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2022年中考数学真题汇编:最值问题2(含解析)
展开这是一份2022年中考数学真题汇编:最值问题2(含解析),共60页。试卷主要包含了如图,点在抛物线C等内容,欢迎下载使用。
2022年中考数学真题综合练习:最值问题
1.(2022黔东南)在解决数学实际问题时,常常用到数形结合思想,比如:的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离,的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离.当取得最小值时,的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
2.(2022鄂州)如图,定直线MNPQ,点B、C分别为MN、PQ上的动点,且BC=12,BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点,点D是PQ下方一定点,且AEBCDF,AE=4,DF=8,AD=24,当线段BC在平移过程中,AB+CD的最小值为( )
A. 24 B. 24 C. 12 D. 12
3.(2022齐齐哈尔)如图,二次函数的图象与y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间,对称轴为,函数最大值为4,结合图象给出下列结论:①;②;③;④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则m>4;⑤当x<0时,y随x的增大而减小.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4.(2022毕节)如图,在中,,点P为边上任意一点,连接,以,为邻边作平行四边形,连接,则长度的最小值为_________.
5.(2022铜仁)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E为AD的中点,将△CDE沿CE翻折得△CME,点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点,过点N作NP//EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为________.
6.(2022龙东地区)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,,,AH是的平分线,于点E,点P是直线AB上的一个动点,则的最小值是________.
7.(2022遵义)如图,在等腰直角三角形中,,点,分别为,上的动点,且,.当的值最小时,的长为__________.
8.(2022河北)如图,点在抛物线C:上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为,.平移该胶片,使所在抛物线对应的函数恰为.求点移动的最短路程.
9.(2022河北)如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°,点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m.
(1)求∠C的大小及AB的长;
(2)请在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深(不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据:取4,取4.1)
10.(2022河南)为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环⊙O与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D在同一平面内.当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时,手上的力量通过切点B传递到铁环上,会有较好的启动效果.
(1)求证:∠BOC+∠BAD=90°.
(2)实践中发现,切点B只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位置,此时点A距地面的距离AD最小,测得.已知铁环⊙O的半经为25cm,推杆AB的长为75cm,求此时AD的长.
11.(2022贵阳)已知二次函数y=ax2+4ax+b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,b的代数式表示);
(2)在平面直角坐标系中,若二次函数的图象与x轴交于A,B两点,AB=6,且图象过(1,c),(3,d),(−1,e),(−3,f)四点,判断c,d,e,f的大小,并说明理由;
(3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点,当−2≤m≤1时,n的取值范围是−1≤n≤1,求二次函数的表达式.
12.(2022绥化)在平面直角坐标系中,已知一次函数与坐标轴分别交于,两点,且与反比例函数的图象在第一象限内交于P,K两点,连接,的面积为.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)当时,求x的取值范围;
(3)若C为线段上的一个动点,当最小时,求的面积.
13.(2022牡丹江、鸡西)如图,已知抛物线(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,解答下列问题;
①求出△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.
14.(2022遵义)新定义:我们把抛物线(其中)与抛物线称为“关联抛物线”.例如:抛物线的“关联抛物线”为:.已知抛物线的“关联抛物线”为.
(1)写出的解析式(用含的式子表示)及顶点坐标;
(2)若,过轴上一点,作轴的垂线分别交抛物线,于点,.
①当时,求点的坐标;
②当时,的最大值与最小值的差为,求的值.
15.(2022大庆)已知反比例函数和一次函数,其中一次函数图象过,两点.
(1)求反比例函数的关系式;
(2)如图,函数的图象分别与函数图象交于A,B两点,在y轴上是否存在点P,使得周长最小?若存在,求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.
16.(2022毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为,抛物线的对称轴交直线于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为,在平移过程中,该抛物线与直线始终有交点,求h的最大值;
(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
17.(2022贵阳)小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
如图,在中,为边上的高,,点在边上,且,点是线段上任意一点,连接,将沿翻折得.
(1)问题解决:
如图①,当,将沿翻折后,使点与点重合,则______;
(2)问题探究:
如图②,当,将沿翻折后,使,求的度数,并求出此时的最小值;
(3)拓展延伸:
当,将沿翻折后,若,且,根据题意在备用图中画出图形,并求出的值.
18.(2022齐齐哈尔)综合与探究
如图,某一次函数与二次函数的图象交点为A(-1,0),B(4,5).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C为抛物线对称轴上一动点,当AC与BC的和最小时,点C的坐标为 ;
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点,过点D作DE⊥x轴,交线段AB于点E,求线段DE长度最大值;
(4)在(2)条件下,点M为y轴上一点,点F为直线AB上一点,点N为平面直角坐标系内一点,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,请直接写出点N的坐标.
19.(2022鄂州)如图1,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上,且OA=6,斜边OB=10,点P为线段AB上一动点.
(1)请直接写出点B的坐标;
(2)若动点P满足∠POB=45°,求此时点P的坐标;
(3)如图2,若点E为线段OB的中点,连接PE,以PE为折痕,在平面内将△APE折叠,点A的对应点为A',当PA'⊥OB时,求此时点P的坐标;
(4)如图3,若F为线段AO上一点,且AF=2,连接FP,将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG,连接OG,当OG取最小值时,请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.
20.(2022江汉油田、潜江、天门、仙桃)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点C,线段轴,交该抛物线于另一点B.
(1)求点B的坐标及直线的解析式:
(2)当二次函数的自变量x满足时,此函数的最大值为p,最小值为q,且.求m的值:
(3)平移抛物线,使其顶点始终在直线上移动,当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时,设此时抛物线的顶点的横坐标为n,请直接写出n的取值范围.
21.(2022恩施州)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与y轴交于点.
(1)直接写出抛物线的解析式.
(2)如图,将抛物线向左平移1个单位长度,记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形,并说明理由.
(3)直线BC与抛物线交于M、N两点(点N在点M的右侧),请探究在x轴上是否存在点T,使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似,若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)若将抛物线进行适当的平移,当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时,请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.
2022年中考数学真题综合练习:最值问题参考答案
1.(2022黔东南)在解决数学实际问题时,常常用到数形结合思想,比如:的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离,的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离.当取得最小值时,的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
【答案】解:如图,由可得:点、、分别表示数、2、,.
的几何意义是线段与的长度之和,
当点在线段上时,,当点在点的左侧或点的右侧时,.
取得最小值时,的取值范围是;
故选B.
2.(2022鄂州)如图,定直线MNPQ,点B、C分别为MN、PQ上的动点,且BC=12,BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点,点D是PQ下方一定点,且AEBCDF,AE=4,DF=8,AD=24,当线段BC在平移过程中,AB+CD的最小值为( )
A. 24 B. 24 C. 12 D. 12
【答案】解:如图所示,过点F作交BC于H,连接EH,
∵,
∴四边形CDFH是平行四边形,
∴CH=DF=8,CD=FH,
∴BH=4,
∴BH=AE=4,
又∵,
∴四边形ABHE是平行四边形,
∴AB=HE,
∵,
∴当E、F、H三点共线时,EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF,
延长AE交PQ于G,过点E作ET⊥PQ于T,过点A作AL⊥PQ于L,过点D作DK⊥PQ于K,
∵,
∴四边形BEGC是平行四边形,∠EGT=∠BCQ=60°,
∴EG=BC=12,
∴,
同理可求得,,
∴,
∵AL⊥PQ,DK⊥PQ,
∴,
∴△ALO∽△DKO,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选C.
3.(2022齐齐哈尔)如图,二次函数的图象与y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间,对称轴为,函数最大值为4,结合图象给出下列结论:①;②;③;④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则m>4;⑤当x<0时,y随x的增大而减小.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】解:∵二次函数的对称轴为,
∴
∴故①正确;
∵函数图象开口向下,对称轴为,函数最大值为4,
∴函数的顶点坐标为(-1,4)
当x=-1时,
∴
∴,
∵二次函数的图象与y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间,
∴<<2
∴<4+a<2
∴,故②正确;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴
∴,故③正确;
∵抛物线的顶点坐标为(-1,4)且方程有两个不相等的实数根,
∴
∴,故④错误;
由图象可得,当x>-1时,y随x的增大而减小,故⑤错误.
所以,正确的结论是①②③,共3个,
故选:B
4.(2022毕节)如图,在中,,点P为边上任意一点,连接,以,为邻边作平行四边形,连接,则长度的最小值为_________.
【答案】解:∵,
∴,
∵四边形APCQ是平行四边形,
∴PO=QO,CO=AO,
∵PQ最短也就是PO最短,
∴过O作BC的垂线,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴则PQ的最小值为,
故答案为:.
5.(2022铜仁)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E为AD的中点,将△CDE沿CE翻折得△CME,点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点,过点N作NP//EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为________.
【答案解:作点P关于CE的对称点P′,
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线,
∴点P′在CD上,
过点M作MF⊥CD于F,交CE于点G,
∵MN+NP=MN+NP′≤MF,
∴MN+NP的最小值为MF的长,
连接DG,DM,
由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线,
∵AD=CD=2,DE=1,
∴CE==,
∵CE×DO=CD×DE,
∴DO=,
∴EO=,
∵MF⊥CD,∠EDC=90°,
∴DE∥MF,
∴∠EDO=∠GMO,
∵CE为线段DM的垂直平分线,
∴DO=OM,∠DOE=∠MOG=90°,
∴△DOE≌△MOG,
∴DE=GM,
∴四边形DEMG为平行四边形,
∵∠MOG=90°,
∴四边形DEMG为菱形,
∴EG=2OE=,GM= DE=1,
∴CG=,
∵DE∥MF,即DE∥GF,
∴△CFG∽△CDE,
∴,即,
∴FG=,
∴MF=1+=,
∴MN+NP的最小值为.
故答案为:.
6.(2022龙东地区)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,,,AH是的平分线,于点E,点P是直线AB上的一个动点,则的最小值是________.
【答案】解:如图,作点O关于AB的对称点F,连接OF交AB于G,连接PE交直线AB于P,连接PO,则PO=PF,此时,PO+PE最小,最小值=EF,
∵菱形ABCD,
∴AC⊥BD,OA=OC,O=OD,AD=AB=3,
∵∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=3,∠BAO=30°,
∴OB=,
∴OA=,
∴点O关于AB的对称点F,
∴OF⊥AB,OF=2OG=OA=,
∴∠AOG=60°,
∵CE⊥AH于E,OA=OC,
∴OE=OC=OA=,
∵AH平分∠BAC,
∴∠CAE=15°,
∴∠AEC=∠CAE=15°,
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°,
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°,
∴∠FOE=90°,
∴由勾股定理,得EF=,
∴PO+PE最小值=.
故答案为:.
7.(2022遵义)如图,在等腰直角三角形中,,点,分别为,上的动点,且,.当的值最小时,的长为__________.
【答案】如图,过点作,且,连接,如图1所示,
,
又,
,
,
,
当三点共线时,取得最小值,
此时如图2所示,
在等腰直角三角形中,,
,
,
,
,
,
,
,
,
设,
,
,
,
,,
,
,
即取得最小值为,
故答案为:.
图1 图2
8.(2022河北)如图,点在抛物线C:上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为,.平移该胶片,使所在抛物线对应的函数恰为.求点移动的最短路程.
【答案】
(1),
∴对称轴为直线,
∵,
∴抛物线开口向下,有最大值,即的最大值为4,
把代入中得:
,
解得:或,
∵点在C的对称轴右侧,
∴;
(2)∵,
∴是由向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到,
平移距离为,
∴移动的最短路程为5.
9.(2022河北)如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°,点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m.
(1)求∠C的大小及AB的长;
(2)请在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深(不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据:取4,取4.1)
【答案】
(1)解:∵水面截线
,
,
,
在中,,,
,
解得.
(2)过点作,交MN于D点,交半圆于H点,连接OM,过点M作MG⊥OB于G,如图所示:
水面截线,,
,,
为最大水深,
,
,
,且,
,
,即,即,
在中,,,
,即,
解得,
,
最大水深约为米.
10.(2022河南)为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环⊙O与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D在同一平面内.当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时,手上的力量通过切点B传递到铁环上,会有较好的启动效果.
(1)求证:∠BOC+∠BAD=90°.
(2)实践中发现,切点B只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位置,此时点A距地面的距离AD最小,测得.已知铁环⊙O的半经为25cm,推杆AB的长为75cm,求此时AD的长.
【答案】
(1)证明:⊙O与水平地面相切于点C,
,
,
,
AB与⊙O相切于点B,
,
,
过点作,
,
,
,
,
即∠BOC+∠BAD=90°.
(2)如图,过点作的平行线,交于点,交于点,
,则四边形是矩形,
, ,
,
在中,,,
(cm),
在中,,cm,
(cm),
(cm),
(cm),
cm,
(cm).
11.(2022贵阳)已知二次函数y=ax2+4ax+b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,b的代数式表示);
(2)在平面直角坐标系中,若二次函数的图象与x轴交于A,B两点,AB=6,且图象过(1,c),(3,d),(−1,e),(−3,f)四点,判断c,d,e,f的大小,并说明理由;
(3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点,当−2≤m≤1时,n的取值范围是−1≤n≤1,求二次函数的表达式.
【答案】
(1)解:∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a,
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2,b-4a);
(2)解:由(1)知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2,
又∵二次函数的图象与x轴交于A,B两点,AB=6,
∴A,B两点的坐标分别为(-5,0),(1,0),
当a<0时,画出草图如图:
∴e=f> c>d;
当a>0时,画出草图如图:
∴e=f< c
当a<0时,
根据题意:当m=-2时,函数有最大值为1,当m=1时,函数值为-1,
即,解得:,
∴二次函数的表达式为y=x2x+.
当a>0时,
根据题意:当m=-2时,函数有最小值为-1,当m=1时,函数值为1,
即,解得:,
∴二次函数的表达式为y=x2x-.
综上,二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+.
12.(2022绥化)在平面直角坐标系中,已知一次函数与坐标轴分别交于,两点,且与反比例函数的图象在第一象限内交于P,K两点,连接,的面积为.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)当时,求x的取值范围;
(3)若C为线段上的一个动点,当最小时,求的面积.
【答案】
(1)解:∵一次函数与坐标轴分别交于,两点,
∴把,代入得,
,解得,,
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H,
∵
∴
又
∴
∴
∴,
∴
∴
∵在双曲线上,
∴
∴
(2)解:联立方程组得,
解得, ,
∴
根据函数图象可得,反比例函数图象直线上方时,有或,
∴当时,求x的取值范围为或,
(3)解:作点K关于x轴的对称点,连接交x轴于点M,则(1,-2),OM=1,
连接交x轴于点C,连接KC,则PC+KC的值最小,
设直线的解析式为
把代入得,
解得,
∴直线的解析式为
当时,,解得,,
∴
∴
∴
,
∴
13.(2022牡丹江、鸡西)如图,已知抛物线(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,解答下列问题;
①求出△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.
【答案】解:(1)将M(﹣2,﹣2)代入抛物线解析式得:,
解得:a=4.
(2)①由(1)抛物线解析式,
当y=0时,得:,解得:.
∵点B在点C的左侧,
∴B(﹣4,0),C(2,0).
当x=0时,得:y=﹣2,
∴E(0,﹣2).
∴S△BCE=×6×2=6.
②∵,
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1.
连接BE,与对称轴交于点H,即为所求.
设直线BE解析式为y=kx+b,
将B(﹣4,0)与E(0,﹣2)代入得:
,解得:.
∴直线BE解析式.
将x=﹣1代入得:,
∴H(﹣1,).
14.(2022遵义)新定义:我们把抛物线(其中)与抛物线称为“关联抛物线”.例如:抛物线的“关联抛物线”为:.已知抛物线的“关联抛物线”为.
(1)写出的解析式(用含的式子表示)及顶点坐标;
(2)若,过轴上一点,作轴的垂线分别交抛物线,于点,.
①当时,求点的坐标;
②当时,的最大值与最小值的差为,求的值.
【答案】
(1)解:抛物线的“关联抛物线”为,
根据题意可得,的解析式
顶点为
(2)解:①设,则,
∴
当时,
解得,
当时,方程无解
或
②的解析式
顶点为,对称轴为
,
当时,即时,
函数的最大值为,最小值为
的最大值与最小值的差为
解得(,舍去)
当时,且即时,
函数的最大值为,最小值为
的最大值与最小值的差为
解得(,舍去)
当时,即时,抛物线开向上,对称轴右侧随的增大而增大,
函数的最大值为,最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得(舍去)
综上所述,或.
15.(2022大庆)已知反比例函数和一次函数,其中一次函数图象过,两点.
(1)求反比例函数的关系式;
(2)如图,函数的图象分别与函数图象交于A,B两点,在y轴上是否存在点P,使得周长最小?若存在,求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:把代入,得
,
解得,,
所以反比例函数解析式是;
(2)存在点P使△ABP周长最小,理由:
解和得,
和,
,
和,
,
作点关于轴的对称点,连接,交轴于点,当点、、在一条直线上时,线段 的长度最短,所以存在点P使△ABP周长最小,
△ABP的周长= ,
,
,
.
16.(2022毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为,抛物线的对称轴交直线于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为,在平移过程中,该抛物线与直线始终有交点,求h的最大值;
(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:由可知,
解得:,
∴
(2)分别令中,得,,;
设BC的表达式为:,
将,代入得,
解得:;
∴BC的表达式为:;
抛物线平移后的表达式为:,
根据题意得,,即,
∵该抛物线与直线始终有交点,
∴,
∴,
∴h的最大值为;
(3)存在,理由如下:
将代入中得,
∵四边形DEMN是平行四边形,
∴
设,
当时,解得:(舍去),
∴
当时,解得:,
∴或,
综上,点N的坐标为:或或.
17.(2022贵阳)小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
如图,在中,为边上的高,,点在边上,且,点是线段上任意一点,连接,将沿翻折得.
(1)问题解决:
如图①,当,将沿翻折后,使点与点重合,则______;
(2)问题探究:
如图②,当,将沿翻折后,使,求的度数,并求出此时的最小值;
(3)拓展延伸:
当,将沿翻折后,若,且,根据题意在备用图中画出图形,并求出的值.
【答案】
(1),
是等边三角形,
四边形平行四边形,
,
,
为边上的高,
,
(2),,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
,
,
,是等腰直角三角形,为底边上的高,则
点在边上,
当时,取得最小值,最小值为;
(3)如图,连接,
,则,
设, 则,,
折叠,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
在中,,
,
延长交于点,如图,
,
,
,
,
,
在中,,
,
.
18.(2022齐齐哈尔)综合与探究
如图,某一次函数与二次函数的图象交点为A(-1,0),B(4,5).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C为抛物线对称轴上一动点,当AC与BC的和最小时,点C的坐标为 ;
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点,过点D作DE⊥x轴,交线段AB于点E,求线段DE长度最大值;
(4)在(2)条件下,点M为y轴上一点,点F为直线AB上一点,点N为平面直角坐标系内一点,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,请直接写出点N的坐标.
【答案】
(1)解:将A(-1,0),B(4,5)代入得, ,
解这个方程组得,
抛物线的解析式为:;
(2)解:如图,设直线AB的解析式为:,
把点 A(-1,0),B(4,5)代入,
得,
解得 ,
直线AB的解析式为: ,
由(1)知抛物线的对称轴为,
点C为抛物线对称轴上一动点,,
当点C在AB上时,最小,
把x=1代入,得y=2,
点C的坐标为(1,2);
(3)解:如图,由(2)知 直线AB的解析式为y=x+1
设,则,
则,
当时,DE有最大值为,
(4)解:如图,直线AB的解析式为:y=x+1,
直线与y轴的交点为D(0,1),
,
,
若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,分情况讨论:
①过点C作轴于点,则为等腰直角三角形,过点C作 ,则四边形 为正方形,
依题意,知D与F重合,点 的坐标为(1,1);
②以为中心分别作点F,点C点的对称点 ,连接,则四边形是正方形,则点的坐标为(-1,2);
③延长到使,作于点,则四边形是正方形,则的坐标为(1,4);
④取的中点,的中点,则为正方形,则的坐标为,
综上所述,点N的坐标为:
19.(2022鄂州)如图1,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上,且OA=6,斜边OB=10,点P为线段AB上一动点.
(1)请直接写出点B的坐标;
(2)若动点P满足∠POB=45°,求此时点P的坐标;
(3)如图2,若点E为线段OB的中点,连接PE,以PE为折痕,在平面内将△APE折叠,点A的对应点为A',当PA'⊥OB时,求此时点P的坐标;
(4)如图3,若F为线段AO上一点,且AF=2,连接FP,将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG,连接OG,当OG取最小值时,请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.
【答案】
(1)解:在Rt△OAB中,,
∴点B的坐标为(8,6);
(2)解:连接OP,过点P作PQ⊥OB于点Q,如图,
∵∠POB=45°,
∴∠OPQ=45°,
∴∠POB=∠OPQ,
∴PQ=OQ,
设PQ=OQ=x,则BQ=10-x,
在Rt△OAB中,,
在Rt△BPQ中,,
解得,
∴,
在Rt△POQ中,,
在Rt△AOP中,,
∴点P的坐标为(,6);
(3)解:令PA'交OB于点D,如图,
∵点E为线段OB的中点,
∴,,
∵,
设,则,
∴,
∴,
由折叠的性质,可得,,
∴,
在Rt△中,,即,
解得,
∵,即,
∴,
∴,
∴,
∴点P的坐标为(,6);
(4)解:以点F为圆心,OF的长为半径画圆,与AB的交点即为点P,再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG,连接OG,此时OG最小,如图,
由题可知,,
在中,,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴OG的最小值为4,
∴线段FP扫过的面积=.
20.(2022江汉油田、潜江、天门、仙桃)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点C,线段轴,交该抛物线于另一点B.
(1)求点B的坐标及直线的解析式:
(2)当二次函数的自变量x满足时,此函数的最大值为p,最小值为q,且.求m的值:
(3)平移抛物线,使其顶点始终在直线上移动,当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时,设此时抛物线的顶点的横坐标为n,请直接写出n的取值范围.
【答案】
(1)解:,
∴顶点坐标A(1,-4),对称轴x=1,
当x=0时y=-3,即C(0,-3),
点B、C关于对称轴x=1对称,则B(2,-3),
设直线AC:y=kx+b,由A(1,-4),C(0,-3),可得
,解得:
∴直线AC为:y=-x-3;
(2)解:①当m+2≤1时,即m≤-1时,
x=m时取最大值,x=m+2时取最小值,
∴,
解得:,不符合题意;
②当m+2>1且m<1,1-m>m+2-1时,即-1<m<0时,
x=m时取最大值,x=1时取最小值,
∴,
解得:m=,或m=(舍去),
③当m+2>1且m<1,1-m<m+2-1时,即0<m<1时,
x=m+2时取最大值,x=1时取最小值,
∴,
解得:m=,m=(舍去),
④当m≥1时,
x=m+2时取最大值,x=m时取最小值,
∴,
解得:,不符合题意;
m=0时,二次函数在0≤x≤2上最大值-3,最小值-4,-3-(-4)=1不符合题意;
综上所述:m=或m=;
(3)解:由题意作图如下,过点A作直线AE⊥BC于E,作直线AF⊥y轴于F,
由A(1,-4)、B(2,-3)可得
直线AB解析式为:y=x-5,
∵C(0,-3),
∴F(0,-4),E(1,-3),
∵AF=1,AE=1,CF=1,CE=1,∠AEC=90°,
∴四边形AECF是正方形,
∴∠CAE=∠CAF=45°,
根据对顶角相等,可得当点A沿直线AC平移m长度时,横坐标平移m•cos45°,纵坐标平移m•cos45°,
即点A沿直线AC平移时,横纵坐标平移距离相等,
设抛物线向左平移m单位后,与直线AB只有1个交点,则
令△=0,解得:m=,
∴n=1-=,
由图象可得当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时,与射线BA只有一个交点,
设抛物线向右平移m单位后,左半部分过点B,则
B(2,-3)在抛物线上,
,
解得:m=0(舍去)或m=3,
∴1<n≤4,
综上所述n=或1<n≤4;
21.(2022恩施州)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与y轴交于点.
(1)直接写出抛物线的解析式.
(2)如图,将抛物线向左平移1个单位长度,记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形,并说明理由.
(3)直线BC与抛物线交于M、N两点(点N在点M的右侧),请探究在x轴上是否存在点T,使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似,若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)若将抛物线进行适当的平移,当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时,请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.
【答案】
(1)解:∵抛物线与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形,理由如下:
的顶点坐标为
依题意得,
平移后的抛物线解析式为
令,解
得
令,则,即
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
(3)存在,或,理由如下,
,,
是等腰直角三角形
设直线的解析式为,
则,
解得,
直线的解析式为,
联立
解得,
,,是等腰直角三角形
,
设直线的解析式为,
直线的解析式为
当时,
设的解析式为,由NT过点
则
解得
的解析式为,
令
解得
,
②当时,则
即
解得
综上所述,或
(4)如图,作,交轴于点,过点作于点,则是等腰直角三角形,作于
直线的解析式为
设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为
则
整理得:
则
解得
直线的解析式为
,
即拋物线平移的最短距离为,方向为方向
∴把点P先向右平移EF的长度,再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为,即
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