2021-2022学年高二物理竞赛课件：分布函数和玻耳兹曼方程

这是一份2021-2022学年高二物理竞赛课件：分布函数和玻耳兹曼方程，共14页。PPT课件主要包含了驰豫时间近似，5-24等内容，欢迎下载使用。

分布函数和玻耳兹曼方程
用同样的理解方法，可以知道，相空间中由于碰撞单位时间离开 处单位体积的电子数为： (5-12)由于 为单位时间内由于碰撞而引起的 点的分布函数的变化，因此有： (5-13)
结合（5-8）、（5-10）、（5-13）式，可以得到定态条件下的玻耳茲曼方程为： (5-14)
(5-14)式表示的玻耳茲曼方程方程是一个微分—积分方程，为了求解方便，一般都要作一些简化，其中最主要的方法就是驰豫时间近似。 假设碰撞项可以写成下面的形式： (5-15)其中f0指的是平衡时的分布函数（即费米函数）。 是引入的一个参数，称为驰豫时间，它是波矢 的函数。它表示系统依赖碰撞机制使分布从非平衡分布f恢复到平衡分布状态f0时所用的时间。
引入驰豫时间后，玻耳茲曼方程就简化为： (5-16)根据能带理论的基本关系式： (5-17)以及： （其中 ） （5-18）和： （5-19）
将（5-17），（5-18），（5-19）式代入（5-16）式，则玻耳茲曼方程可以写为： (5-20）当晶体中的温度梯度为零，而且晶体只受外电场力作用时，玻耳茲曼方程可以简化为： （5-21）此式可以用于讨论金属的电导率的问题 。★ 在讨论金属的热导率问题时（5-20）式等号左边的第一项就很重要了。
在恒温以及恒定外电场的条件下，金属晶体中能够形成稳定的电流密度 。这时玻耳茲曼方程可以写成（5-21）的形式，经简单的变化可写为： (5-22)这个方程的解就是电场存在时定态的分布函数f，显然f将是电场 的函数，因此可以把f按 的幂级数展开为： (5-23)式中,f0为 时的f值，因此就相当于平衡情况下的费米函数；f1，f2，…，分别代表包含 的一次幂、二次幂、……、项。
将（5-23）式代入（5-22）式得： 由于等式两边的 同次幂的项应该相等，因此得到下面的一系列等式： (5-25)
由于f0只是电子的能量 的函数，因此（5-25）式中的 一次幂方程可以写成： (5-26)
通过物理实验我们知道，在一般的电导问题中，电流与电场成正比，服从欧姆定律，这种情况相当于弱场的情况，也就是说，电流与电场成正比的关系是一种弱场的近似，此时分布函数只需要考虑到 的一次幂，即: 由（5-6）式可知，电流密度可以直接由分布函数得到，即： (5-27)
在（5-27）式中，第一项相当于平衡分布时的电流密度，因此等于零，将（5-26）式代入（5-27）式中得： (5-28) （5-28）式即为欧姆定律的一般公式。可见这是一个向量关系式。如果把该关系式用分量表示则有： （5-29）
如果把（5-29）的向量关系式展开则可以表示为： (5-30)其中： （5-31）是电导率二阶张量的分量。