2021-2022学年河南省济源市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河南省济源市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知一个直角三角形的两边长分别为、，则这个三角形的第三边长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度与时间的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 八年级一班的学生平均年龄是岁，方差是，一年后该班学生到九年级时，下列说法正确的是(    )

A. 平均年龄不变 B. 年龄的方差不变
C. 年龄的众数不变 D. 年龄的中位数不变

6. 阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力，如图．
   解决问题：设两个共点力的合力为，现保持两力的夹角不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则(    )

A. 合力一定增大 B. 合力的大小可能不变
C. 合力可能增大，也可能减小 D. 合力一定减小

7. 小刚和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小刚让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小刚和爷爷离开山脚的距离米与爬山所用时间分的关系从小刚开始爬山时计时根据图象，下列说法错误的是(    )

A. 小刚在分钟后追上爷爷 B. 在爷爷上山米后，小刚开始追赶
C. 小刚的速度是爷爷的速度的倍 D. 爷爷早锻炼到山顶一共用了分钟

8. 如图，是边长为的等边三角形，将沿射线向右平移到，连接、，下列结论错误的是(    )

A.  B.
C. 四边形是菱形 D. 四边形的面积为

9. 宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线与点；作，交的延长线于点则图中下列矩形是黄金矩形的是(    )

A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形

10. 如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 与最简二次根式可以合并，则______．
12. 某班举行美食比赛，除参赛选手外，其他同学作为美食评委，分别给每一盘菜肴进行打分，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，评委甲将参赛成员的成绩整理并绘制成如图统计图，由图可知，参赛成员的平均得分为______分．

13. 如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且其中最大的正方形面积为，则图中所有的正方形的面积之和为______．

14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为______．

15. 如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

16. 计算：结果保留小数点后两位，，

四、解答题（本大题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．
    【解决问题】：已知在中，，，．
    请你用“海伦秦九韶公式”求的面积．
    除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
18. 本小题分
    某校有名学生参加了期中考试，对于语文和数学两科成绩，随机调查了名学生，并对数据进行了整理、描述和分析，给出了以下部分信息：
    这名学生数学成绩的频数分别如下：

这名学生数学成绩在这一组的具体成绩是：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
数学、语文学生样本成绩的平均数，中位数，众数如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
表中的值是______．
在学生样本成绩中，一名学生某科的成绩是分，他在抽取的学生中单科排在前名，根据表中数据判断该生成绩所属学科为______填“数学”或“语文”，理由是______．
本次数学考试成绩不低于分的学生可获得数学单科奖，请估计此次考试全校获得数学单科奖的人数．

19. 本小题分
    【问题原型】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点求证：四边形是菱形．
    【甲同学的证法】：
    证明：是的垂直平分线，
    ，第一步，第二步
    四边形是平行四边形．第三步
    第四步
    平行四边形是菱形第五步
    【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
    【挑错改错】：
    甲同学的证明过程在第______步出现了错误．
    请你根据甲同学的证题思路写出此题的正确解答过程．

20. 本小题分
    某校八班同学在社会实践调研活动中发现，某超市销售，两种商品，进价和售价如表所示：

已知该超市购进，两种商品共花费元，销售完成后共获得利润元．
填空：超市购进种商品______件，种商品______件；
若超市再次购进，两种商品共件，其中商品的数量不多于商品数量的倍，且两种商品的总利润不低于元，问共有几种购进方案？请求出利润最大的购进方案，并求出最大利润．

21. 本小题分
    如图，，，是方格纸中的格点，请画出所有符合条件的格点，使得，并说明你所得结论的正确性．
    若图中每个小正方形的边长为，在的条件下，请求出的周长．

22. 本小题分
    已知一次函数，其中．
    若点在的图象上，求的值；
    当时，，求的函数解析式；
    对于一次函数，其中，若对于任意实数，总有，直接写出的取值范围．
23. 本小题分
    如图，在中，，与、相邻的外角平分线交于点，过点分别作直线、的垂线，、为垂足．
    求证：四边形是正方形．
    若，，求的长．
    借助上面问题的解题思路，解决下列问题：
    若在中，，是的一条高，，，请直接写出的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：当长为的边是直角边时，第三边长为：，
当长为的边是斜边时，第三边长为：，
综上所述，这个三角形的第三边长为或，
故选：．
分长为的边是直角边和斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A计算正确；
B.与不是同类二次根式，不能加减，故选项B计算错误；
C.，故选项C计算错误；
D.，故选项D计算错误．
故选：．
利用二次根式的性质和二次根式的加减法法则逐个计算得结论．
本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的性质和加减法法则是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，
故注水过程的水的高度是先慢后快，故选项C符合题意，
故选：．
根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度是先慢后快．
本题主要考查函数图象的知识，根据与的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过一年后该班学生到九年级时，平均年龄是岁，方差是，
故选：．
根据题意求出一年后该班学生的平均年龄和方差，结合选项得到答案．
本题考查的是平均数、众数、中位数以及方差的知识，掌握当数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如果夹角的范围为：，根据平行四边形定则作图，如图

从图中可以看出，合力一定减小．
故选：．
两个不在同一条直线上的力合成时遵循平行四边形定则，根据平行四边形定则作图分析即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键知道合力与分力遵循平行四边形定则．会通过平行四边形定则求解合力．
 

7.【答案】 

【解析】解：：小刚用分钟追上，故A正确，不符合题意；
：由图象可知小刚让爷爷先上了米；故B正确，不符合题意；
：小刚速度为：米分钟，
爷爷速度为：米分钟，
，故C正确，不符合题意；
：爷爷早锻炼到山顶一共用了：分钟，
故D错误，符合题意；
故选：．
由图象，两条线段的交点即为小刚追上爷爷所用的时间；由图象可知在爷爷先上了米后，小刚开始追赶；利用路程时间速度，即可求出速度的关系；由轴纵坐标可知，山顶离地面的高度，又有爷爷的速度，可求爷爷所用的时间．
本题考查了函数图象，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的运用，能够看懂一些简单的图形．
 

8.【答案】 

【解析】解：沿射线向右平移到，
，，故选项A正确；
四边形为平行四边形，
又为等边三角形，，
四边形为菱形，
，
由平移可知：，
则，故选项B正确；
沿射线向右平移到，
，，
四边形为平行四边形，
由平移可得也为等边三角形，
，
四边形为菱形，选项C正确；
过作，如图所示：

为边长为的等边三角形，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则，选项D错误，
则原题结论错误的选项为．
故选：．
由沿射线向右平移到，根据平移的性质：对应点的连线平行且相等得到与平行且相等，选项A正确，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到为平行四边形，由三角形为等边三角形可得出，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直得到与垂直，再由平移的性质得到对应边平行，得到与平行，利用与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到垂直于，选项B正确；同理可得出为菱形，选项C正确；过作垂直于，由三角形为边长为的等边三角形，根据三线合一得到为的一半，求出的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，然后利用底乘以高即可求出菱形的面积为，选项D错误，即可得出满足题意的选项．
此题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质，以及平移的性质，灵活运用平移性质是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，则，，
在直角三角形中，，
，
，
，
矩形为黄金矩形．
故选：．
先根据正方形的性质以及勾股定理，求得的长，再根据求得的长，最后根据与的比值为黄金比，判断矩形为黄金矩形．
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形也为黄金矩形．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长交轴于点，
设，由反射定律可知，，
，
于，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设直线的解析式为，则将点，点代入得
，
解得，
直线为，
点坐标为，
故选：．
延长交轴于点，利用反射定律，证明≌，用待定系数法求出直线的解析式，从而可求得点坐标．
本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，难度略大．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式，即可解答．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：参赛成员的平均得分为：分，
故答案为：．
根据加权平均数的公式计算即可．
此题考查了扇形统计图以及加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，，，．
所以，
所以．
故答案为：．
利用勾股定理和正方形的面积计算方法进行推理解答．
本题考查了勾股定理．注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，
，解得，
，
又与轴的交点是，
关于的不等式组的解集为．
故答案为：．
先将点代入，求出的值，再找出直线落在的下方且都在轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出的值，是解答本题的关键．
 

15.【答案】或． 

【解析】解：，，，为斜边的中点，
，，．
若与交于点，连接，如图．

由折叠可得，，．
点是的中点，
．
由题可得，
，
，．
四边形是平行四边形，
；
若与交于点，连接，交与，如图．
．
同理可得，．
，
，
，
点与点重合，
．
故答案为或．
根据角所对的直角边等于斜边的一半可求出，即可得到的值，然后根据勾股定理求出若与交于点，连接，如图，易得，即可得到，从而可得四边形是平行四边形，即可得到，从而可求出；若与交于点，连接，交与，如图，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点与点重合，从而可求出．
本题主要考查了翻折变换，轴对称的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等高三角形的面积比等于底的比，三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
 

16.【答案】解：原式




． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，再加减，最后代入求值．
本题考查了实数的运算，掌握二次根式的性质、实数的运算法则是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：，，，
，
．
即的面积为；
，，，
，，，
，
，
． 

【解析】直接代入海伦秦九韶公式求解；
先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再用两直角边的积除以求出面积即可．
本题考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理，准确计算是解题关键．
 

18.【答案】  数学  分高于名学生数学成绩的中位数，而又低于名学生语文成绩的中位数 

【解析】解：由题意可知，这名学生的数学成绩的中位数为，
故答案为：；
因为分高于名学生数学成绩的中位数，而又低于名学生语文成绩的中位数，故该生成绩所属学科为数学，
故答案为：数学，分高于名学生数学成绩的中位数，而又低于名学生语文成绩的中位数；
本次数学考试成绩不低于分的学生数为名，
故此次考试学校获奖的人数为名学生．
人，
答：此次考试全校得数学单科奖的人数约为人．
直接根据中位数的定义求解即可；
直接根据中位数的意义判断即可；
用学校总人数乘以本次数学考试成绩不低于分的学生所占的比例即可．
本题主要考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数的定义、中位数的意义、用样本估计总体的方法是解答此题的关键．
 

19.【答案】二 

【解析】解：甲同学的证明过程在第二步出现了错误，
故答案为：二；
证明：四边形是平行四边形，
．
，
是的垂直平分线，
，，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
．
平行四边形是菱形．
由是对角线的垂直平分线得，，即可得出结论；
证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：设超市购进种商品件，种商品件，
根据题意，得，
解得，
超市购进种商品件，种商品件，
故答案为：，；
设服装店购进种商品件，购进种商品件，获得总利润为元，
由题意，得，
根据题意，得，
解得，
为整数，
取，，，，，，，，
共有种方案，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时元，
，
答：共有种购进方案，利润最大的购进方案是超市购进种商品件，购进种商品件．最大利润是元．
设超市购进种商品件，种商品件，根据该超市购进，两种商品共花费元，销售完成后共获得利润元列二元一次方程组，求解即可；
设服装店购进种商品件，购进种商品件，获得总利润为元，表示出与的一次函数，根据商品的数量不多于商品数量的倍，且两种商品总利润不低于元，列一元一次不等式组，求出取值范围，即可确定购进方案以及取得最大利润时的购进方案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点为所作；

理由如下：当点在的延长线上时，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，
，
，
，
；
由勾股定理可得：，，
，
的周长；
由勾股定理可得：，，
，
的周长，
综上所述，的周长为或． 

【解析】作等腰三角形使，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到；然后过点作的平行线可得到满足条件的点；
利用勾股定理分别计算出三角形的边长，从而得到对应的三角形的周长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理．
 

22.【答案】解：将点代入得，
，
；
当时，，
当，即时，
由函数的增减性，可得：当时，，
即，
解得：，
此时，函数解析式为：；
当，即时，
由函数的增减性，可得：当时，，
即，
解得：，
此时，函数解析式为：，
综上可得，的函数解析式或；
，
对于任意实数，总有，
且，
，
，
解得，
，
，
，
的取值范围是且． 

【解析】把代入中可求出的值；
讨论：当，即时，根据一次函数的性质得到时，，然后把代入中求出得到此时一次函数解析式；当，即时，利用一次函数的性质得到时，，然后把代入中求出得到此时一次函数解析式；
先整理得到，再对于任意实数，总有，则直线与平行，且在的上方，所以且，从而得到的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元一次不等式的解法．
 

23.【答案】证明：作于，如图所示：

则，
，，
，
四边形为矩形，
，的外角平分线交于点，
，，
，
四边形为正方形；
解：四边形为正方形，，
在和中，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
，
设，
则，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
解得：，
的长为；
解：如图所示：当是锐角三角形时，

把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，即；
当是钝角三角形时，过作交延长线于，如图所示：

则，
由得：，
，
设，，则，
的面积，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
由得：，
负值舍去，
即；
综上所述，为或， 

【解析】作于，则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
证明≌，得出，同理：≌，得出，证出，设设，则，，在中，由勾股定理得出方程，即可得出答案；
当是锐角三角形时把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，设，则，，在中，由勾股定理得：，解方程即可；当是钝角三角形时，过作交延长线于，构建方程组求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．