2021-2022学年江西省宜春市丰城九中八年级（下）期末数学试卷（A卷）（Word解析版）

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2021-2022学年江西省宜春市丰城九中八年级（下）期末数学试卷（A卷） 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）年月日，宁津县人民政府印发津县城市生活垃圾分类制度实施方案的通知，全面推行生活垃圾分类．下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，是的外接圆，，过点作的切线，交的延长线于点设，，则(    )A.
B.
C.
D. 如图中国古代在利用“计里画方”比例缩放和直角坐标网格体系的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为观测者的眼睛图中用点表示与在同一水平线上，则下列结论正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 设，是方程的两个实数根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长使，连接，得，所以类比这种方法，计算的值为(    )
A.  B.  C.  D. 如图已知反比例函数的图象如图所示，将该曲线绕点顺时针旋转得到曲线，点是曲线上一点，点在直线上，连接、，若，的面积为，则的值为(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）已知二次函数的图象顶点在轴上，则______．如图，边长为的正六边形内有两个三角形数据如图，则 ______ ．
 已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为______．如图，已知是的直径，且，弦，点是弧上的点，连接、，若，则的长为______．
 如图，四边形为矩形，点为边上一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处．已知为中点，，连接，，若的面积为，那么的面积为______．如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用个这样的图形图拼出来的图形的总长度是______结果用含，代数式表示．
  三、解答题（本大题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解方程：
；
．已知关于的一元二次方程．
求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
若方程有两个实数根为，，且，求的值．先化简，再求代数式的值，其中，．如图，已知，，，，，．
求证：∽．
已知：如图，中，，．
求作：线段，使得点在线段上，且．
作法：以点为圆心，长为半径画圆；
以点为圆心，长为半径画弧，交于点不与点重合；
连接交于点．
线段就是所求作的线段．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接，
，
点在上，
点在上，
______ 填推理的依据．
，
______ ．
 
如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，、、、分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内用画树状图的方法，求圆球落入号槽内的概率．
 
如图，一次函数、为常数，且与反比例函数为常数，且的图象相交于点，与轴交于点．
求反比例函数的解析式；
点在轴上，且的坐标为，的面积为，求一次函数的解析式．
新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度结果取整数参考数据：，，．
如图，在中，，平分，点在上，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积结果保留．
如图，在中，，将绕点旋转一定的角度得到，且点恰好落在边上．
求证：平分；
连接，求证：．
二次函数与轴分别交于点和点，与轴交于点，直线的解析式为，轴交直线于点．
求二次函数的解析式；
为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与抛物线及直线分别交于点、直线与直线交于点，当时，求值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 2.【答案】 【解析】解：连接，

，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：．
连接，根据三角形外角的性质得，再由切线的性质得，从而得出．
本题主要考查了切线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：，，
∽，
，
故选：．
由，，得出∽，进而得出，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故选：．
根、是方程的两个实数根，求出，，得出，把变形后进行计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 5.【答案】 【解析】解：在中，，，延长使，连接，得，

设，则，
，
故选：．
在中，，，延长使，连接，得，设，则，根据计算即可．
本题解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
 6.【答案】 【解析】解：将直线和曲线绕点逆时针旋转后直线与轴重合，
旋转后点落在曲线上，点落在轴上，如图所示，
设点和点的对应点分别为点和，
过点作轴于点，连接，，
，
，，
，
，
．
故选：．
将直线和曲线绕点逆时针旋转，则直线与轴重合，曲线与曲线重合，即可求解．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、旋转的性质，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了二次函数图象的顶点坐标，为基础题．
根据二次函数图象的顶点在轴上，即顶点的纵坐标为，据此作答．
【解答】
解：根据题意，得
，
即，
得，
故．
故答案为：．  8.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故答案为．
先求出正六边形的面积，再求出阴影部分面积、空白部分面积即可．
本题考查正多边形与圆的有关知识、三角形的面积公式、直角三角形度角的性质，记住等边三角形的面积是等边三角形边长，解题的关键是理解正六边形是由个等边三角形构成的，属于中考常考题型．
 9.【答案】 【解析】解：二次函数的对称轴为轴，分别取，时函数值相等，
，
当取时，即取时，函数值，
故答案为：．
先判断出二次函数的对称轴为轴，然后根据二次函数的对称性确定出，然后代入函数解析式计算即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质并求出是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：连接、，

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
是的直径，且，
，
，
是的直径，弦，
，
故答案为：．
连接、，根据圆周角定理得出，再在中求出，最后根据垂径定理即可得解．
此题考查了圆周角定理及垂径定理等相关知识点，求出是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，连接，

，
，
为中点，
：：，
设，，
，
的面积为，
，
解得舍去或，
，，，
，
由翻折可知：，垂直平分，，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，连接，设，，根据点是的中点，可得，根据的面积为，求出的值，然后利用三角形的面积即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了利用轴对称设计图案和列代数式，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，属于较易题．
用个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度．
【解答】
解：由图可得，拼出来的图形的总长度．
故答案为：．  13.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，；
，
，
，
或，
，． 【解析】利用配方法可解方程；
利用因式分解法可解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 14.【答案】证明：

，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得． 【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 15.【答案】解：原式

，
当，时，
原式． 【解析】先化简，再带入求解．
本题考查了分式的化简及特殊角的三角函数值，因式分解是解题的关键．
 16.【答案】证明：，，
，
，，
，
，，
，
，
∽． 【解析】根据，，得，根据勾股定理求出，可得，根据相似三角形的判定即可得到∽．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 17.【答案】解：如图，为所作；


一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；． 【解析】解：见答案；
证明：连接，如图，
，
点在上．
点在上，
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
，
，
．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；．

利用几何语言画出对应的几何图形；
先根据圆周角定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
 18.【答案】解：根据题意，画出如下树形图，

共有种情况，其中落入号槽的有种，
落入号槽． 【解析】根据题意画出该过程的树状图，写出所有可能的情况，即可求圆球落入号槽内的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 19.【答案】解：反比例函数为常数，且的图象过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
点、在轴上，的面积为，
，
，
，
，
把，代入、为常数，且得，
解得，
一次函数的解析式为． 【解析】利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
利用三角形面积求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，三角形面积，也考查了待定系数法求函数解析式．
 20.【答案】解：作于，
则四边形为矩形，
，
在中，，
则，
在中，，
，
，
则该建筑的高度为． 【解析】作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 21.【答案】证明：连接，如图，
为平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．

过作，连接，则四边形为矩形，
，，
在中，利用勾股定理得：，
，则是等边三角形，
阴影部分面积为． 【解析】欲证明是的切线，只要证明即可．
证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 22.【答案】证明：将绕点旋转一定的角度得到，
，，
，
，
即平分；
如图，

将绕点旋转一定的角度得到，
，，，
，
，
，
，，
． 【解析】由旋转的性质得出，，证出，则可得出结论；
由旋转的性质得出，，，证出，则可得出结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 23.【答案】解：直线与轴、轴分别交于、两点，
点，点，
和在抛物线上，
，解得，
二次函数的解析式为：
 二次函数与轴交于点、，
点，
轴交直线于点，
点，
，
轴，轴，
，
∽，
，
轴交直线于点，点，
，．
若点在原点右侧，如图，则，
，解得：，；

若点在原点左侧，如图，则，
，解得：，舍去；

综上所述，的值为或或． 【解析】由直线求出点、的坐标，再代入二次函数的解析式，求出、的值，得出二次函数的解析式；
用含的代数式表示点和点的坐标，用相似的三角形对应边成比例的性质列方程，求出的值．
此题重点考查二次函数的图象与性质，用字母表示横、纵坐标并且用相似三角形的性质列方程是解题的关键．