2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期末数学试卷  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）复数其中为虚数单位，则(    )A.  B.  C.  D. 设全集，，则为(    )A.  B.  C.  D. 某中学高二年级共有学生人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有男生人，则该校高二年级共有女生(    )A.  B.  C.  D. 在空间中，下列说法正确的是(    )A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线垂直
C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为(    )A.  B.  C.  D. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则(    )
A.  B.  C.  D. 若正实数，满足，则(    )A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中为传输距离，单位是，为载波频率，单位是，为传输损耗亦称衰减单位为若传输距离变为原来的倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约倍参考数据：，(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态，选取了他们最近场常规赛得分制成如图的茎叶图，则从最近场比赛的得分看(    )
A. 甲的中位数大于乙的中位数 B. 甲的平均数大于乙的平均数
C. 甲的竞技状态比乙的更稳定 D. 乙的竞技状态比甲的更稳定如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为(    )A. 直线与是相交直线
B. 直线与是平行直线
C. 直线与是异面直线
D. 直线与所成的角为已知甲罐中在四个相同的小球，标号，，，；乙罐中有五个相同的小球，标号为，，，，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于”，事件“抽取的两个小球标号之积大于”，则(    )A. 事件发生的概率为
B. 事件发生的概率为
C. 事件发生的概率为
D. 从甲罐中抽到标号为的小球的概率为定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是(    )A. 对任意的，有
B. 存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C. 若与垂直，则与共线
D. 若与共线，则与的模相等第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）已知向量，的夹角为，，，则______．已知复数，其中为虚数单位，且是实数，则实数等于______ ．在中，角，，的对边分别是，，，，，的面积为，则中最大角的正切值是______．在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为          ，此时该三棱锥的外接球的表面积为          ． 四、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，．
求；
设，，求．某校高二年级一个班有名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六段：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．

求的值；
用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，已知甲同学的成绩在，乙同学的成绩在，求甲乙至少一人被抽到的概率．
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点．，．
求证：平面；
求三棱柱的表面积．
已知，，与的夹角为，函数．
求函数最小正周期；
若锐角中，角，，的对边分别为，，，且，求的取值范围．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
求证：平面；
若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
在的条件下，求二面角的平面角的余弦值．
定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数；．
当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围；
若，函数在上的上界是，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：复数其中为虚数单位，则．
故选：．
利用复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：全集，，
．
故选：．
利用补集定义能求出A.
本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：设女生总人数为人，由分层抽样的方法可得：抽取女生人数为人，
则，解得．
故选：．
由分层抽样方法列方程求解即可．
本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，、不正确；
平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，不正确；
根据线面垂直的性质可知：D正确；
故选：．
根据空间中线、面的位置关系理解判断、、，根据线面垂直的性质判断．
本题考查线面平行或垂直的判断方法，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，
基本事件总数，
至少有名女生包含的基本事件个数．
至少有名女生的概率为．
故选：．
基本事件总数，至少有名女生包含的基本事件个数由此能求出至少有名女生的概率．
本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意可得：，，，，
，
故选：．
利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：正实数，满足，，当且仅当时等号成立，
有最大值，A正确，C错误，
正实数，满足，，
当且仅当时等号成立，有最小值为，BD错误，
故选：．
直接利用基本不等式判断，利用乘“”法，再结合基本不等式判断．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的性质，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，
由题意可得：，，
，
所以，
所以，即，
所以，
即载波频率变为原来约倍．
故选：．
由题，由前后两传输公式作差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果．
本题考查了对数的基本运算，理解所给公式是解答本题的关键，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查茎叶图、中位数、平均数、方差，考查运算求解能力等数学核心素养，属于基础题．
利用茎叶图、中位数、平均数、方差的性质直接求解．【解答】解：对于，甲的中位数是：，
乙的中位数是：，
甲的中位数大于乙的中位数，故A正确；
对于，甲的平均数为：，
乙的平均数为：，
甲的平均数小于乙的平均数，故B错误；
由茎叶图得甲的数据更集中，故甲的竞技状态比乙的更稳定，故C正确，D错误．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：在正方体中，，分别为棱，的中点，
在中，直线与是异面直线，故A错误；
在中，直线与是异面直线，故B错误；
在中，直线与是异面直线，故C正确；
在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
则，，，，
，，
则，
直线与所成的角为，故D正确．
故选：．
在中，直线与是异面直线；在中，直线与是异面直线；在中，直线与是异面直线；在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成的角为．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：甲罐中在四个相同的小球，标号，，，；乙罐中有五个相同的小球，标号为，，，，．
现从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于”，事件“抽取的两个小球标号之积大于”，
对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，基本事件总数，
事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个，
，故A错误；
对于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个，
，故B正确；
对于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共个，
．
对于，从甲罐中抽到标号为的小球的概率为，故D错误．
故选：．
对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，从而；对于，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，从而；对于，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，从而对于，从甲罐中抽到标号为的小球的概率为．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：设，
对于，对任意的，
，故A正确；
对于，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，
故有成立，即恒成立，
对任意，恒成立，而此方程组无解，故B错误；
对于，若垂直，则，设，
，


，故C错误；
对于，若共线，则，设，


，
若与共线，则与的模相等，故D正确．
故选：．
由表示出和，判断；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，由此列方程组能判断；若垂直，则，设，分别表示出与，判断；若共线，则，设，分别表示出与，判断．
本题考查命题真假的判断，考查新定义、平面向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 13.【答案】 【解析】解：由向量，的夹角为，，，
则，
则，
故答案为：．
先由已知条件求出，然后结合向量模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，，
，
是实数，
，得．
故答案为：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为求得的值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．
 15.【答案】或 【解析】解：，，的面积为，
，
，
若为最大角，，此时；
若不为最大角，，又，为最大角，
由余弦定理得：，
，
再由正弦定理得：
，
又，
，
综上，中最大角的正切值为或．
故答案为：或
利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，把，及已知的面积代入求出的值，分两种情况考虑：当为最大角时，利用特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出的值，即为三角形中最大角的正切值；当不为最大角时，根据小于得到为最大角，求出的度数，利用余弦定理得到，把，及的值代入求出的长，再由及的值，利用正弦定理求出的值，同时利用余弦定理表示出，把，及的值代入求出的值，进而确定出的值，即为最大角的正切值，综上，得到所求三角形中最大角的正切值．
此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
 16.【答案】  【解析】【分析】本题考查了三棱锥体积的最大值和外接球的表面积，属于中档题．
注意到三棱锥体积最大时，平面平面，可知以为顶点时，为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积．【解答】解：过点作，垂足为，

为等腰梯形，，，
，，
由余弦定理得，即，
，
，
易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，
此时，平面，
易知，，
，
；
记为外接球球心，半径为，
平面，，
到平面的距蓠，
又的外接圆半径，
，
，

故答案为：．  17.【答案】解：由正弦定理得，
因为，
所以，
又因为，，
所以，
又，
所以．
由余弦定理，，
可得，解得． 【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求的值．
由已知利用余弦定理即可解得的值．
 18.【答案】解：由题意可得，解得：；
因为总体共名学生，样本容量为，因此抽样比为．
其中分数段有人，
分数段有人，
所以在分数段中抽取人，
分数段抽取人，
设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，
则，，
则甲乙至少一人被抽到的概率为． 【解析】利用频率分布直方图中各个小矩形面积之和为即可求出的值；
设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，求出相应的概率，然后可以根据对立事件求解．
本题考查频率分布直方图求频数、频率，分层抽样，相互独立事件的概率，是基础题．
 19.【答案】解：证明：连接，交于，连接，
在三棱柱中，四边形是平行四边形，
是中点，
为的中点，，
平面，平面，
平面D.
侧棱底面，，为的中点，，，
，，
，
三棱柱的表面积． 【解析】连接，交于，连接，推导出，由此能证明平面D.
根据表面积公式即可求出．
本题考查线面平行的证明，考查三棱柱表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 20.【答案】解：由于，，
所以，
函数；
所以函数的最小正周期为．
由于，即；
由于该三角形为锐角三角形，
所以，
所以；
故，
由于，所以，
故，
所以；
故
故． 【解析】直接利用向量的坐标运算和向量的夹角求出三角函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最小正周期；
利用正弦定理和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，向量的夹角的运算，正弦型函数的性质，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 21.【答案】证明：因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面．
解：过点作，垂足为如图所示，

由知，平面．
因为平面，所以，所以平面，
所以为与平面所成角．
由知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因为为的中点，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以与平面所成角的正弦值为．
取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由知，平面，所以平面，平面．
所以．
过点作，垂足为，连接，，，平面，
所以平面平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由知，为等边三角形，为线段的中点，
所以
由知，平面，平面所以，
在中，，由知，，
即，解得．
因为平面，平面，所以．
在中，．
，
所以二面角的平面角的余弦值为． 【解析】根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可求解；
根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及勾股定理，结合锐角三角函数的定义即可求解；
根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及锐角三角函数的定义即可求解．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：当时，
因为在上递减，所以，
即在的值域为故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数．分
由题意知，在上恒成立．分
，
在上恒成立
分
设，，，由得，
设，
所以在上递减，在上递增，分
在上的最大值为，在上的最小值为
所以实数的取值范围为分
，
，
在上递减，分
即分
当，即时，，分
此时，分
当，即时，，
此时，
综上所述，当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是分 【解析】当时，易知在上递减，有，再有给出的定义判断；
由函数在上是以为上界的有界函数，结合定义则有在上恒成立，再转化为在上恒成立即可；
据题意先研究函数在上的单调性，确定函数的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，不小于最大值，从而解决．
本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．