2021-2022学年天津四十二中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年天津四十二中高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是(    )

A. “，”
B. “，”
C. “，”
D. “，”

3. 已知，且，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 函数的部分图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 定义在上的奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 函数的图象在点处的切线斜率的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数满足对任意，恒有，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 设函数，为自然对数的底数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 集合，，则______．
11. 已知，，那么的取值范围是______．
12. 若函数，则______．
13. 已知函数是上的奇函数，且，当时，，则______．
14. 若，，则的最小值为______．
15. 已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是            ．

三、解答题（本大题共3小题，共34.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算下列各题：
    Ⅰ已知，求的值；
    Ⅱ求的值．
17. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ若不等式的解集为，求，的值；
    Ⅱ若．
    ，，求的最小值；
    若不等式在上的解集为空集，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    已知函数为自然对数的底数．
    Ⅰ当时，求的极值；
    Ⅱ设函数，若在其定义域内恒成立，求实数的最小值；
    Ⅲ若关于的方程恰有两个相异的实根，，求实数的取值范围，并证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
进行补集和并集的运算即可．

【解答】

解：，，，
，，
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题利用不等式的性质考查了充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
由，，再由．

【解答】

解：，，
，充分性满足；
，，
，必要性满足，
“”是“”的充要条件，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，故排除选项，
，故函数为奇函数，
，，，故排除，选项．
故选：．
先求出函数的定义域，可排除选项，，，，故排除，选项，即可求解．
本题主要考查函数的图象，以及函数的定义域，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为为上的奇函数，
所以，
又奇函数在上是增函数，
则在上也为增函数，
因为，
则，
所以．
故选：．
利用对数的运算性质以及奇函数的定义，将转化为，然后再利用函数的单调性比较大小即可．
本题考查了函数单调性的应用，函数奇偶性的应用，对数的运算性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，
所以，
当且仅当，即，时取等号．
故选：．
由题意得，代入到所求式子后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线斜率，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，利用基本不等式求最值得答案．

【解答】

解：由，得，
，
，
当且仅当，即时上式取“”，切线斜率的最小值是．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：函数的图象开口方向向下，对称轴为，
当，即时，，解得，
当，即时，，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：．
由已知可得，对分类讨论，利用二次函数的图象与性质，求出的最小值，即可求解的取值范围．
本题主要考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质与图象的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：要使得有两个不相等的实数根，
则需要方程有两个不相等的实数根，
即函数与有两个不同的公共点，
，
令，得或，
令，得或，
所以的单调递增区间为，，
的单调递减区间为，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
又，
作出函数的图像，如下：

由图可知，实数的取值范围为，
故选：．
要使得有两个不相等的实数根，则函数与有两个不同的公共点，作出函数图像，即可得出答案．
本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：集合，
，
．
故答案为：．
求出集合，，再由交集定义求出．
本题考查了交集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
则．
直接利用不等式的性质求出的范围和的范围，采用不等式的可加性得答案．
本题考查了基本不等式的性质，也可以利用线性规划求解，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则．
故答案为：．
先对函数求导，然后把代入可求．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
所以函数的周期为．
所以，
因为函数为奇函数，
当时，，
所以，
所以．
故答案为：．
由，得到函数的周期，然后利用周期性和奇偶性的应用，求即可．
本题主要考查函数周期性的判断以及函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：当，时，


，
当且仅当，即且时取“”，
所以的最小值为．
故答案为：．
两次利用基本不等式，即可求出的最小值．
本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究单调性最值、二次函数的单调性、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
存在，，使得成立，等价于：，，使得成立．利用导数研究函数的单调性，可得函数的值域；利用二次函数的单调性可得值域，进而得出结论．

【解答】

解：存在，，使得成立，
等价于：，，使得成立，
，
函数在上单调递增，上单调递减，
时，函数取得极小值即最小值，
．
，
可得函数在上单调递减，在单调递增，
．
．
因此实数的取值范围是．
故答案为：．

16.【答案】解：Ⅰ，，，
．
Ⅱ原式． 

【解析】Ⅰ先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．
Ⅱ利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ函数，
不等式的解集为，
的两根为，，
，解得，．
Ⅱ，，
，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为；
不等式在上的解集为空集，
，即在上的解集为空集，
，
，代入上式得，，
解得，
实数的取值范围是 

【解析】Ⅰ由已知得的两根为，，利用韦达定理直接求解．
Ⅱ由条件求出，利用基本不等式求出的最小值；
由，得，由不等式在上解集是，列不等式组，能求出实数的取值范围．
本题考查一元二次不等式的性质及解法、韦达定理、基本不等式、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ当时，，，
所以，
令，解得，

所以的极大值为，无极小值．
Ⅱ由题意得在上恒成立，
因为，所以在上恒成立．
设，则，
令，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
因此，所以，即．
所以实数的最小值．
Ⅲ证明：由即得，
令，则，
设，则，
因为，所以恒成立，函数在单调递减，
而，故在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以．
故方程恰有两个相异的实根只需．
所以实数的取值范围是．
下证：，不妨设，则，，
所以．
因为，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，即，
所以，所以． 

【解析】Ⅰ首先求出函数的导函数，即可得到、与的关系，从而求出函数的极值；
Ⅱ依题意参变分离即可得到在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；
Ⅲ由，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，依题意可得，即可求出参数的取值范围；设，则，则，再令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，根据方程的实根求参数的取值范围和不等式的证明，考查了方程思想和转化思想，属中档题．