2022年中考数学真题汇编：平移与旋转(含解析)

这是一份2022年中考数学真题汇编：平移与旋转(含解析)，共53页。试卷主要包含了小嘉说等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学真题汇编：平移与旋转

1.（2022百色）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰梯形
C. 正三角形 D. 圆
2.（2022北部湾）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）

A. B. C. D.
3.（2022毕节）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2022广东）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
6.（2022海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
7.（2022百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）

A. （3，-3） B. （3，3） C. （－1，1） D. （－1，3）
8.（2022铜仁）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）


A. B.
C. D.
9.（2022北部湾）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）


A. B. C. D.
10.（2022玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11.（2022河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）

A. B. C. D.
12.（2022贵港）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．


13.（2022黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
14.（2022河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．

15.（2022河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．

16.（2022贺州）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．


17.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．


18.（2022安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．

（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔
（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出．


19.（2022河北）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．

（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．


20.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．


21.（2022北部湾）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．


（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．


22.（2022梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．


23.（2022贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．

（1）如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．


24.（2022北京）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．

①在图中画出点；
②连接交线段于点求证：
（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）


25.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


26.（2022黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


27.（2022河北）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．

2022年中考数学真题汇编：平移与旋转参考答案
1.（2022百色）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰梯形
C. 正三角形 D. 圆
【答案】A．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B．等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C．正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2.（2022北部湾）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】根据题意，得
不能由平移得到，
故A不符合题意；
不能由平移得到，
故B不符合题意；
不能由平移得到，
故C不符合题意；
能由平移得到，
故D符合题意；
故选D．
3.（2022毕节）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
4.（2022广东）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为．
故选A．
5.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
【答案】解：依题意为平行四边形，
∵，，AB＝8，．

∴平行四边形的面积=
故选B
6.（2022海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
7.（2022百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）

A. （3，-3） B. （3，3） C. （－1，1） D. （－1，3）
【答案】解：根据图形平移的性质，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）；
故选：D．
8.（2022铜仁）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）


A. B.
C. D.
【答案】如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1，

∴ 当移动的距离为时，在内，，
当E在B的右边时，如下图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M，

根据题意得AD=x，AB=3,
∴DB=AB-AD=3-x，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，
∵当时，，当时，，
故选：C．
9.（2022北部湾）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）


A. B. C. D.
【答案】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，
故选：B．
10.（2022玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
11.（2022河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
12.（2022贵港）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．


【答案】解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°；
故答案为：50°．
13.（2022黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
14.（2022河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．

【答案】如图，连接，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
在中，，
故答案为：．
15.（2022河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．

【答案】如图，设与扇形交于点，连接，如图

是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，




阴影部分的面积为



故答案为：
16.（2022贺州）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．


【答案】过B作于，过作轴于，


∴，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．

【答案】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，
∴点A8的坐标为（0，-8），
∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，
∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，
∴A10的坐标为（-1，11），
故答案为：（-1，11）．
18.（2022安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．

（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔
（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出．
【答案】
（1）如图，即为所作；
（2）如图，即为所作；

19.（2022河北）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．

（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
【答案】
（1），
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
（2）∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
20.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
【答案】
（1）∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）结论：．
证明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，

∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
21.（2022北部湾）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．


（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】
（1）解：抛物线解析式，令，
可得，
解得，，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
（2）对于抛物线，其对称轴为，
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
，可解得 或，
故点C坐标为（4，-5），
∴，
，
当时，可得，
解得；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
令，整理可得，
其判别式为，
①当时，解得，此时抛物线与线段MN只有一个交点；
②当即时，解方程，
可得，
即，，
若时，如图1，
由，可解得，


此时有，且，
解得；
②当时，如图2，
由，可解得，



此时有，且，
解得；
综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或．
22.（2022梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】
（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，

又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，
∵EP⊥AB，
∴设直线EP解析式为，
又E（6，0），
∴，
∴，
∴直线EP解析式为，
当x=0时，y=，
∴点P坐标为（0，）．
23.（2022贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．

（1）如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．
【答案】
（1）解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
，
故答案为：等腰三角形，．
（2）①过点E作于点H，如图所示：

∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：．
②连接，如图3所示：

∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
24.（2022北京）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．

①在图中画出点；
②连接交线段于点求证：
（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
【答案】
（1）解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；

②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，

连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴OM∥ST，
∴NM为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
结合题意，，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．
25.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：由可知，
解得：，
∴
（2）分别令中，得，，；
设BC的表达式为：，
将，代入得，
解得：；
∴BC的表达式为：；
抛物线平移后的表达式为：，
根据题意得，，即，
∵该抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴h的最大值为；
（3）存在，理由如下：
将代入中得，
∵四边形DEMN是平行四边形，
∴
设，
当时，解得：（舍去），
∴
当时，解得：，
∴或，
综上，点N的坐标为：或或．
26.（2022黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，


∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，


，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
27.（2022河北）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】
（1）∵，
∴
则在四边形中

故四边形为矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
（2）①过点Q作于S

由（1）得：
在中，
∴
平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过的面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：


旋转阶段：
由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T

设，则
在中：


设，则，，
，，
∵DM为直径
∴
在中 ：
在中：
在中：
∴，
PQ转过的角度：
s
总时间：
③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得


综上所述：．