2022年中考数学真题汇编：全等三角形2(含解析)

这是一份2022年中考数学真题汇编：全等三角形2(含解析)，共78页。试卷主要包含了下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学真题分类练习：全等三角形
1.（2022大庆）下列说法不正确的是( )
A. 有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C. 有两个角互余的三角形是直角三角形
D. 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
2.（2022云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）

A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
3.（2022贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
4.（2022百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）

A. B. C. 或 D. 或
5.（2022贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D. 最小值为
7.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
8.（2022海南）如图，正方形中，点E、F分别在边上，，则___________；若的面积等于1，则的值是___________．

9.（2022贵阳）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是_______，_______度．

10.（2022北部湾）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_________．

11.（2022安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．

12.（2022铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF=，则BD的长为______（结果保留很号）．

13.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为__________．

14.（2022大庆）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．

15.（2022铜仁）如图，点C在上，．求证：．



16.（2022福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．



17.（2022广东）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．



18.（2022百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

（1）求证：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面积．


19.（2022大庆）如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：．


20.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°

（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．


21.（2022北部湾）如图，在中，BD是它的一条对角线，

（1）求证：；
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）连接BE，若，求的度数．


22.（2022梧州）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．



23.（2022福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．


24.（2022遵义）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．

（1）求证：；
（2）若，求的长．


25.（2022贵阳）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．


26.（2022北京）如图，是的直径，是的一条弦，连接

（1）求证：
（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．


27.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．


28.（2022安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．


29.（2022毕节）如图1，在四边形中，和相交于点O，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长．


30.（2022玉林）问题情境：
在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：① ② ③若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．

问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，与全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求的概率．


31.（2022梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与交于点G，若．

（1）求证：①；
②CD是的切线．
（2）求的值．


32.（2022北京）在中，，D为内一点，连接，延长到点，使得

（1）如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；
（2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．


33.（2022北部湾）已知，点A，B分别在射线上运动，．

（1）如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：
（2）如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
（3）如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．


34.（2022云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE．

（1）请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得是否成立？请证明你的结论．


35.（2022海南）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．

（1）当点P是的中点时，求证：；
（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．


36.（2022百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F

（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长


37.（2022北京）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．

①在图中画出点；
②连接交线段于点求证：
（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）


38.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．

（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．


39.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，点在上．

求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
（2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．

①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．
②若，试求出正方形的面积．


40.（2022铜仁）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．



41.（2022河南）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．

2022年中考数学真题分类练习：全等三角形参考答案
1.（2022大庆）下列说法不正确的是( )
A. 有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C. 有两个角互余的三角形是直角三角形
D. 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【答案】解：A、设∠1、∠2为锐角，
因为：∠1+∠2+∠3=180°，
所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，
故A选项不正确，符合题意；
B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．

∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD与Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，
故B选项正确，不符合题意；
C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，，
故C选项正确，不符合题意；
D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，
故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
2.（2022云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）

A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
【答案】解：∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，

∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正确．
故选：D．
3.（2022贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
【答案】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故选：C．
4.（2022百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）

A. B. C. 或 D. 或
【答案】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，

，
；
如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，

过点C作CD⊥AB1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，
故选：C．
5.（2022贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D. 最小值为
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，

∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，
故应选：D
7.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：连结OA
∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故选A．

8.（2022海南）如图，正方形中，点E、F分别在边上，，则___________；若的面积等于1，则的值是___________．

【答案】∵正方形
∴，
∵
∴（HL）
∴，
∵，
∴
∴
设
∴
∴



∵的面积等于1
∴，解得，（舍去）
∴
故答案为：60；．
9.（2022贵阳）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是_______，_______度．

【答案】
，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或，
对角线，相交于点，
，
，
，
，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
10.（2022北部湾）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_________．

【答案】解：过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，

∵ADPQ，
∴AP=DQ，，
∴BP=CQ，
∵，
∴BP=CQ=EQ，
∵EF⊥BE，
∴
∵
∴，
在与中

∴≌，
∴BE=EF，
又∵，F为中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴AE=AO-EO=4-2=2，
∵ABFC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴EH=AH-AE=，
∵，
，
∴，
又∵，
∴
∴，
，
∴EG=，OG=1，
过点F作FM⊥AC 于点M，
∴FM=MC==，
∴MH=CH-MC=，
作FN⊥OD于点N，
，
在Rt与Rt中

∴Rt≌Rt
∴，
∴ON=2，NG=1，
∴，
∴，
故答案为：．
11.（2022安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．

【答案】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，

∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
12.（2022铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF=，则BD的长为______（结果保留很号）．

【答案】解：如图，连接AC交BD于点H，

由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=．
故答案为：．
13.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为__________．

【答案】如图，过点作，且，连接，如图1所示，
，
又，
，
，
，
当三点共线时，取得最小值，
此时如图2所示，
在等腰直角三角形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
，
即取得最小值为，
故答案为：．

图1 图2
14.（2022大庆）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．

【答案】解：∵正方形的周长是周长的2倍，
∴，
，
①若，则，故①不正确；
如图，在的延长线上取点，使得，

四边形是正方形，
，，
，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，

即，故②正确；


如图，作于点，连接，
则，
，，
，
同理可得，
，
关于对称轴，关于对称，
，
，
，
是直角三角形，
③若，
，
，故③不正确，
，
若，
即，
，

，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故④不正确．
故答案为：②．
15.（2022铜仁）如图，点C在上，．求证：．

【答案】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
16.（2022福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

【答案】证明：∵BF＝EC，
∴，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴，
∴∠A＝∠D．
17.（2022广东）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．

【答案】证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴，，
又∵（公共边），
∴．
18.（2022百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

（1）求证：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面积．
【答案】
（1）在和中，

，
；
（2）
过点A作AE⊥BC于点E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面积，
所以，草坪造型的面积为．
19.（2022大庆）如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：．
【答案】
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
20.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°

（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E为线段AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
21.（2022北部湾）如图，在中，BD是它的一条对角线，

（1）求证：；
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）连接BE，若，求的度数．
【答案】
（1）四边形ABCD是平行四边形，
，
，

（2）如图，EF即为所求；

（3） BD的垂直平分线为EF，
，
，
，
，
．
22.（2022梧州）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．

【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
23.（2022福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
【答案】
（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：

（2）解：根据题意，作出图形如下：

设，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又，
∴四边形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值为．
24.（2022遵义）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】
（1）证明：正方形和菱形，
，
在与中

（）
（2）如图，连接交于点，


，
，
在中，
，
，
中，，
，
在中，，
，
，
．
25.（2022贵阳）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】
（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）连接ME，如图，


∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的长为：．
26.（2022北京）如图，是的直径，是的一条弦，连接

（1）求证：
（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】
（1）证明：设交于点，连接，

由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：

连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
27.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
【答案】
（1）∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）结论：．
证明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，

∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
28.（2022安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【答案】
（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）
（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，

∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，

∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵




∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
29.（2022毕节）如图1，在四边形中，和相交于点O，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长．
【答案】
（1）证明：∵，
∴BC∥AD，
在△AOD和△COB中：，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）解：∵点E、F分别为BO和CO的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴；
∵ABCD为平行四边形，
∴BD=2BO，
又已知BD=2BA，
∴BO=BA=CD=OD，
∴△DOF与△BOA均为等腰三角形，
又F为OC的中点，连接DF，
∴DF⊥OC，
∴∠AFD=90°，
又G为AD的中点，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：；

过B点作BH⊥AO于H，连接HG，如上图所示：
由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，
∴HC=HO+OC=4+8=12，
在Rt△BHC中，由勾股定理可知,
∵H为AO中点，G为AD中点，
∴HG为△AOD的中位线，
∴HG∥BD，即HG∥BE，
且，
∴四边形BHGE为平行四边形，
∴GE=BH=9，
∴．
30.（2022玉林）问题情境：
在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：① ② ③若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．

问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，与全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求的概率．
【答案】
（1）全等，
理由：∵AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)；
（2）根据全等的判定方法可知①、②组合(SSS)或者①、③组合(SAS)可证明△ABD≌△ACD，
根据题意列表如下：

由表可知总的可能情况有6种，其中能判定△ABD≌△ACD的组合有4种，
能判定△ABD≌△ACD的概率为：4÷6=，
故所求概率．
31.（2022梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与交于点G，若．

（1）求证：①；
②CD是的切线．
（2）求的值．
【答案】
（1）证明：①∵，
∴∠D=∠A，
且对顶角∠CFD=∠BFA，
∴；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圆O的切线．
（2）解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：

∵且CD=BO，
∴四边形COBD为平行四边形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四边形COBD为正方形，
由(1)知：，
∴，
∵CE∥DB，
∴，
∴，即E为CO的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M为CD的中点，
设CM=x，则DB=CD=2x，，
由勾股定理知：，
在Rt△MBD中由等面积法知：，
代入数据得到：，解得，
在Rt△DGB中由勾股定理可知：，
又且其相似比为，
∴，
在Rt△BFG中由勾股定理可知：，
∴，
∴．
32.（2022北京）在中，，D为内一点，连接，延长到点，使得

（1）如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；
（2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】
（1）证明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
（2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下：

延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
33.（2022北部湾）已知，点A，B分别在射线上运动，．

（1）如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：
（2）如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
（3）如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．
【答案】
（1），证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
（2）如图，取AB中点T，连接OT、CT、OC，

以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，
，
（当且仅当点T在线段OC上时，等号成立），
当O、T、C在同一直线上时，CO最大，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
；
（3）如图，当点A，B运动到时，的面积最大，证明如下：
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，

由（2）可知，当时，OC最大，，
当时，，
此时OT最大，
的面积最大，
，
，




，


综上，当点A，B运动到时，的面积最大，面积的最大值为．
34.（2022云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE．

（1）请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得是否成立？请证明你的结论．
【答案】
（1）解：DE是⊙O的切线；理由如下：
∵BD²=BC⋅BE，
∴，
∵∠CBD=∠DBE，
∴△BDC∽△BED，
∴∠BCD=∠BDE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠BDE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：成立，理由如下：
延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵四边形APCD是圆内接四边形，
∴∠PAD+∠PCD=180°，
∵∠QAD+∠PAD=180°，
∴∠QAD=∠PCD，
∴△QAD≌△PCD(SAS)，
∴∠QDA=∠PDC，QD=PD，
∴∠QDA+∠PDA =∠PDC+∠PDA=90°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PQ=PD，即PA+PC=PD，
∴成立．
35.（2022海南）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．

（1）当点P是的中点时，求证：；
（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】
（1）解：如图9-1，在矩形中，，

即，
∴．
∵点P是的中点，
∴．
∴．
（2）①证明：如图9-2，在矩形中，，

∴．
由折叠可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵点P是的中点，
∴．
由折叠可知，．
设，则．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如图9-3，由折叠可知，．

∴．
由两点之间线段最短可知，
当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图9-4，由折叠可知．

过点作，交于点M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴点H是中点．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点G为中点，点H是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
36.（2022百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F

（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】
（1）设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
．
当点M在线段BD上时，此时，，

，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或．
37.（2022北京）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．

①在图中画出点；
②连接交线段于点求证：
（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
【答案】
（1）解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；

②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，

连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴OM∥ST，
∴NM为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
结合题意，，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．
38.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．

（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
【答案】
（1）解：∵在抛物线上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①连接交于点，如图1所示：

∵与关于轴对称，
∴，，
设，则，
，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，连接，，如图2所示：

∵，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，最小，最小为，
过作，垂足为，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴

，
即的最小值为．
39.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，点在上．

求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
（2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．

①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．
②若，试求出正方形的面积．
【答案】
（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC为钝角三角形，
∴以、、为边的三角形是钝角三角形．

（2）证明：①以、、为边的三角形是直角三角形．
连结CG，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG为正方形的对角线，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC为直角三角形，
∴以、、为边的三角形是直角三角形；

②连结BD，
∵△AGC为直角三角形，，
∴AC=，
∴四边形ABCD正方形，
∴AC=BD=，
∴S四边形ABCD=．

40.（2022铜仁）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

【答案】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
设，则，
∵H是AB中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知．

41.（2022河南）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】
（1）解：






（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴



②


（3）
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴