2022年中考数学试题汇编：二次函数（解答题）(含解析)

这是一份2022年中考数学试题汇编：二次函数（解答题）(含解析)，共120页。
2022年中考数学试题汇编：二次函数（解答题）

1．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
2．（2022•盘锦）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
x（天）
1
2
3
…
x
每天的销售量（千克）
10
12
14
…
　 　
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
（1）将表格中的最后一列补充完整；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？

3．（2022•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天销售量（本）
……
80
78
76
74
……
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
4．（2022•贵阳）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．

5．（2022•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为为物线上一动点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．


6．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


7．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，9），点D在y轴正半轴上，OD＝4，点P是线段OB上的一点，过点B作BE⊥DP，BE交DP的延长线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若＝，求点P的坐标；
（3）点F为第一象限抛物线上一点，在（2）的条件下，当∠FPD＝∠DPO时，求点F的坐标．

8．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
9．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

10．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
11．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
12．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．


13．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
14．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
15．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．


16．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．


17．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．


18．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝　 　，实数k的取值范围是 　 　；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
19．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

20．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


21．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？


22．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4）．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．


23．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．


24．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
25．（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；
（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．

26．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

27．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 　 　，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 　 　kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

28．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．

29．（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．

30．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

31．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

32．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


33．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
34．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
35．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

36．（2022•湖北）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．


37．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．

38．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

39．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

40．（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．


41．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

42．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
43．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

44．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？


45．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供应量y1（个）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（个）
220
229
…
245
…
220
…
164
（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
46．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．

参考答案与试题解析
1．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
（2）设李大爷每天所获利润是w元，由总利润＝每千克利润×销量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3（x﹣）2+，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4；
（2）设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，x为正整数，且|6﹣|＞|7﹣|，
∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7﹣）2+＝140（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．
2．（2022•盘锦）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
x（天）
1
2
3
…
x
每天的销售量（千克）
10
12
14
…
　2x+8　
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
（1）将表格中的最后一列补充完整；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？

【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；
（2）根据图象写出分段函数即可；
（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设每天的销量为z，
∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，
∴z＝sx+t，
∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，
∴，
解得，
即z＝2x+8，
故答案为：2x+8；
（2）由函数图象知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图象过（10，14），（20，9），
设y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+19（0＜x≤20），
当20＜x≤30时，y＝9，
∴y关于x的函数关系式为y＝；
（3）由题意知，当0＜x≤20时，
w＝（2x+8）（﹣x+19）＝﹣x2+34x+152＝﹣（x﹣17）2+1041，
∴此时当x＝17时，w有最大值为1041，
当20＜x≤30时，
w＝（2x+8）×9＝18x+72，
∴此时当x＝30时，w有最大值为612，
综上所述，销售草莓的第17天时，当天的利润最大，最大利润是1041元．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图象和性质及二次函数的应用是解题的关键．
3．（2022•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天销售量（本）
……
80
78
76
74
……
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元得，可解得A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据两款纪念册每天销售总数不变，可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，待定系数法可得y＝﹣2x+124，即可得B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w元，则w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，
根据题意得：，
解得，
答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，
∵两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，
根据表格可得：，
解得，
∴y＝﹣2x+124，
当y＝80﹣2m时，x＝22+m，
即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，
设该店每天所获利润是w元，
由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），
答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【点评】本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和函数关系式．
4．（2022•贵阳）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．

【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2﹣4a+b，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣4a+b）．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣3）﹣（﹣2），
∴d＞c＞e＝f．
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣3）﹣（﹣2），
∴d＜c＜e＝f．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
当a＜0时，抛物线开口向下，x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+．
综上所述，y＝x2+x﹣或y＝﹣x2﹣x+．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
5．（2022•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为为物线上一动点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．


【分析】（1）将A，B的坐标分别代入抛物线和直线AB的解析式，组成方程组，解之即可；
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，易证△PDF∽△BOG，所以PD：DF：PF＝OB：OG：AB＝3：4：5，所以PD＝PF，DF＝PF，则S1＝•PD•DF＝PF2，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4）（0＜m＜4），所以F（m，﹣m+3），E（m，0），则PF＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+1，BE＝4﹣m，FE＝﹣m+3，由三角形的面积分别表达S1和S2，利用给出比例建立方程即可；
（3）当点P在直线AB上方时，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的平行线交PH于点H，可证明△PHB≌△NKB（AAS），进而可得点P的纵坐标为3，代入即可得出PH的长，即可得出点N的坐标；当点P在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM，过点B作x轴的垂线BM交NM于点M，过点P作PQ⊥x轴于点Q．同理可得∴△PQB≌△NMB（AAS），求出NM的长和BQ的长，进而可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
设直线AB的解析式为：y＝kx+b′，
∴，
解得．
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3．
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，
∴G（0，3），
∴OG＝3，OB＝4，AB＝5，
∵PD⊥AB，PE⊥OB，
∴∠PDF＝∠BEF＝∠GOB＝90°，
∵∠P+∠PFD＝∠BFE+∠OBE＝90°，∠PFE＝∠BFE，
∴∠P＝∠OBE，
∴△PDF∽△BOG，
∴PD：DF：PF＝OB：OG：AB＝3：4：5，
∴PD＝PF，DF＝PF，
∴S1＝•PD•DF＝PF2，
设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4）（0＜m＜4），
∴F（m，﹣m+3），E（m，0），
∴PF＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+1，BE＝4﹣m，FE＝﹣m+3，
∴S1＝（﹣m2+m+1）2＝（m﹣4）2（2m+1）2，
S2＝•BE•EF＝（4﹣m）（﹣m+3）＝（m﹣4）2，
∵＝，
∴[（m﹣4）2（2m+1）2]：[（m﹣4）2]＝，解得m＝3或m＝﹣4（舍），
∴P（3，）．
（3）存在，点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．理由如下：
由抛物线的解析式可知，C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
如图，当点P在直线AB上方时，如图所示，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的平行线交PH于点H，

∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBH＝45°，
∴∠PBH＝∠OBN，
∵∠H＝∠BKN＝90°，
∴△PHB≌△NKB（AAS），
∴HB＝BK，PH＝NK，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴BK＝3，
∴BH＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+或x＝1﹣（舍），
∴PH＝4﹣（1+）＝3﹣，
∴NK＝3﹣，
∴N（1，3﹣）；
当点P在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM，过点B作x轴的垂线BM交NM于点M，过点P作PQ⊥x轴于点Q．

∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBM＝45°，
∴∠PBQ＝∠MBN，
∵∠M＝∠PQB＝90°，
∴△PQB≌△NMB（AAS），
∴QB＝MB，PQ＝NM，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴MN＝3，
∴PQ＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+（舍）或x＝1﹣，
∴BQ＝4﹣（1﹣）＝3+，
∴BM＝3+，
∴N（1，3+）．
综上，存在，点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．

【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，三角形的面积，全等三角形的性质与判定等知识，第（3）问解题关键是将垂直平分的条件转化为三角形的全等，得出线段之间的关系．
6．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；
（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；
（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，从而求得M和N的坐标，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形分为▱MNQP和▱MNPQ，根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．
【解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴AD2＝25，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，

作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1EF，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
由﹣（x﹣2）2+1＝0得，
x＝3或x＝1，
∴M（3，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
设P（2，m），
当▱MNQP时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
当▱MNPQ时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质和分类等知识，解决问题的关键熟练掌握有关基础知识．
7．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，9），点D在y轴正半轴上，OD＝4，点P是线段OB上的一点，过点B作BE⊥DP，BE交DP的延长线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若＝，求点P的坐标；
（3）点F为第一象限抛物线上一点，在（2）的条件下，当∠FPD＝∠DPO时，求点F的坐标．

【分析】（1）将A（﹣3，0），C（0，9）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，建立方程组，求解即可；
（2）易证△DPO∽△BPE，所以＝＝＝，设OP＝t（0＜t＜6），所以BP＝6﹣t，由相似比可得，BE2＝，PE2＝，在Rt△BPE中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）如过点D作DG⊥PF于点G，过点G作GN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥GN交NG的延长线于点M，易证△DPO≌△DPG（AAS），所以OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，由一线三等角可得△MDG∽△NGP，所以DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，设PN＝m，则MG＝2m，所以GN＝4﹣2m，DM＝8﹣4m，由平行四边形的性质可得8﹣4m＝2+m，解得m＝，可得G（，），由待定系数法可求得直线PF的解析式为：y＝x﹣．联立直线PF的解析式和抛物线的解析式可得出点F的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，9）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+9．
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+9，
∴B（6，0）．
∵BE⊥DP，
∴∠E＝∠DOP＝90°，
∵∠DPO＝∠BPE，
∴△DPO∽△BPE，
∴＝＝＝，
设OP＝t（0＜t＜6），
∴BP＝6﹣t，
∴BE2＝，PE2＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理可得，BE2+PE2＝PB2，
∴+＝（6﹣t）2，解得t＝58（舍）或t＝2，
∴P（2，0）；
（3）如图，过点D作DG⊥PF于点G，过点G作GN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥GN交NG的延长线于点M，

∴∠DOP＝∠DGP＝90°，
∵∠FPD＝∠DPO，DP＝DP，
∴△DPO≌△DPG（AAS），
∴OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，
∵GN⊥x轴，DM⊥GN，
∴∠M＝∠GNP＝90°，
∵∠DGM+∠MDG＝∠DGM+∠PGN＝90°，
∴∠MDG＝∠PGN，
∴△MDG∽△NGP，
∴DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，
设PN＝m，则MG＝2m，
∴GN＝4﹣2m，
∴DM＝8﹣4m，
∴8﹣4m＝2+m，解得m＝，
∴ON＝2+＝，GN＝4﹣2×＝，
∴G（，），
设直线PF的解析式为：y＝kx+b′，
∴，
解得，
∴直线PF的解析式为：y＝x﹣．
令x﹣＝﹣x2+x+9，解得x＝5或x＝﹣（舍），
∴F（5，4）．
【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数上点的坐标特征等知识，第（2）问关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方表达出BE2和PE2；第（3）问关键是构造相似三角形，建立方程．
8．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
9．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

【分析】（1）二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；
（2）根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分两种情形，当△EMN∽△OBC时，得，解得t＝；当△EMN∽△OCB时，得，解得t＝；
（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式，再根据直线l：y＝kx+m与抛物线图象只有一个公共点，联立两函数解析式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．
【解答】解：（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，
将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，，
∴抛物线的函数表达式为：，
又∵＝，＝＝，
∴顶点为D；
（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．
①当△EMN∽△OBC时，
∴，
解得t＝；
②当△EMN∽△OCB时，
∴，
解得t＝；
综上得，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；
（3）∵点关于点D的对称点为点G，
∴，
∵直线l：y＝kx+m与抛物线图象只有一个公共点，
∴只有一个实数解，
∴Δ＝0，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：xH＝，
同理可得：xK＝，
则：GH＝＝，GK＝＝×，
∴GH+GK＝+×＝，
∴GH+GK的值为．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点H和K的横坐标是解题的关键，属于中考压轴题．
10．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（批发价﹣成本价），列出销售利润w（千元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）根据题意得y＝12﹣2（x﹣4）＝﹣2x+20（4≤x≤5.5），
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y＝﹣2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5；
（2）设每天获得的利润为W千元，根据题意得w＝（﹣2x+20）（x﹣2）＝﹣2x2+24x﹣40＝﹣2（x﹣6）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＜6，W随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为﹣2×（5.5﹣6）2+32＝31.5，
∴将批发价定为5.5元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点评】本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
11．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点评】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
12．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．


【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；
（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；
（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类别①解答即可．
【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如图，

当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如图，

当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及解直角三角形，分类讨论思想的运用是解题的关键．
13．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【分析】（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；
（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．
【解答】解：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴＜﹣＜，即＜t＜2．
当t＝时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
14．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1　＜　d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20，
解得：a＝﹣0.05，
∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
解得：x＝8+或x＝8﹣，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+，
第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，
解得：x＝9+或x＝9﹣，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+，
∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），
∴＜，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．
15．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．


【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，令y＝0得A（﹣1，0）；
（2）由A（﹣1，0），C（0，2），知线段AC的中点D（﹣，1），设E（0，t），根据∠BED＝90°，得[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，即可解得E的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
（3）分当∠PCM＝2∠OBC时，∠CMP＝2∠OBC时，当∠CPM＝2∠OBC时三种情况，利用二次函数的性质和等腰三角形，勾股定理等性质进行计算即可．
【解答】解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0得﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0）；
（2）存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：
如图：

∵点D是线段AC的中点，A（﹣1，0），C（0，2），
∴D（﹣，1），
设E（0，t），
又B（4，0），
∵∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，
化简得：t2﹣t﹣2＝0，
解得：t1＝﹣1，t2＝2，
∴E的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
（3）∵B（4，0）、C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+2（k≠0），
把点B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0，
解得：k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2），
①当∠PCM＝2∠OBC时，
过点C作CF⊥PM于点F，如图，

∵CF⊥PM，PM∥y轴，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F（m，2），
又∵∠PCM＝2∠OBC，
∴∠PCF＝FCM＝∠OBC，
∴F是线段PM的中点，
∴＝2，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P是第一象限内抛物线上的动点，
∴m＝2；
②∠CMP＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠BMN，
∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM，
∵PN⊥x轴，
∴∠BMN+∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，
∴OC＝BC，
∵BC＝＝＝2≠4，
∴此种情况不存在；
③当∠CPM＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，
∴PC＝PM，
∴（m﹣0）2+（﹣+m+2﹣2）2＝[（﹣+m+2）﹣（﹣m+2）]2，
整理得：m2+m4﹣m3+m2＝m4﹣2m3+4m2，
解得：m＝；
综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质、直角三角形性质及应用，利用分类讨论的思想是解题的关键．
16．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．


【分析】（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，即可求解；
（2）过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，m﹣3），S2＝×OA×PM＝m2+m，S1＝×BF×AD＝4，由题意可求m的值；
（3）设Q（x，y），分四种情况讨论：①当△CDF∽△QAE时，AQ＝5，EQ＝5，可求Q（﹣7，5）；②当△CDF∽△AQE时，AQ＝5，QE＝10，解得Q（﹣12，5）；③当△CDF∽△EQA时，EQ＝5，AQ＝10，可求得Q（3，﹣10）；④当△CDF∽△QEA时，EQ＝5，AQ＝5，解得Q（3，﹣5）．
【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）将A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），
过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为或；
（3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
17．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．


【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；
（2）存在．如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；
（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4），分三种情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分别求解可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）存在．
理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．

令y＝0，则x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），C（2，0），
∵B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；

（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；

∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP1＝3，
∴P1（﹣1，3），
当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），
当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AN的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），
∴NJ＝AB＝2，
∴12+（n+2）2＝（2）2，
解得n＝﹣2或﹣﹣2，
∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
18．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝　y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一）　，实数k的取值范围是 　4≤k≤5　；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图像向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，根据当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案；
（3）求出A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作BH⊥AC于H，可得BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，故△BHC是等腰直角三角形，∠ACB＝45°．
【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图：

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图像向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，
∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，
∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，
∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）如图：

∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，
∴yA＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，
∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），
∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，AC∥x轴，
∴xC＝﹣2﹣m，
∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
过B作BH⊥AC于H，
∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，
∴BH＝CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
19．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．
20．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


【分析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由DH∥OC，可得＝＝，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，证明△MDF≌△NOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，证明△KDF≌△LFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．



【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，灵活应用平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
21．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？


【分析】（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（50，15），
∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，
∴，
解得，
即x关于t的函数解析式是x＝10t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，
则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，
∵25＜50，
∴x＝25时，h取得最值，符合题意，
将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．

【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
22．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4）．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．


【分析】（1）把点P（0，4）代入y＝﹣x2+c，即可求得答案；
（2）根据题意平移后的新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），再求出C（0，3），B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，可推出：△CPQ是等腰直角三角形，△BOC是等腰直角三角形，即可证得△BCQ是直角三角形．
（3）设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，利用待定系数法得出直线BC的解析式为y＝x+3，联立方程组求得：M（﹣，），N（，），进而可得BN＝，再分两种情况：①当△NBT∽△CBA时，则＝，②当△NBT∽△ABC时，则＝，分别建立方程求解即可得出答案．
（4）由于直线AB与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线AB的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），可得y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，联立得x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，运用根的判别式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），
∴c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：
将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，
∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），
令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），A（1，0），
如图1，连接BQ，CQ，PQ，
∵P（0，4），Q（﹣1，4），
∴PQ⊥y轴，PQ＝1，
∵CP＝4﹣3＝1，
∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴∠PCQ＝45°，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCQ是直角三角形．
（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．
∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，
∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，
即点T在y轴的右侧，
设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，
∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），
∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
由，
解得：，，
∴M（﹣，），N（，），
∴BN＝×＝，
①当△NBT∽△CBA时，则＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
②当△NBT∽△ABC时，则＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．
（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），
∵直线BC的解析式为y＝x+3，
∴直线AB与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线AB的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，
设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），
则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，
由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，
整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，
∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，
∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，
解得：t＝，
∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．



【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的平移变换，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式的应用等，熟练掌握二次函数的图象及性质、数形结合、分类讨论是解题的关键．
23．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．


【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
24．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；
（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；
②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a＝（舍）；
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2﹣或．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
25．（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；
（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．

【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；
（2）可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面积；
（3）作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得的函数解析式，从而求得P点坐标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；
（4）作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT＝IW，构建方程求得n的值．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2﹣3，
∴B（3，0），
∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴∠PCB＝90°，
∴S△PBC＝＝＝3，
∵S△BOC＝＝＝，
∴S四边形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；
（3）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，

设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，
x＝m2﹣2m，
∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∵PE∥AB，
∴△PDE∽△ADB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，（）最大＝，
当m＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，
∴P（，），
设Q（n，﹣n2+2n+3），
如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，

∴＝，
∴＝，
∴n＝，
如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，

∴＝，
∴＝，
可得n1＝1，n2＝，
如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作OR⊥PT于R，

同理可得：＝，
∴n＝，
综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；
（4）如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．

∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，
∴G（n，0），H（3，3+n），
∴K（，），
∴I（，﹣（）2+n+3+3），
∵TM＝IW，
∴＝（）2+n+6﹣（3+n），
∴（n+3）2+2（n+3）﹣12＝0，
∴n1＝﹣4+，n2＝﹣4﹣（舍去），
∴G（﹣4+，0）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三直角”模型及需要较强计算能力．
26．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

【分析】（1）当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；
（2）利用待定系数法即可求得草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）利用销售金额＝销售量×草莓价格，比较第8天与第10天的销售金额，即可得答案．
【解答】解：（1）∵当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，
∴当x＝14时，y＝﹣20×14+320＝40（千克），
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，
∵点（4，24），（12，16）在m＝kx+b的图象上，
∴，
解得：，
∴函数解析式为m＝﹣x+28．
（3）当0≤x≤10时，y＝12x，
∴当x＝8时，y＝12×8＝96，
当x＝10时，y＝12×10＝120；
当4≤x≤12时，m＝﹣x+28，
∴当x＝8时，m＝﹣8+28＝20，
当x＝10时，m＝﹣10+28＝18
∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），
第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），
∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额多．
【点评】此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．
27．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 　增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg　，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 　　kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

【分析】（1）根据题意可知点P所表示的实际意义，列算式求出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少多少kg；
（2）先求出A点坐标，再求出y与x之间的函数关系式，再求出自变量x的取值范围；
（3）根据题意写出二次函数解析式，根据其性质，求出当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大，及最大产量是多少．
【解答】解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，
（75﹣66）÷（28﹣10）＝，
∴每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg，
故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，kg；
（2）
设在10棵的基础上增种m棵，
根据题意可得m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣，b＝80，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+80；
自变量x的取值范围：0≤x≤80；
（3）设增种果树a棵，
W＝（60+a）（﹣0.5a+80）
＝﹣0.5a2+50a+4800，
∵﹣0.5＜0，
∴a＝﹣＝50，
W最大＝6050，
∴当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式，用二次函数的性质求出最大产量是解题关键．
28．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．

【分析】（1）根据直线解析式可得点A、B的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；
（2）①由旋转的性质可得E（6，3），当x＝6时，y＝＝3，可知点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，sin∠ABO＝，则HP＝BP，得BP+EP＝HP+PE，可知HP+PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，
∴当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∵抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4；
（2）①∵将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，
∴∠OCF＝90°，CF＝CO＝6，EF＝AO＝3，EF∥y轴，
∴E（6，3），
当x＝6时，y＝＝3，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，

∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵sin∠ABO＝，
∴HP＝BP，
∴BP+EP＝HP+PE，
∴HP+PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠EPG＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴PG＝，
∴OP＝﹣3＝，
∴P（0，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将BP转化为HP的长是解题的关键．
29．（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．

【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．
（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值．
②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．
【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）令x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．
（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，
当m＞2时，抛物线顶点为最低点，
∴﹣1＝2﹣m，
解得m＝3，
当m≤2时，点P为最低点，
将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣4m+3＝2﹣m，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴m＝3或m＝．
②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，
∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．

当m＝时，如图，∠QPA＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF于点E，

∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠QPE＝∠PAF，
又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，
∴△QEP≌△PFA（AAS），
∴QE＝PA，即2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，
∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，
∴点Q坐标为（2，）．
综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
30．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点M作MD⊥y轴，垂足为D，根据面积关系得出OA＝2MD，设M点的坐标为（m，﹣m2+4），求出M点的坐标，用待定系数法求出直线AM的解析式，根据C点坐标求出直线CN的解析式，确定N点的坐标，即可得出结论；
（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），用m的代数式表示出OE和ME，利用三角函数得出OH和OG的代数式，根据2OH﹣OG＝7，得出关于m的方程，求出m的值即可得出M点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于（2，0），顶点C的坐标是（0，4），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）证明：过点M作MD⊥y轴，垂足为D，

当△AOG与△MOG都以OG为底时，
∵S1＝2S2，
∴OA＝2MD，
当y＝0时，则﹣x2+4＝0，
解得x＝±2，
∵B（2，0），
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，MD＝1，
设M点的坐标为（m，﹣m2+4），
∵点M在第一象限，
∴m＝1，
∴﹣m2+4＝3，
即M（1，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝x+2，
∵CN∥AM，
∴设直线CN的解析式为y＝x+t，
∵C（0，4），
∴t＝4，
即直线CN的解析式为y＝x+4，将其代入y＝﹣x2+4中，
得x+4＝﹣x2+4，
解得x＝0或﹣1，
∵N点在第二象限，
∴N（﹣1，3），
∵M（1，3），
∴点N与点M关于y轴对称；
（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），

∴OE＝m，ME＝﹣m2+4，
∵B（2，0），
∴OB＝2，BE＝2﹣m，
在Rt△BEM和Rt△BOH中，
∵tan∠MBE＝tan∠HBO，
∴，
∴OH＝＝＝2（2+m）＝2m+4，
∵OA＝2，
∴AE＝m+2，
在Rt△AOG和Rt△AEM中，
∵tan∠GAO＝tan∠MAE，
∴，
∴OG＝＝＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
∵2OH﹣OG＝7，
∴2（2m+4）﹣（4﹣2m）＝7，
解得m＝，
当m＝时，﹣m2+4＝，
∴M（，），
∴存在点M（，），使得2OH﹣OG＝7．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角函数，一次函数的性质等知识是解题的关键．
31．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），列出交点式，再将点A（0，﹣4）可得出抛物线的解析式；
（2）根据可得出△ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；
（3）若存在，则△BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），
将点A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，
∴a＝．
∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．
（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），
∴点B的坐标为（4，﹣4）．
∵D（4，0），
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝m，
∴AF＝EF＝m，
∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）．
∵四边形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．
∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．
∵B（4，﹣4），C（6，0），
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．
当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4+m．
解得m＝．
∴G（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．
∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，
BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，
CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．
若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，
∴分以下三种情况：
①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，
∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，
解得m＝，
∴G（，﹣）；
②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，
∴20+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝（4﹣m）2+（m）2，
解得m＝，
∴G（，）；
③当点G为直角顶点时，BG2+CG2＝BC2，
∴（4﹣m）2+（m）2+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝20，
解得m＝或2，
∴G（3，﹣3）或（，）；
综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（，﹣）或（，）或（3，﹣3）或（，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论等知识，解题关键是由点E的坐标得出点H，F，G的坐标．本题第（3）问当点B和点C为直角顶点时，也可通过一次函数和几何结合求解．
32．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


【分析】（1）由二次函数的对称轴直接可求b的值；
（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；
②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），再求出y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0）当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），结合图像可得﹣1≤x＜2﹣或2﹣＜x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；
（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∵M在N的左侧，
∴M（2﹣，0），N（2+，0），
∴MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），
∵△MNP为直角三角形，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣或2﹣＜x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如图2，当＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，
∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
如图5，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1＜m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1＜m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．


















，





【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形翻折的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
33．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；
②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+k+b，N＝kt﹣k+b，h＝k；当k＜0时，M＝kt﹣k+b，有N＝kt+k+b，h＝﹣k；
（2）由题意t﹣≥1，M＝，N＝，则h＝，所以h有最大值；
（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时，M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t+≤2时，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2；④当t＜2≤t+，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2，画出h的函数图象，结合图象可得＝4+k，解得k＝﹣．
【解答】解：（1）①∵t＝1，
∴≤x≤，
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，
∴h＝k；
当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，
∴h＝﹣k；
综上所述：h＝±k；
（2）t﹣≥1，即t≥，
函数y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，
∴h＝，
当t＝时，h有最大值；
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
①当2≤t﹣时，即t≥，
此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝t﹣2，
此时h的最小值为；
②当t+≤2时，即t≤，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
此时h的最小值为；
③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，
此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
④当t＜2≤t+，即≤t＜2，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
h的函数图象如图所示：h的最小值为，
由题意可得＝4+k，
解得k＝﹣；
综上所述：k的值为﹣．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．
34．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）
＝﹣2（x﹣91）2+6498，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝91时，W最大值＝6498，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
35．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列函数关系式，从而利用二次函数的性质求其最值．
【解答】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由题意可得：
y＝x（47﹣2x+1），
即y＝﹣2（x﹣12）2+288，
∵﹣2＜0，
∴当x＝12时，y有最大值为288，
当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），
∴鸡场的最大面积为288m2．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．
36．（2022•湖北）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．


【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，

设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
37．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．

【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，
∴B（2，﹣3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1，
综上所述：m的值﹣1或+1；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
联立方程组，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，
∴综上所述：1＜n≤4或n＝．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
38．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2m；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2m；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
39．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，根据图象可得x的取值范围即可；
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小数位数只有一位且小数部分为偶数的数）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．
40．（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．


【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝列方程，两个方程组成方程组可解答；
（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；
（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，

∵C（0，4），D是OD的中点，
∴E（0，1），
当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴P（，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，

∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，

过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似的情况．
41．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

【分析】（1）根据A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，设P（m，0），则PA＝1﹣m，易证△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性质即可求出QE的长，又因为S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，进而得到△CPQ面积和m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，

设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA•CF﹣PA•QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题．
42．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）①构建方程即可求出该产品第一年的售价；
②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
【解答】解：（1）根据题意得：w＝（x﹣8）（24﹣x）﹣60＝﹣x2+32x﹣252；
（2）①∵该产品第一年利润为4万元，
∴4＝﹣x2+32x﹣252，
解得：x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴，
解得11≤x≤16，
设第二年利润是w'万元，
w'＝（x﹣6）（24﹣x）﹣4＝﹣x2+30x﹣148，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，又11≤x≤16，
∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（24﹣11）﹣4＝61（万元），
答：第二年的利润至少为61万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
43．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：
0.7＝25a+3.2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，
答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
44．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？


【分析】（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
45．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供应量y1（个）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（个）
220
229
…
245
…
220
…
164
（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，设y2＝ax2+bx+c，用待定系数法可得y2＝﹣x2+12x+209；
（2）求出前9天的总供应量为（1350+36m）个，前10天的供应量为（1500+45m）个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），可得，而m为正整数，即可解得m的值为20或21；
（3）m最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为y1＝210，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为y2＝209，销售额为20900元．
【解答】解：（1）根据题意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
设y2＝ax2+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）+......+（150+8m）＝（1350+36m）个，
前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的总需求量为2136个，
∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），
∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
∴，
解得19≤m＜21，
∵m为正整数，
∴m的值为20或21；
（3）由（2）知，m最小值为20，
∴第4天的销售量即供应量为y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），
而第12天的销售量即需求量为y2＝﹣122+12×12+209＝209，
∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．
46．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．

【分析】（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案；
②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30；
当40＜x≤100时，
设函数关系式为y＝kx+b，
∵线段过点（40，30），（100，15），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+40，
即y＝；

（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360﹣x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由（1）知，y＝30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
当x＝30时，wmin＝5850；
当40＜x≤90时，
由（1）知，y＝﹣x+40，
∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，
∴当x＝90时，wmin＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；

②当30≤x≤40时，
由①知，w＝15x+5400，
∵种植总费用不超过6000元，
∴15x+5400≤6000，
∴x≤40，
即满足条件的x的范围为30≤x≤40，
当40＜x≤90时，
由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，
∵种植总费用不超过6000元，
∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，
∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．