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2022年中考数学真题分类汇编:二次函数专题(含答案)
展开这是一份2022年中考数学真题分类汇编:二次函数专题(含答案),共54页。试卷主要包含了选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022年湖北省中考数学真题汇编
二次函数专题
一、选择题
1. (2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)已知抛物线y=12x2-bx+c,当x=1时,y<0;当x=2时,y<0.下列判断:
①b2>2c;②若c>1,则b>32;③已知点A(m1,n1),B(m2,n2)在抛物线y=12x2-bx+c上,当m1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2022·湖北省鄂州市)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图象顶点为P(1,m),经过点A(2,1).有以下结论:①a<0;②abc>0;③4a+2b+c=1;④x>1时,y随x的增大而减小;⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. (2022·湖北省天门市)二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
4. (2022·湖北省随州市)如图,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有( )
①abc>0;
②2a+b=0;
③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a;
④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根,则-15
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. (2021·湖北省黄石市)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x=32时,对应的函数值y<0.有以下结论:
①abc>0;②m+n<-203;③关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在-12和0之间;④P1(t-1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上,则当实数t>13时,y1>y2.
其中正确的结论是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
6. (2021·湖北省襄阳市)一次函数y=ax+b的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的图象可能是( )
A. B. C. D.
7. (2021·湖北省仙桃市)若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,P为这条抛物线的顶点,则点P关于x轴的对称点的坐标
是( )
A. (2,4) B. (-2,4) C. (-2,-4) D. (2,-4)
8. (2021·湖北省鄂州市)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示.已知图象经过点(-1,0),其对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc<0;
②4a+2b+c<0;
③8a+c<0;
④若抛物线经过点(-3,n),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3,5.
上述结论中正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. (2021·湖北省荆门市)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)开口向下且过点A(1,0),B(m,0)(-2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. (2021·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(-3,0),顶点是(-1,m),则以下结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③若y≥c,则x≤-2或x≥0;④b+c=12m.其中正确的有个.( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. (2021·湖北省随州市)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧,抛物线与x轴交于点A(-2,0)和点B,与y轴的负半轴交于点C,且OB=2OC,则下列结论:①a-bc>0;②2b-4ac=1;③a=14;④当-1 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
12. (2022·湖北省荆州市)规定;两个函数y1,y2的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y1=2x+2与y2=-2x+2的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数y=kx2+2(k-1)x+k-3(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为______.
13. (2022·湖北省武汉市)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(-1,0),B(m,0)两点,且1
②若m=32,则3a+2c<0;
③若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x1
④当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.
其中正确的是______(填写序号).
14. (2021·湖北省襄阳市)从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是______ m.
15. (2021·湖北省武汉市)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a+b+c=0.下列四个结论:
①若抛物线经过点(-3,0),则b=2a;
②若b=c,则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2;
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点;
④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,若0y2.
其中正确的是______ (填写序号).
三、解答题
16. (2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=-x2+c与y轴交于点P(0,4).
(1)直接写出抛物线的解析式.
(2)如图,将抛物线y=-x2+c向左平移1个单位长度,记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形,并说明理由.
(3)直线BC与抛物线y=-x2+c交于M、N两点(点N在点M的右侧),请探究在x轴上是否存在点T,使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)若将抛物线y=-x2+c进行适当的平移,当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时,请直接写出抛物线y=-x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.
17. (2022·湖北省鄂州市)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象.发现:如图1所示,该类型图象上任意一点M到定点F(0,14a)的距离MF,始终等于它到定直线l:y=-14a的距离MN(该结论不需要证明),他们称:定点F为图象的焦点,定直线l为图象的准线,y=-14a叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点,FH=2OF=12a.
例如:抛物线y=12x2,其焦点坐标为F(0,12),准线方程为l:y=-12.其中MF=MN,FH=2OH=1.
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线l的方程:______,______.
【技能训练】
(2)如图2所示,已知抛物线y=18x2上一点P到准线l的距离为6,求点P的坐标;
【能力提升】
(3)如图3所示,已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;
【拓展升华】
(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项,即满足:ACAB=BCAC=5-12.后人把5-12这个数称为“黄金分割”数,把点C称为线段AB的黄金分割点.
如图4所示,抛物线y=14x2的焦点F(0,1),准线l与y轴交于点H(0,-1),E为线段HF的黄金分割点,点M为y轴左侧的抛物线上一点.当MHMF=2时,请直接写出△HME的面积值.
18. (2022·湖北省天门市)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2-2x-3的顶点为A,与y轴交于点C,线段CB//x轴,交该抛物线于另一点B.
(1)求点B的坐标及直线AC的解析式;
(2)当二次函数y=x2-2x-3的自变量x满足m≤x≤m+2时,此函数的最大值为p,最小值为q,且p-q=2,求m的值;
(3)平移抛物线y=x2-2x-3,使其顶点始终在直线AC上移动,当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时,设此时抛物线的顶点的横坐标为n,请直接写出n的取值范围.
19. (2022·湖北省荆州市)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24-x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式;
(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价;②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?
20. (2022·湖北省十堰市)已知抛物线y=ax2+94x+c与x轴交于点A(1,0)和点B两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合),作PD⊥x轴,垂足为D,连接PC.
①如图1,若点P在第三象限,且∠CPD=45°,求点P的坐标;
②直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上时,求四边形PECE'的周长.
21. (2022·湖北省宜昌市)已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.直线l由直线BC平移得到,与y轴交于点E(0,n).四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M(m+1,m+3),N(m+1,m),P(m+5,m),Q(m+5,m+3).
(1)填空:a=______,b=______;
(2)若点M在第二象限,直线l与经过点M的双曲线y=kx有且只有一个交点,求n2的最大值;
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx-2都个交点时,存在直线l,对于同一条直线l上的交点,直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx-2的交点的纵坐标.
①当m=-3时,直接写出n的取值范围;
②求m的取值范围.
22. (2022·湖北省咸宁市)抛物线y=x2-4x与直线y=x交于原点O和点B,与x轴交于另一点A,顶点为D.
(1)直接写出点B和点D的坐标;
(2)如图1,连接OD,P为x轴上的动点,当tan∠PDO=12时,求点P的坐标;
(3)如图2,M是点B关于抛物线对称轴的对称点,Q是抛物线上的动点,它的横坐标为m(0
23. (2022·湖北省随州市)如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴分别交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=-1,且OA=OC,P为抛物线上一动点.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图2,连接AC,当点P在直线AC上方时,求四边形PABC面积的最大值,并求出此时P点的坐标;
(3)设M为抛物线对称轴上一动点,当P,M运动时,在坐标轴上是否存在点N,使四边形PMCN为矩形?若存在,直接写出点P及其对应点N的坐标;若不存在,请说明理由.
24. (2022·湖北省武汉市)抛物线y=x2-2x-3交x轴于A,B两点(A在B的左边),C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.
(1)直接写出A,B两点的坐标;
(2)如图(1),当OP=OA时,在抛物线上存在点D(异于点B),使B,D两点到AC的距离相等,求出所有满足条件的点D的横坐标;
(3)如图(2),直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为m.求FPOP的值(用含m的式子表示).
25. (2021·湖北省黄石市)抛物线y=ax2-2bx+b(a≠0)与y轴相交于点C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=3,D为对称轴与x轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点,若△DEF是等腰直角三角形,求△DEF的面积;
(3)若P(3,t)是对称轴上一定点,Q是抛物线上的动点,求PQ的最小值(用含t的代数式表示).
26. (2021·湖北省襄阳市)如图,直线y=12x+1与x,y轴分别交于点B,A,顶点为P的抛物线y=ax2-2ax+c过点A.
(1)求出点A,B的坐标及c的值;
(2)若函数y=ax2-2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2,求a的值;
(3)连接AP,过点A作AP的垂线交x轴于点M.设△BMP的面积为S.
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围;
②结合S与a的函数图象,直接写出S>18时a的取值范围.
27. (2021·湖北省潜江市)如图1,已知∠RPQ=45°,△ABC中,∠ACB=90°,动点P从点A出发,以25cm/s的速度在线段AC上向点C运动,PQ,PR分别与射线AB交于E,F两点,且PE⊥AB,当点P与点C重合时停止运动,如图2,设点P的运动时间为x s,∠RPQ与△ABC的重叠部分面积为y cm2,y与x的函数关系由C1(0
②sinA= ______ ;
(2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)当y≥36cm2时,请直接写出x的取值范围.
28. (2021·湖北省鄂州市)为了实施乡村振兴战略,帮助农民增加收入,市政府大力扶持农户发展种植业,每亩土地每年发放种植补贴120元.张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物.考虑各种因素,预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系,且当x=160时,y=840;当x=190时,y=960.
(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围);
(2)受区域位置的限制,老张承租土地的面积不得超过240亩.若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元,当种植面积为多少时,老张明年种植该作物的总利润最大?最大利润是多少?
(每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本+每亩种植补贴)
29. (2021·湖北省荆门市)某公司电商平台,在2021年五一长假期间,举行了商品打折促销活动,经市场调查发现,某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,如表仅列出了该商品的售价x,周销售量y,周销售利润W(元)的三组对应值数据.
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)若该商品进价a(元/件),售价x为多少时,周销售利润W最大?并求出此时的最大利润;
(3)因疫情期间,该商品进价提高了m(元/件)(m>0),公司为回馈消费者,规定该商品售价x不得超过55(元/件),且该商品在今后的销售中,周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系,若周销售最大利润是4050元,求m的值.
30. (2021·湖北省荆门市)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C(0,-3),点Q为线段BC上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求|QO|+|QA|的最小值;
(3)过点Q作PQ//AC交抛物线的第四象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAQ与△PBQ面积分别为S1,S2,设S=S1+S2,求点P坐标,使得S最大,并求此最大值.
31. (2021·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A,B在x轴上,抛物线y=x2+bx+c经过点B,D(-4,5)两点,且与直线DC交于另一点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)F为抛物线对称轴上一点,Q为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)P为y轴上一点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,连接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点M的坐标;若不存在,请说明理由.
32. (2021·湖北省十堰市)已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于点A(-1,0)和B(-5,0),与y轴交于点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方,连AN交抛物线于M,连AC、CM.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,当tan∠ACM=2时,求M点的横坐标;
(3)如图2,过点P作x轴的平行线l,过M作MD⊥l于D,若MD=3MN,求N点的坐标.
33. (2021·湖北省随州市)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点D的坐标为(1,-4).
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图1,若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD,求点P的坐标;
(3)如图2,M是直线BC上一个动点,过点M作MN⊥x轴于点N,Q是直线AC上一个动点,当△QMN为等腰直角三角形时,直接写出此时点M及其对应点Q的坐标.
34. (2021·湖北省随州市)如今我国的大棚(如图1)种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚,其横截面顶部为抛物线型,大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处,另一端固定在离地面高2米的墙体B处,现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离x(米)之间的关系满足y=-16x2+bx+c,现测得A,B两墙体之间的水平距离为6米.
(1)直接写出b,c的值;
(2)求大棚的最高处到地面的距离;
(3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜,需搭建高为3724米的竹竿支架若干,已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿,则共需要准备多少根竹竿?
35. (2021·湖北省荆州市)小爱同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:
(1)观察探究:
①写出该函数的一条性质:______ ;
②方程-(|x|-1)2=-1的解为:______ ;
③若方程-(|x|-1)2=a有四个实数根,则a的取值范围是______ .
(2)延伸思考:
将函数y=-(|x|-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图象?写出平移过程,并直接写出当2
36. (2021·湖北省荆州市)已知:直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C为直线AB上一动点,连接OC,∠AOC为锐角,在OC上方以OC为边作正方形OCDE,连接BE,设BE=t.
(1)如图1,当点C在线段AB上时,判断BE与AB的位置关系,并说明理由;
(2)直接写出点E的坐标(用含t的式子表示);
(3)若tan∠AOC=k,经过点A的抛物线y=ax2+bx+c(a<0)顶点为P,且有6a+3b+2c=0,△POA的面积为12k,当t=22时,求抛物线的解析式.
37. (2021·湖北省宜昌市)在平面直角坐标系中,抛物线y1=-(x+4)(x-n)与x轴交于点A和点B(n,0)(n≥-4),顶点坐标记为(h1,k1).抛物线y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的顶点坐标记为(h2,k2).
(1)写出A点坐标;
(2)求k1,k2的值(用含n的代数式表示)
(3)当-4≤n≤4时,探究k1与k2的大小关系;
(4)经过点M(2n+9,-5n2)和点N(2n,9-5n2)的直线与抛物线y1=-(x+4)(x-n),y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时,求n的值.
38. (2021·湖北省咸宁市)已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点N(n,0)是x轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若n<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线BC于点G.过点P作PD⊥BC于点D,当n为何值时,△PDG≌△BNG;
(3)如图2,将直线BC绕点B顺时针旋转,它恰好经过线段OC的中点,然后将它向上平移32个单位长度,得到直线OB1.
①tan∠BOB1= ______ ;
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时,求点N的坐标.
39. (2021·湖北省武汉市)抛物线y=x2-1交x轴于A,B两点(A在B的左边).
(1)▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上,顶点E在y轴右侧的抛物线上;
①如图(1),若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是32,直接写出点A,D的坐标.
②如图(2),若点D在抛物线上,且▱ACDE的面积是12,求点E的坐标.
(2)如图(3),F是原点O关于抛物线顶点的对称点,不平行y轴的直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线只有一个公共点,求证:FG+FH的值是定值.
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.A
10.B
11.B
12.y=2x-3或y=-x2+4x-4
13.①③④
14.3
15.①②④
16.解:(1)∵抛物线y=-x2+c与y轴交于点P(0,4),
∴c=4,
∴抛物线的解析式为y=-x2+4;
(2)△BCQ是直角三角形.理由如下:
将抛物线y=-x2+4向左平移1个单位长度,得新抛物线y=-(x+1)2+4,
∴平移后的抛物线顶点为Q(-1,4),
令x=0,得y=-1+4=3,
∴C(0,3),
令y=0,得-(x+1)2+4=0,
解得:x1=1,x2=-3,
∴B(-3,0),A(1,0),
如图1,连接BQ,CQ,PQ,
∵P(0,4),Q(-1,4),
∴PQ⊥y轴,PQ=1,
∵CP=4-3=1,
∴PQ=CP,∠CPQ=90°,
∴△CPQ是等腰直角三角形,
∴∠PCQ=45°,
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∴∠BCO=45°,
∴∠BCQ=180°-45°-45°=90°,
∴△BCQ是直角三角形.
(3)在x轴上存在点T,使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似.
∵△ABC是锐角三角形,∠ABC=45°,
∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似,必须∠NBT=∠ABC=45°,
即点T在y轴的右侧,
设T(x,0),且x>0,则BT=x+3,
∵B(-3,0),A(1,0),C(0,3),
∴∠ABC=45°,AB=4,BC=32,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
则-3k+b=0b=3,
解得:k=1b=3,
∴直线BC的解析式为y=x+3,
由y=x+3y=-x2+4,
解得:x1=-1+52y2=5-52,x2=-1+52y2=5+52,
∴M(-1+52,5-52),N(-1+52,5+52),
∴BN=5+52×2=52+102,
①当△NBT∽△CBA时,则BTBN=BABC,
∴x+352+102=432,
解得:x=1+253,
∴T(1+253,0);
②当△NBT∽△ABC时,则BTBN=BCBA,
∴x+352+102=324,
解得:x=3+354,
∴T(3+354,0);
综上所述,点T的坐标T(1+253,0)或(3+354,0).
(4)抛物线y=-x2+4的顶点为P(0,4),
∵直线BC的解析式为y=x+3,
∴直线AB与y轴的夹角为45°,当抛物线沿着垂直直线AB的方向平移到只有1个公共点时,平移距离最小,此时向右和向下平移距离相等,
设平移后的抛物线的顶点为P'(t,4-t),
则平移后的抛物线为y=-(x-t)2+4-t,
由-(x-t)2+4-t=x+3,
整理得:x2+(1-2t)x+t2+t-1=0,
∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点,
∴Δ=(1-2t)2-4(t2+t-1)=0,
解得:t=58,
∴平移后的抛物线的顶点为P'(58,278),平移的最短距离为528.
17.(0,18) y=-18
18.解:(1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点A(1,-4),
令x=0,则y=-3,
∴C(0,-3),
∵CB//x轴,
∴B(2,-3),
设直线AC解析式为y=kx+b,
k+b=-4b=-3,
解得k=-1b=-3,
∴y=-x-3;
(2)∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1,
①当m>1时,
x=m时,q=m2-2m-3,
x=m+2时,p=(m+2)2-2(m+2)-3,
∴p-q=(m+2)2-2(m+2)-3-m2+2m+3=2,
解得m=12(舍);
②当m+2<1,即m<-1,
x=m时,p=m2-2m-3,
x=m+2时,q=(m+2)2-2(m+2)-3,
∴p-q=m2-2m-3-(m+2)2+2(m+2)+3=2,
解得m=-12(舍);
③当m≤1≤m+1,即0≤m≤1,
x=1时,q=-4,
x=m+2时,p=(m+2)2-2(m+2)-3,
∴p-q=(m+2)2-2(m+2)-3+4=2,
解得m=2-1或m=-2-1(舍);
④当m+1<1≤m+2,即-1≤m<0,
x=1时,q=-4,
x=m时,p=m2-2m-3,
∴p-q=m2-2m-3+4=2,
解得m=2+1(舍)或m=-2+1,
综上所述:m的值2-1或2+1;
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∴k+b=-4b=-3,
解得k=-1b=-3,
∴y=-x-3,
①如图1,当抛物线向左平移h个单位,则向上平移h个单位,
∴平移后的抛物线解析式为y=(x-1+h)2-4+h,
设直线BA的解析式为y=k'x+b',
∴2k'+b'=-3k'+b'=-4,
解得k'=1b'=-5,
∴y=x-5,
联立方程组y=x-5y=(x-1+h)2-4+h,
整理得x2-(3-2h)x+h2-h+2=0,
当Δ=0时,(3-2h)2-4(h2-h+2)=0,
解得h=18,
此时抛物线的顶点为(78,-318)
②如图2,当抛物线向右平移k个单位,则向下平移k个单位,
∴平移后的抛物线解析式为y=(x-1-k)2-4-k,
当抛物线经过点B时,(2-1-k)2-4-k=-3,
解得k=0(舍)或k=3,
此时抛物线的顶点坐标为(4,-7),
∴78≤n≤4.
19.解:(1)根据题意得:w=(x-8)(24-x)-60=-x2+32x-252;
(2)①∵该产品第一年利润为4万元,
∴4=-x2+32x-252,
解得:x=16,
答:该产品第一年的售价是16元.
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价,销售量不超过13万件,
∴x≤1624-x≤13,
解得11≤x≤16,
设第二年利润是w'万元,
w'=(x-6)(24-x)-4=-x2+30x-148,
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=15,又11≤x≤16,
∴x=11时,w'有最小值,最小值为(11-6)×(24-11)-4=61(万元),
答:第二年的利润至少为61万元.
20.解:(1)由题意得,
c=-3a+94-3=0,
∴a=34c=-3,
∴y=34x2+94x-3;
(2)①如图1,
设直线PC交x轴于E,
∵PD//OC,
∴∠OCE=∠CPD=45°,
∵∠COE=90°,
∴∠CEO=90°-∠ECO=45°,
∴∠CEO=∠OCE,
∴OE=OC=3,
∴点E(3,0),
∴直线PC的解析式为:y=x-3,
由34x2+94x-3=x-3得,
∴x1=-53,x2=0(舍去),
当x=-53时,y=-53-3=-143,
∴P(-53,-143);
②如图2,
设点P(m,34m2+94m-3),四边形PECE'的周长记作l,
点P在第三象限时,作EF⊥y轴于F,
∵点E与E'关于PC对称,
∴∠ECP=∠E'PC,CE=CE',
∵PE//y轴,
∴∠EPC=∠PCE',
∴∠ECP=∠EPC,
∴PE=CE,
∴PE=CE',
∴四边形PECE'为平行四边形,
∴▱PECE'为菱形,
∴CE=PE,
∵EF//OA,
∴CEBC=EFAB,
∴CE5=-m4,
∴CE=-54m,
∵PE=-(-34m-3)-(34m2+94m-3)=-34m2-3m,
∴-54m=-34m2-3m,
∴m1=0(舍去),m2=-73,
∴CE=54×73,
∴l=4CE=4×54×73=353,
当点P在第二象限时,
同理可得:
-54m=34m2+3m,
∴m3=0(舍去),m4=-173,
∴l=4×54×173=853,
综上所述:四边形PECE'的周长为:353或853.
21.12 -32
22.解:(1)令y=x2-4x=x,
解得x=0或x=5,
∴B(5,5);
∵y=x2-4x=(x-2)2-4,
∴顶点D(2,-4).
(2)如图,过点D作DE⊥y轴于点E,
∴DE=2,OE=4,
∴tan∠ODE=12,
作∠ODG=∠ODE,则点P为直线DG与x轴的交点;过点O作OG⊥DP于点G,过点G作x轴的垂线,交DE所在直线于点F,交x轴于点H,
∴△ODE≌△ODG(AAS),
∴DG=DE=2,OG=OE=4,
∵∠OHG=∠F=90°,∠OGH+∠DGF=90°,∠OGH+∠GOH=90°,
∴∠DGF=∠GOH,
∴△GDF∽△OGH,
∴DG:OG=DF:HG=GF:OH=1:2,
设DF=t,则HG=2t,FG=4-2t,OH=8-4t,
∵∠DEO=∠F=∠OHG=90°,
∴四边形OEFH是矩形,
∴OH=EF,
∴8-4t=2+t,解得t=65,
∴GH=125,OH=2+t=165,
∴G(165,-125).
∴直线DG的解析式为y=43x-203,
令y=0,解得x=5,
∴P(5,0).
(3)∵点B(5,5)与点M关于对称轴x=2对称,
∴M(-1,5).
如图,分别过点M,Q作y轴的平行线,交直线OB于点N,K,
∴N(-1,-1),MN=6,
∵点Q横坐标为m,
∴Q(m,m2-4m),K(m,m),
∴KQ=m-(m2-4m)=-m2+5m.
∵S1=12QK(xB-xE),S2=12MN(xB-xE),
∴S1S2=QKMN=-16(m2-5m)=-16(m-52)2+2524,
∵-16<0,
∴当m=52时,S1S2的最大值为2524.
23.解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=-1,抛物线交x轴于点A,B(1,0),
∴A(-3,0),
∴OA=OC=3,
∴C(0,3),
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),
把(0,3)代入抛物线的解析式,得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)如图(2)中,连接OP.设P(m,-m2-2m+3),
S=S△PAO+S△POC+S△OBC,
=12×3×(-m2-2m+3)×12×3×(-m)+12×1×3
=32(-m2-3m+4)
=-32(m+32)2+758,
∵-32<0,
∴当m=-32时,S的值最大,最大值为758,此时P(-32,758);
(3)存在,理由如下:
如图3-1中,当点N在y轴上时,四边形PMCN是矩形,此时P(-1,4),N(0,4);
如图3-2中,当四边形PMCN是矩形时,设M(-1,n),P(t,-t2-2t+3),则N(t+1,0),
由题意,n-(-t2-2t+3)=313-n=3t+1,
解得,消去n得,3t2+5t-10=0,
解得t=-5±1456,
∴P(-5+1456,-145-118),N(1+1456,0)或P'(-5-1456,145-118),N'(1-1456,0).
综上所述,满足条件的点P(-1,4),N(0,4)或P(-5+1456,-145-118),N(1+1456,0)或P'(-5-1456,145-118),N'(1-1456,0).
24.解:(1)令y=0,得x2-2x-3=0,
解得x=3或-1,
∴A(-1,0),B(3,0);
(2)∵OP=OA=1,
∴P(0,1),
∴直线AC的解析式为y=x+1.
①若点D在AC的下方时,
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1.
∵B(3,0),BD1//AC,
∴直线BD1的解析式为y=x-3,
由y=x-3y=x2-2x-3,解得x=3y=0或x=0y=-3,
∴D1(0,-3),
∴D1的横坐标为0.
②若点D在AC的上方时,点D1关于点P的对称点G((0,5),
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2,D3,D2,D3符合条件.
直线l的解析式为y=x+5,
由y=x+5y=x2-2x-3,可得x2-3x-8=0,
解得x=3-412或3+412,
∴D2,D3的横坐标为3-412,3+412,
综上所述,满足条件的点D的横坐标为0,3-412,3+412.
(3)设E点的横坐标为n,过点P的直线的解析式为y=kx+b,
由y=kx+by=x2-2x-3,可得x2-(2+k)x-3-b=0,
设x1,x2是方程x2-(2+k)x-3-b=0的两根,则x1x2=-3-b,
∴xA⋅xC=xB⋅xE=-3-b
∵xA=-1,
∴xC=3+b,
∴m=3+b,
∵xB=3,
∴xE=-1-b3,
∴n=-1-b3,
设直线CE的解析式为y=px+q,
同法可得mn=-3-q
∴q=-mn-3,
∴q=-(3+b)(-1-b3)-3=13b2+2b,
∴OF=13b2+b,
∴FPOP=13b+1=13(m-3)+1=13m.
25.解:(1)由题意得:x=--2b2a=3b=-3,解得a=-1b=-3,
故抛物线的表达式为y=-x2+6x-3;
(2)∵△DEF是等腰直角三角形,
故DE=DF且∠EDF=90°,
故设EF和x轴之间的距离为m,则EF=2m,
故点F(3+m,m),
则△DEF的面积=12EF⋅m=12×2m⋅m=m2,
将点F的坐标代入抛物线表达式得:m=-(m+3)2+6(m+3)-3,
解得m=-3(舍去)或2,
则△DEF的面积=m2=4;
(3)设点Q的坐标为(m,-m2+6m-3),
则PQ2=(m-3)2+(-m2+6m-3-t)2=(m-3)2+[(m-3)2+t-6]2,
设n=(m-3)2(n⩾0),
则PQ2=n+(n+t-6)2=n2+n(2t-11)+(t-6)2,
当n=11-2t2<0时,即t>112,
∴n=0时,PQ2有最小值,
则PQ2的最小值=(t-6)2,
PQ=t-6=t-6(t⩾6)6-t(112
∴n=11-2t2时,PQ2有最小值,
则PQ2的最小值=(t-6)2-14(11-2t)2=23-4t4,
PQ=23-4t2,
故PQ的最小值为{-6(t⩾6)6-t(112
∴点A(0,1),点B(-2,0),
∵抛物线y=ax2-2ax+c过点A,
∴c=1;
(2)∵y=ax2-2ax+1=a(x-1)2+1-a,
∴对称轴为直线x=1,
当a>0,3≤x≤4时,y随x的增大而增大,
∴当x=4时,y有最大值,
∴9a+1-a=a+2,
解得:a=17;
当a<0,3≤x≤4时,y随x的增大而减小,
∴当x=3时,y有最大值,
∴4a+1-a=a+2,
解得:a=12(不合题意舍去),
综上所述:a=17;
(3)①当a<0时,则1-a>1,
如图1,过点P作PN⊥y轴于N,
∵y=ax2-2ax+1=a(x-1)2+1-a,
∴点P坐标为(1,1-a),
∴PN=AO=1,AN=1-a-1=-a,
∵AM⊥AP,PN⊥y轴,
∴∠PNA=∠PAM=90°=∠AOM,
∴∠PAN+∠OAM=90°,∠OAM+∠AMO=90°,
∴∠PAN=∠AMO,
∴△AOM≌△PNA(AAS),
∴OM=AN=-a,
∴BM=2-a,
∴S=12×(2-a)(1-a)=12a2-32a+1;
当a>0,1-a>0时,即0 如图2,过点P作PN⊥y轴于N,
∴PN=1=OA,AN=1-(1-a)=a,
同理可得△AOM≌△PNA,
∴OM=AN=a,
∴BM=2-a,
∴S=12×(2-a)(1-a)=12a2-32a+1;
当a>0,-1<1-a<0时,即1 如图3,过点P作PN⊥y轴于N,
∴PN=1=OA,ON=a-1,AN=1+a-1=a,
同理可得△AOM≌△PNA,
∴OM=AN=a,
∴BM=2-a,
∴S=12×(2-a)(a-1)=-12a2+32a-1;
当a=2时,点B与点M重合,不合题意,
当a>0,1-a<-1时,即a>2,
如图4,过点P作PN⊥y轴于N,
∴PN=1=OA,ON=a-1,AN=1+a-1=a,
同理可得△AOM≌△PNA,
∴OM=AN=a,
∴BM=a-2,
∴S=12×(a-2)(a-1)=12a2-32a+1;
综上所述:S=12a2-32a+1(a<1且 a≠0)-12a2+32a-1(12).
②当1 ∴当118;
当a<1且a≠0时,S=12a2-32a+1>18,
∴12(a-3-22)(a-3+22)>0,
∴a<3-22或a>3+22(不合题意舍去);
当a>2时,S=12a2-32a+1>18,
∴12(a-3-22)(a-3+22)>0,
∴a<3-22(不合题意舍去)或a>3+22,
综上所述:a<3-22或a>3+22.
27.解:(1)当x=5时,如图3中,点F与B重合.
∵∠RPQ=45°,PE⊥AB,
∴∠PEF=90°,
∴∠EPF=∠PFE=45°,
∴EF=EP,
由题意12⋅EF⋅PE=50,
∴EF=PE=10(cm),
∵AP=5×25=105(cm),
∴sinA=PEPA=10105=55.
故答案为:10,55.
(2)当0
∴AB=EF+AE=30(cm),
∴BC=55AB=65(cm),
∴AC=AB2-BC2=302-(65)2=125,
∴点P从A运动到C的时间x=12525=6,
当5
∵BL//PF,
∴∠LBJ=∠PFE=45°,
∴△BLJ是等腰直角三角形,
∴BJ=LJ=10(cm),BL=102(cm),
∵tanA=KLAL=12,
∴LK=55,AK=25,
∴BK=AB-AK=30-25=5,
∵BC//KL,
∴∠FBT=∠BKL,
∴△FBT∽△BKL,
∴BFBK=FTBL,
∴6x-305=TF102,
∴FT=(122x-602)(cm),
∵BH=22BF=22(6x-30)=32x-152,
∴y=S△PEF-S△BTF=12×2x⋅2x-12×(122x-602)⋅(32x-152)=-34x2+360x-900.
综上所述,y=2x2(0
(3)当y=36时,2x2=36,x=32,
-34x2+360x-900=36,
解得x=6或7817,
∵7817<5,
∴x=7817不符合题意舍弃,
观察图象可知,满足条件的x的值为32≤x≤6.
28.解:(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b(k≠0),
依题意得:840=160k+b960=190k+b,
解得:k=4b=200,
∴y与x之间的函数关系式为y=4x+200;
(2)设老张明年种植该作物的总利润为W元,
依题意得:W=[2160-(4x+200)+120]⋅x=-4x2+2080x=-4(x-260)2+270400,
∵-4<0,
∴当x<260时,W随x的增大而增大,
由题意知:x≤240,
∴当x=240时,W最大,最大值为-4×(240-260)2+270400=268800(元),
答:种植面积为240亩时总利润最大,最大利润268800元.
29.解:(1)设y=kx+b,由题意有:
40k+b=18070k+b=90,
解得k=-3b=300,
所以,y关于x的函数解析式为y=-3x+300;
(2)由(1)W=(-3x+300)(x-a),
又由表知,把x=40,W=3600,代入上式可得关系式
得:3600=(-3×40+300)(40-a),
∴a=20,
∴W=(-3x+300)(x-20)=-3x2+360x-6000=-3(x-60)2+4800,
所以售价x=60时,周销售利润W最大,最大利润为4800;
(3)由题意W=-3(x-100)(x-20-m)(x≤55),
其对称轴x=60+m2>60,
∴0
∴4050=-3(55-100)(55-20-m),
∴m=5.
30.解:(1)∵抛物线交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴设y=a(x+1)(x-3),将C(0,-3)代入,
得:-3a=-3,
解得:a=1,
∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)如图1,作点O关于直线BC的对称点O',连接AO',QO',CO',BO',
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,
∴∠BCO=45°,
∵O、O'关于直线BC对称,
∴BC垂直平分OO',
∴OO'垂直平分BC,
∴四边形BOCO'是正方形,
∴O'(3,-3),
在Rt△ABO'中,|AO'|=AB2+O'B2=42+32=5,
∵|QA|+|QO'|≥|AO'|,|QO'|=|QO|,
∴|QO|+|QA|=|QA|+|QO'|≥|AO'|=5,即点Q位于直线AO'与直线BC交点时,|QO|+|QA|有最小值5;
(3)设直线BC的解析式为y=kx+d,
∵B(3,0),C(0,-3),
∴3k+d=0d=-3,
解得:k=1d=-3,
∴直线BC的解析式为y=x-3,
设直线AC的解析式为y=mx+n,
∵A(-1,0),C(0,-3),
∴-m+n=0n=-3,
解得:m=-3n=-3,
∴直线AC的解析式为y=-3x-3,
∵PQ//AC,
∴直线PQ的解析式可设为y=-3x+b,
由(1)可设P(m,m2-2m-3),代入直线PQ的解析式,
得:m2-2m-3=-3m+b,
解得:b=m2+m-3,
∴直线PQ的解析式为y=-3x+m2+m-3,
联立方程组,得:y=x-3y=-3x+m2+m-3,
解得:x=m2+m4y=m2+m-124,
∴Q(m2+m4,m2+m-124),
由题意:S=S△PAQ+S△PBQ=S△PAB-S△QAB,
∵P,Q都在第四象限,
∴P,Q的纵坐标均为负数,
∴S=12|AB|⋅(-m2+2m+3)-12|AB|⋅(-m2+m-124)=-32m2+92m=-32(m-32)2+278,
由题意,得0
即P(32,-154)时,S有最大值278.
31.解:(1)由点D的纵坐标知,正方形ABCD的边长为5,
则OB=AB-AO=5-4=1,故点B的坐标为(1,0),
则1+b+c=016-4b+c=5,解得b=2c=-3,
故抛物线的表达式为y=x2+2x-3;
(2)存在,理由:
∵点D、E关于抛物线对称轴对称,故点E的坐标为(2,5),
由抛物线的表达式知,其对称轴为直线x=-1,故设点F的坐标为(-1,m),
由点B、E的坐标得,BE2=(2-1)2+(5-0)2=26,
设点Q的坐标为(s,t),
∵以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形,
故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E,则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q),且BE=EF(BE=EQ),
则s+1=-1t+5=m26=(2+1)2+(m-5)2或s-1=-1t-5=m26=(s-2)2+(t-5)2,
解得m=5±17s=-2t=±17或s=0t=5±22m=±22,
故点F的坐标为(-1,5+17)或(-1,5-17)或(-1,22)或(-1,-22);
(3)存在,理由:
设抛物线的对称轴交x轴于点B'(-1,0),将点B'向左平移1个单位得到点B″(-2,0),
连接B″E,交函数的对称轴于点M,过点M作MP⊥y轴,则点P、M为所求点,此时EM+MP+PB为最小,
理由:∵B'B″=PM=1,且B'B″//PM,故四边形B″B'PM为平行四边形,则B″M=B'P=BP,
则EM+MP+PB=EM+1+MB″=B″E为最小,
由点B″、E的坐标得,直线B″E的表达式为y=54(x+2),
当x=-1时,y=54(x+2)=54,故点M的坐标为(-1,54),
则EM+MP+PB的最小值B″E=(-2-2)2+(0-5)2=41+1.
32.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于点A(-1,0)和B(-5,0),
∴a-b-5=025a-5b-5=0,
解得:a=-1b=-6,
∴该抛物线的解析式为:y=-x2-6x-5;
(2)在y=-x2-6x-5中,令x=0,则y=-5,
∴C(0,-5),
∴OC=5,
如图1,过点A作AF⊥AC交直线CM于点F,过点F作FE⊥x轴于点E,
∴∠AEF=∠CAF=∠AOC=90°,
∴∠EAF+∠CAO=∠CAO+∠ACO=90°,
∴∠EAF=∠ACO,
∴△AEF∽△COA,
∴EFOA=AEOC=AFAC=tan∠ACM=2,
∴EF=2OA=2,AE=2OC=10,
∴OE=OA+AE=1+10=11,
∴F(-11,-2),
设直线CF解析式为y=kx+c,
∵C(0,-5),F(-11,-2),
∴c=-5-11k+c=-2,
解得:k=-311c=-5,
∴直线CF解析式为y=-311x-5,
结合抛物线:y=-x2-6x-5,得:-x2-6x-5=-311x-5,
解得:x1=0(舍),x2=-6311,
∴点M的横坐标为-6311;
(3)∵y=-x2-6x-5=-(x+3)2+4,
∴顶点P(-3,4),
设N(-3,n),直线AN解析式为y=k1x+c1,
∵A(-1,0),N(-3,n),
∴-k1+c1=0-3k1+c1=n,
解得:k1=-12nc1=-12n,
∴直线AN解析式为y=-12nx-12n,
结合抛物线y=-x2-6x-5,得:-x2-6x-5=-12nx-12n,
解得:x1=-1(舍),x2=12n-5,
当x=12n-5时,y=-12n×(12n-5)-12n=-14n2+2n,
∴M(12n-5,-14n2+2n),
∵PD//x轴,MD⊥PD,
∴D(12n-5,4),
∴MD=4-(-14n2+2n)=14n2-2n+4,
如图2,过点M作MG⊥PN于点G,
则MG=-3-(12n-5)=2-12n,NG=n-(-14n2+2n)=14n2-n,
∵∠MGN=90°,
∴MN2=MG2+NG2=(2-12n)2+(14n2-n)2=116(n2+4)(n-4)2,
∵MD=3MN,
∴MD2=3MN2,
∴(14n2-2n+4)2=3×116(n2+4)(n-4)2,
∴116(n-4)4=316(n2+4)(n-4)2,
∵点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方,
∴n<0,
∴n-4<0,
∴(n-4)2>0,
∴(n-4)2=3(n2+4),
解得:n1=6-2(舍),n2=-6-2,
∴N(-3,-6-2).
33.解:(1)∵顶点D的坐标为(1,-4),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,将点A(-1,0)代入,
得0=a(-1-1)2-4,
解得:a=1,
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3,
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)∵抛物线对称轴为直线x=1,A(-1,0),
∴B(3,0),
设直线BD解析式为y=kx+e,
∵B(3,0),D(1,-4),
∴3k+e=0k+e=-4,
解得:k=2e=-6,
∴直线BD解析式为y=2x-6,
过点C作CP1//BD,交抛物线于点P1,
设直线CP1的解析式为y=2x+d,将C(0,-3)代入,
得-3=2×0+d,
解得:d=-3,
∴直线CP1的解析式为y=2x-3,
结合抛物线y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=2x-3,
解得:x1=0(舍),x2=4,
故P1(4,5),
过点B作y轴平行线,过点C作x轴平行线交于点G,
∵OB=OC,∠BOC=∠OBG=∠OCG=90°,
∴四边形OBGC是正方形,
设CP1与x轴交于点E,则2x-3=0,
解得:x=32,
∴E(32,0),
在x轴下方作∠BCF=∠BCE交BG于点F,
∵四边形OBGC是正方形,
∴OC=OB=BG=3,∠COE=∠G=90°,∠OCB=∠GCB=45°,
∴∠OCB-∠BCE=∠GCB-∠BCF,
即∠OCE=∠GCF,
∴△OCE≌△GCF(ASA),
∴FG=OE=32,
∴BF=BG-FG=3-32=32,
∴F(3,-32),
设直线CF解析式为y=k1x+e1,
∵C(0,-3),F(3,-32),
∴e1=-33k1+e1=-32,
解得:k1=12e1=-3,
∴直线CF解析式为y=12x-3,
结合抛物线y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=12x-3,
解得:x1=0(舍),x2=52,
∴P2(52,-74),
综上所述,符合条件的P点坐标为:P1(4,5),P2(52,-74);
(3)设直线AC解析式为y=m1x+n1,直线BC解析式为y=m2x+n2,
∵A(-1,0),C(0,-3),
∴-m1+n1=0n1=-3,
解得:m1=-3n1=-3,
∴直线AC解析式为y=-3x-3,
∵B(3,0),C(0,-3),
∴3m2+n2=0n2=-3,
解得:m2=1n2=-3,
∴直线BC解析式为y=x-3,
设M(t,t-3),
①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时,
此时∠NMQ=90°,MN=MQ,如图2,
∵MQ//x轴,
∴Q(-13t,t-3),
∴|t-3|=|t-(-13t)|,
解得:t=-9或97,
∴M1(97,-127),Q1(-37,-127);M2(-9,-12),Q2(3,-12);
②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时,
此时∠MNQ=90°,MN=NQ,如图3,
∵N(t,0),
∴Q(-1,0),
∴|t-3|=|t-(-1)|,
解得:t=1,
∴M3(1,-2),Q3(-1,0);
③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时,
此时∠MQN=90°,MQ=NQ,如图4,
∴Q(-t+36,t-32),
∴|t-3|=2|t-(-t+36)|,
解得:t=-3或35,
∴M4(-3,-6),Q4(0,-3);M5(35,-125),Q5(-35,-65);
综上所述,点M及其对应点Q的坐标为:
M1(97,-127),Q1(-37,-127);
M2(-9,-12),Q2(3,-12);
M3(1,-2),Q3(-1,0);
M4(-3,-6),Q4(0,-3);
M5(35,-125),Q5(-35,-65).
34.解:(1)b═76,c═1.
(2)由y═-16x2+76x+1═-16(x-72)2+7324,
可知当x═72时,y有最大值7324,
故大棚最高处到地面的距离为7324米;
(3)令y═3724,则有-16x2+76x+1═3724,
解得x1═12,x2═132,
又∵0≤x≤6,
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6-12═112(米),
又大棚的长为16米,
∴需要搭建支架部分的土地面积为16×112═88(平方米),
故共需要88×4═352(根)竹竿,
答:共需要准备352根竹竿.
35.(1)①函数关于y轴对称;
②x=-2或x=0或x=2 ;
③-1 (2)将函数y=-(|x|-1)2的图象向右平移2个单位,向上平移3个单位可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图象,
当2
36.解:(1)直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A,B两点,
则点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,1),
则∠OBA=∠OAB=45°,
∵∠AOC+∠BOC=90°,∠BOC+∠BOE=90°,
∴∠AOC=∠BOE,
∵AO=BO,OC=OE,
∴△OAC≌△OBE(SAS),
∴∠OBE=∠OAC=45°,AC=BE=t,
∴∠EBA=∠EBO+∠OBA=∠OAC+∠OBA=45°+45°=90°,
∴BE⊥AB;
(2)过点E作EH⊥OB于点H,
∵∠EBH=45°,
∴BH=EH=22BE=22t,
故点E的坐标为(-22t,1-22t);
(3)如上图,过点C作CN⊥OA于点N,
当t=22时,即AC=t=22,
则CN=AN=22t=12,
则ON=OA-NA=1-12=CN,
故tan∠AOC=CNON=1=k,
∵△POA的面积=12×AO×yP=12×1×yP=12k=12,
解得yP=1=c-b24a①,
∵抛物线过点A(1,0),故a+b+c=0②,
而6a+3b+2c=0③,
联立①②③并解得a=-1b=4c=-3,
故抛物线的表达式为y=-x2+4x-3.
37.解:(1)∵y1=-(x+4)(x-n),
令y1=0,-(x+4)(x-n)=0,
∴x1=-4,x2=n,
∴A(-4,0);
(2)y1=-(x+4)(x-n)=-x2+(n-4)x+4n=-x-n-422+14n2+2n+4,
∴k1=14n2+2n+4,
∵y2=-(x+2n)2-n2+2n+9,
∴k2=-n2+2n+9,
(3)k1-k2=54n2-5,
①当54n2-5>0时,可得n>2或n<-2,
即当-4≤n<-2或2
②当54n2-5<0时,可得-2
即当n=2或n=-2时,k1=k2;
(4)设直线MN的解析式为:y=kx+b,
则(2n+9)k+b=-5n2①2nk+b=9-5n2②,
由①-②得,k=-1,
∴b=-5n2+2n+9,
直线MN的解析式为:y=-x-5n2+2n+9.
①如图:
当直线MN经过抛物线y1,y2的交点时,
联立抛物线y1=-x2+(n-4)x+4n与y2=-x2-4nx-5n2+2n+9的解析式可得:
(5n-4)x=-5n2-2n+9①,
联立直线y=-x-5n2+2n+9与抛物线y2=-x2-4nx-5n2+2n+9的解析式可得:
x2+(4n-1)x=0,
则x1=0,x2=1-4n②,
当x1=0时,把x1=0代入y1得:y=4n,
把x1=0,y=4n代入直线的解析式得:
4n=-5n2+2n+9,
∴5n2+2n-9=0,
∴n=-1±465,
此时直线MN与抛物线y1,y2的公共点恰好为三个不同点,
当x2=1-4n时,把x2=1-4n代入①得:
(5n-4)(1-4n)=-5n2-2n+9,
该方程判别式△<0,
所以该方程没有实数根;
②如图:
当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时,
当直线MN与抛物线y1=-x2+(n-4)x+4n只有一个公共点时,
联立直线y=-x-5n2+2n+9与抛物线y1=-x2+(n-4)x+4n可得,
-x2+(n-3)x+5n2+2n-9=0,
此时△=0,即(n-3)2+4(5n2+2n-9)=0,
∴21n2+2n-27=0,
∴n=-1±214221,
由①而知直线MN与抛物线y2=-x2-4nx-5n2+2n+9公共点的横坐标为x1=0,x2=1-4n,
当n=-1±214221时,1-4n≠0,
∴x1≠x2,
所以此时直线MN与抛物线y1,y2的公共点恰好为三个不同点,
③如图:
当直线MN与抛物线y2=-x2-4nx-5n2+2n+9只有一个公共点,
∵x1=0,x2=1-4n,
∴n=14,
联立直线y=-x-5n2+2n+9与抛物线y1=-x2+(n-4)x+4n,
-x2+(n-3)x+5n2+2n-9=0,
△=(n-3)2+4(5n2+2n-9)=21n2+2n-27,
当n=14时,△<0,
此时直线MN与抛物线y1,y2的公共点只有一个,
∴n≠14,
综上所述:n1=-1+465,n2=-1-465,n3=-1+214221,n4=-1-214221.
38.解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x-x1)(x-x2),
则y=a(x-3)(x+1)=ax2-2ax-3a,
故-3a=-3,解得a=1,
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3;
(2)由抛物线的表达式知,点C(0,-3),
故OB=OC=3,则∠OBC=∠OCB=45°,
则NB=3-n=NG,则BG=2(3-n),
∵△PDG≌△BNG,
故PG=BG=2(3-n),
则PN=3-n+2(3-n)=(3-n)(1+2),
故点P的坐标为(n,-3-32+n+2n),
将点P的坐标代入抛物线表达式得:(n-3)(2+1)=n2-2n-3,
解得n=3(舍去)或2,
故n=2;
(3)①12;
设OC的中点为R(0,-32),
由B、R的坐标得,直线BR的表达式为y=12x-32,
则将它向上平移32个单位长度,得到直线OB1,
此时函数的表达式为y=12x(i),
则tan∠BOB1=12,
故答案为12;
②设线段NN1交AB1于点H,则AB1是NN1的垂直平分线,
∵tan∠BOB1=12,则tan∠N1NB=2,
设直线NN1交y轴于Q点,则点Q(0,2n),
∵直线NN1的过点N(n,0),
故直线NN1的表达式为y=-2(x-n)(ii),
联立(i)(ii)并解得x=4n5y=2n5,
故点H的坐标为(4n5,2n5),
∵点H是NN1的中点,
由中点坐标公式得:点N1的坐标为(3n5,4n5),
将点N1的坐标代入抛物线表达式得:4n5=(3n5)2-2×3n5-3,
解得n=25±10139,
故点N的坐标为(25+10139,0)或(25-10139,0).
39.解:(1)对于y=x2-1,令y=x2-1=0,解得x=±1,令x=0,则y=-1,
故点A、B的坐标分别为(-1,0)、(1,0),顶点坐标为(0,-1),
①当x=32时,y=x2-1=54,
由点A、C的坐标知,点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C,
∵四边形ACDE为平行四边形,
故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D,
则32+1=52,54+3=174,
故点D的坐标为(52,174);
②设点C(0,n),点E的坐标为(m,m2-1),
同理可得,点D的坐标为(m+1,m2-1+n),
将点D的坐标代入抛物线表达式得:m2-1+n=(m+1)2-1,
解得n=2m+1,
故点C的坐标为(0,2m+1);
连接CE,过点E作y轴的平行线交x轴于点M,交过点C与x轴的平行线与点N,
则S△ACE=S梯形CNMA-S△CEN-S△AEM=12(m+1+m)(2m+1)-12×(m+1)(m2-1)-12m[2m+1-(m2-1)]
=12S▱ACED=6,
解得m=-5(舍去)或2,
故点E的坐标为(2,3);
(2)∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点,故点F的坐标为(0,-2),
由点B、F的坐标得,直线BF的表达式为y=2x-2①,
同理可得,直线AF的表达式为y=-2x-2②,
设直线l的表达式为y=tx+n,
联立y=tx+n和y=x2-1并整理得:x2-tx-n-1=0,
∵直线l与抛物线只有一个公共点,
故△=(-t)2-4(-n-1)=0,解得n=-14t2-1,
故直线l的表达式为y=tx-14t2-1③,
联立①③并解得xH=t+24,
同理可得,xG=t-24,
∵射线FA、FB关于y轴对称,则∠AFO=∠BFO,设∠AFO=∠BFO=α,
则sin∠AFO=sin∠BFO=OBBF=11+22=15=sinα,
则FG+FH=-xGsinα+xHsinα=5(xH-xG)=5(t+24-t-24)=5,为常数.
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