图、AB，AC，AD都是⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD的长为______.

答案：连接BD，BC，则BD是⊙O的直径，∠DBC＝∠DAC＝30°，∠BCD＝90°，∴CD＝BD＝

2.如图，△ABC内接于⊙O， AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点H，若BC＝6，AH＝4，则⊙O的半径长为__________.

答案：作直径CF，连接FA，FB．易证AF∥BE，BF∥AD，∴四边形AHBF为平行四边形，∴AH＝BF＝4，∴CF＝2，∴⊙O的径为.

3.如图，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接正方形、点P是上的一动点(不与A，D重合)，连接PA，PB，PC，PD.
(1)分别求，的值
(2)求证：PA2＋PB2＋PC2＋PD2为定值.

答案：连接AC，BD．则AC，BD是⊙O的直径，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴ PA2＋PC2＝AC2＝4R2，PB2＋PD2＝BD2＝4R2，∴PA2＋PB2＋PC2＋PD2＝8R2即为定值.

4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，BA＝BC，经过A，D，C三点的⊙0交BC于点E，连接DE并延长，交AB的廷长线于点F，连接CF，DB.
(1)求证：CF＝DB；
(2)当AD＝时，求点E到CF的距离.

答案：(1)连接AC，AE，△ABC是等边三角形，证∠AEC＝∠ADC＝90°，∴CE＝BE，∴△ECD≌△EBF，DE＝EF，四边形CDBF平行四边形，CF＝BD；(2)过点E作EH⊥CF于点H，
∵△ABC是等边三角形，∠CAD＝30°，∴CD＝1，AC＝AB＝2，
∴BD＝CF＝＝，S△EFC＝S△FBC＝，
∴CF·EH＝，∴EH＝，∴点E到CF的距离为.

【板块五】弧的中点
方法技巧
弧的中点有三种常见的处理方法：①弧的中点与圆心相连，构建垂直关系；②弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形：③弧的中点与圆上的另一点相连，构建内(外)角平分线.
题型一 弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦
【例1】如图，在⊙O中，AD是直径，CD为弦，点B是的中点，若AB＝8，CD＝12．求AD的长.

答案：连接AC，BO并延长交AC于E，连接BC，证BE⊥AC，∴OE＝CD＝6，设⊙O的半径为R，则(8)2－(R＋6) 2＝AE2＝R2－62，∴R＝10或R＝－16(舍去)，∴AD＝2R＝20.

题型二 弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形
【例2】如图，AB是⊙O的直径，点D是AB的中点，DC是⊙O的弦，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N，(AM＜BN)
(1)求证：CM＝AM＝DN；
(2)若⊙O的半径为5，CD＝7，求的值.
(3)在(2)的条件下，求ON的长.

答案：(1)连接DA，DB，则DA＝DB，∠ADB＝90°，连接CA，CB，则∠ACD＝∠ECD＝45°，∴CM＝AM，证△DAM≌△BDN，∴AM＝CM＝DN.
(2)由(1)可设CM＝AM＝DN＝x，则DM＝CD－CM＝7－x，∴在Rt△ADM中，x2＋(7－x)2＝(5)2，解得x1＝3或x2＝4，∵AM＜BN，∴＝
(3)延长NO交BC于H，∵NC＝NB， OC＝OB，∴NO垂直平分BC，∴OH＝AC＝3，又∵NH＝BN＝4，∴ON＝NH－OH＝1.
题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分线
【例3】已知PA，PB是⊙O的弦，弦CD⊥PA于点E．
(1)如图1，若点C是劣弧的中点，求证：AE＝PE＋PB
(2)如图2，若点C是优弧的中点，试判断线段AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？证明你的结论.

答案：(1)过点C作CF⊥BP，垂足为点F，连接CA，CB，AB，CP，证∠CPA＝∠CBA＝∠CAB＝∠CPF，∴△PCE≌△PCF，△CAE≌△CBF， PF＝PE，BF＝AE，∴AE＝BF＝BP＋PF＝PE＋BP.
(2)结论:AE＝PE－PB，过点C作CF⊥PB，垂足为F，连接CA，CB，CP，
∴△PCE≌△PCF,△CAE≌△CBF,∴AE＝BF, ∴PE＝FP,∴AB＝BF＝PF－PB＝PE－PB.

针对练习5
1.如图，AB是⊙O的，BC是⊙O的直径，点D是的中点，弦CD交AB于点P，若AB＝4，BC＝5，求DP的长．

答案：连接OD交AB于点E，则OD⊥AB，∴BE＝AB＝2，∴OE＝＝，∴DE＝1，连接BD，则∠PDB＝90°，BD＝＝，设PE＝x，则PB＝x＋2，∴(x＋2)2－()2＝DP2＝12＋x2，∴x＝，∴DP＝.
2.如图，△ABC内接于⊙0，点D是的中点，DE⊥AB于点E，求的值.

答案：连接DB，DC，过点D作DF⊥CA交CA的延长线于点F，证∠DAF＝∠DBC＝∠DCB＝∠DAE，∴△ADE≌△ADF，△DBE≌△DCF，∴AE＝AF，BE＝CF，∴AB－AC＝(AF＋BE)－(CF－AF)＝AE＋AF＝2AE，即＝2.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是⊙O上的一点，且∠BAC＝2∠ECA
(1)求证：＝；
(2)连接BE，AE，若AD＝6，CE＝4，求△ABE的面积.

答案：(1)连接CD，OE，则∠ADC＝90°，∠AOE＝2∠ECA＝∠BAC，∴OE∥AB，∴EO⊥CD， ∴＝ .
(2)延长EO交CD于点G，则DG＝CG，OG＝AD＝3，设⊙O的半径为r，则r2－32＝CG2＝(4)2－(r＋3)2，∴r＝5或r＝－8(舍去)，∴CD＝2CG＝8，AC＝10，设BD＝x，则BC2＝x2＋82，在Rt△ABC中，(x2＋82)＋102＝(x＋6)2，∴x＝，即BD＝，AB＝，∵OE∥AB，∴S△ABE＝ S△ABG＝AB·GD＝.
4.如图，四边形AECD内接于⊙O，∠ABD＝∠CAD＝45°，BD＝7，设点B关于CD的对称为E，连接AE，若BC＝8，求AE的长.

答案：连接DE，CE，则DE＝BD＝7，CE＝BC＝8，过点D作DF⊥DE，且DF＝DE，连接CF，EF，则△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠CBD＝∠CED＝∠DEF＝45°，∴∠CEF＝90°，∴CF＝＝＝2，∴AE＝CF＝2.