2021-2022学年山东省东营市东营区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省东营市东营区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是(    )

A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 随的增大而减小

3. 一元二次方程的根的情况为(    )

A. 无实数根 B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定

4. 如图，在中，点、分别在边、上，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 电影长津湖上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，将增长率记作，则方程可以列为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标和的值分别为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7. 若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点在轴正半轴上，点在第二象限内，直线交轴于点，轴，垂足是，反比例函数的图象分别交，于点，，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知菱形，、是动点，边长为，，，则下列命题中正确的是(    )
    ≌；
    为等边三角形；
    的边长最小值为；
    若，则．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．
12. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为______．
13. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则______．
14. 计算： ______ ．
15. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程为______ ．

16. 如图，点在曲线到上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是，则的值为______．

17. 如图，已知点、分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为______．

18. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形∽矩形：再连接，以对角线，为边，按逆时针方向作矩形，使矩形∽矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作矩形的面积记，矩形的面积记作，，则的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算；
    解方程：．
20. 如图，点的坐标为，点的坐标为作如下操作：
    以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到；
    以点为位似中心，将放大，得到，使相似比为：，且点在第三象限．
    在图中画出和；
    请直接写出点的坐标：______ ，______ ；
    在上面的问下，直接写出在线段上的任意动点的对应点的坐标：______ ，______

21. 如图：在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与双曲线：交于，两点．
    求双曲线的函数关系式及的值；
    判断点是否在双曲线上，并说明理由；
    当时，请直接写出的取值范围．

22. 如图，有一块形状为的斜板余料，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，，两点分别在，上，且，求平行四边形的面积为多少？

23. 新华商场销售某种商品，每件进货价为元，市场调研表明：当销售价为元时，平均每天能售出件；在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低元时，平均每天就能多售出件．
    若降价元，则平均每天销售数量为______件；
    当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到元？
24. 如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒，连接．
    若，求的值；
    若与相似，求的值．

25. 如图，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
    观察猜想．
    图中，线段、的数量关系是______，的大小为______．
    探究证明
    把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；
    拓展延伸
    把绕点在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：被开方数中的因式是整式，因数是整数，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
图象位于第一，第三象限，
故A正确，不符合题意；
B.，
图象必经过点，
故B正确，不符合题意；
C.，
，
图象不可能与坐标轴相交，
故C正确，不符合题意；
D.，
在每一个象限内，随的增大而减小，
故D错误，符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
无实数根，
故选：．
求出判别式，判断其的符号就即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程无实数根是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
根据，得到，根据，得到，，得到∽，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，得到相似三角形的对应边的比是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
第一天为，根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：位似中心的坐标为：，
的值为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，，
，
故选：．
根据，结合，即可求出，的值，代入式子计算即可．
本题考查了二次根式和绝对值的基本知识，解题关键在于通过观察题目进行正确的计算．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，则，一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以选项正确，选项错误；
当时，一次函数图象经过第一、二，四象限，所以、选项错误．
故选：．
根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数为双曲线，当时，图象分布在第一、三象限；当时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象过点，轴，
，，
，．
过点作轴于，则轴，
：：：：，
，，
，即，
点的横坐标为，
又在反比例函数的图象上，
时，，
，．
，
∽，
，即，
，
的面积．
故选：．
过点作轴于，先由点坐标求出反比例函数的解析式和，再根据平行线分线段成比例定理求得，进而求得点坐标即求得，然后利用相似三角形的判定与性质证明∽求得，进而利用三角形面积公式求解即可．
本题考查了坐标与图形性质，待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与应用是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，
是等边三角形，
，．
，，，
≌；
故正确；
≌；
，，
，
，
是等边三角形，
故正确；
是等边三角形，，
当时，的边长取最小值，
在中，，，
，
的边长最小值为，
故错误；
过点作，交于点，

≌，
，
，
．
，
，，
是等边三角形，
．
，
，
，
，
故正确．
故选：．
由菱形的性质结合已知条件得出，，得出是等边三角形，进一步即可证明≌，可判断结论；由≌，得出，，由，可得，得出是等边三角形，可判断结论；当时，的边长取最小值，利用解直角三角形求出此时，可判断结论；过点作交于点，求出，然后利用平行线分线段成比例定理求出，可判断结论结论；即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用各性质进行推理是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
点、、都在反比例函数的图象上，
，
即，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以得到、、的大小关系．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，第一象限内的，第三象限内的．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：．
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
先化简括号内二次根式，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

15.【答案】 

【解析】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为米，
根据题意得：．
故答案为：．
设小路宽为米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了米，进而即可列出方程，求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，与轴交于点，

轴，点双在曲线上，点在双曲线上，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答．
此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与的关系是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】
解：作轴于，轴于，如图，
点、分别在反比例函数，的图象上，
，，
，

，
又，
，
∽，
，
．
故答案为．
作轴于，轴于，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明∽，然后利用相似三角形的性质得到的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
按逆时针方向作矩形的相似矩形，
矩形的边长和矩形的边长的比为：，
矩形的面积和矩形的面积的比：，
，，，
．
故答案为：．
根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质发现规律，然后根据规律即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
 

19.【答案】解：

；
，
，
，
或，
，． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，负整数指数幂，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：如图，和为所作；

点的坐标：；
故答案为，；
点的坐标为．
故答案为，．
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、得到；把向左平移个单位，再把平移后的各顶点的坐标都乘以后向右平移个单位得到各顶点的坐标，然后描点即可；
由中的图形变换规律写出和的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

21.【答案】解：
连接，相交于点，
四边形是菱形，
，，，
，，
，轴，
轴，
点，，
点，，在直线上，
，
，
点，
点在双曲线上，
，
双曲线的函数关系式为；

由知，，，
，
由知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上；

由知，
由图象知，当时的值的范围为或． 

【解析】连接，相交于点，确定出点，轴，进而求出点，，最后将点，，的坐标代入直线的解析式中求出，进而求出点坐标，最后将点坐标代入双曲线的解析式中求解，即可得出结论；
先求出点的坐标，判断即可得出结论；
根据图象直接得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用表示出点的坐标是解本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作于点，交于点，

，，，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，，，
∽，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积，
答：平行四边形的面积为． 

【解析】过点作于点，交于点，由勾股定理求出，利用等积法求出，证明∽，得出，进而求出，进而，即可求出平行四边形的面积．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：件．
故答案为：．
设每件商品降价元，则平均每天可销售件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
舍去．
答：当每件商品定价元时，该商店每天销售利润为元．
根据平均每天销售量降低的价格，即可求出结论；
设每件商品降价元，则平均每天可销售件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，，，，
，
，．
由题意知：，，
，
，
，
解得：．
分两种情况：当∽时，
则，即，
解得：．
当∽时，
则，即，
解得：．
综上所述：当或时，与相似． 

【解析】由已知条件得出，由题意知：，，，由得出方程，解方程即可；
分两种情况：当∽时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出的值；
当∽时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出的值；
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：；；
是等边三角形．
理由如下：由旋转可得，，
又，，
≌，
，，
点、、分别为、、的中点．
，，，，
，，，
，
，
，
是等边三角形；
根据题意得，，即，
，
的面积，
的面积的最大值为． 

【解析】

【分析】
本题是三角形的一个综合题，主要考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，关键证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来．
先由，，得，再由三角形的中位线定理得与的数量关系，由平行线性质得的大小；
先证明≌得，再由三角形的中位线定理得，由平行线性质得，再根据等边三角形的判定定理得结论；
由，得，再由等边三角形的面积公式得的面积关于的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．
【解答】
解：，，
，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
故答案为：；；
见答案；
见答案．