福建省泉州市第九中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)

2021-2022学年福建省泉州九中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如图，在▱中，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 矩形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角

5. 下列等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是(    )

A. 每天比原计划多修，结果提前天完成
B. 每天比原计划多修，结果延期夫完成
C. 每天比原计划少修，结果延期天完成
D. 每天比原计划少修，结果提前天完成

10. 如图，是边长为的正方形内一动点，为边上一动点，连接、、，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 新型冠状病毒的大小约为米，将用科学记数法表示为______．
12. 有个数据的平均数为，另有个数据的平均数是，那么所有这个数据的平均数是______．
13. 已知反比例函数的图象经过点、，则的值为______．
14. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，，则矩形对角线的长是______．

15. 如图，在平行四边形▱中，，的平分线与的平分线交于点，若点恰好在边上，则的值为______．

16. 平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的，两点，规定其坐标“积和”运算为：若，，，四个点的“积和”运算满足：，若，，，为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以，，，为顶点的四边形的结论：
    四边形可以是平行四边形；
    四边形可以是菱形；
    四边形可以是矩形；
    四边形不可能是正方形；
    其中正确的______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：．
18. 已知：如图，是平行四边形的对角线，过点作，交于点，过点作，交于点．
    求证：．

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 年月日晚，中国女足在第届亚洲杯决赛中以：逆转夺冠我校掀起了一股学女足精神的热潮为了学生丰富的课外活动，学校在开学初购进了、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍．已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元．求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元？
21. 如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
    点的坐标为______；
    求反比例函数的解析式．

22. 如图，在等边中，．
    求作：以为一个内角的菱形，使顶点在边上；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    求菱形的周长．

23. 学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了名学生的调查结果满分为分，分数用表示，共分成四组：：，：，：，：进行整理、描述和分析，当分数不低于分说明心理健康，下面给出部分信息．
    八年级随机抽取了名学生的分数是：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    九年级随机抽取了名学生的分数中，、两组数据个数相等，、两组的数据是：，，，，，，，，，．

根据以上信息，回答下列问题：
填空：______，______；______．
若该校八年级有名学生，九年级有名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？

24. 如图，在四边形中，，，是上一点，交于，连接．
    证明：；
    若，试证明四边形是菱形；
    在的条件下，试确定点的位置，使得，并说明理由．

25. 规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．
    求出直线的“旋转垂线”的解析式；
    若直线的“旋转垂线”为直线求证：；
    如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，度，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点的横坐标是负数，纵坐标是负数，
点在第三象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：矩形的性质有：四个角都是直角，对角线互相平分且相等，
对角线互相垂直不是矩形的性质，
故选：．
利用矩形的性质直接求解．
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
乙的方差最小，
成绩最稳定的是乙，
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
将点代入，
得，
解得，
故A选项不符合题意；
将代入，
得，
解得，
故B选项不符合题意；
将点代入，
得，
解得，
故C选项符合题意；
将点代入，
得，
解得，
故D选项不符合题意．
故选：．
根据一次函数随的增大而增大，可知，分别将点代入，求出的值，即可确定．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：表示实际每天整修道路的长度，
方程中出现的表示原计划每天整修道路的长度，
在实际施工时，每天比原计划多修．
工作时间工作总量工作效率，结合所列方程为，
结果提前完成，
题目中用“”表示的条件应是：每天比原计划多修，结果提前天完成．
故选：．
由的意义可找出的意义，利用等量关系工作时间工作总量工作效率结合所列方程，即可找出题目中用“”表示的条件．
本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出原题中缺失的条件是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，

，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，
作于，交于．
，
，
，
当点，点，点，点四点共线且垂直时，有最小值为，
，
，
的最小值，
故选：．
将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解本题的关键是确定取最小值时的位置．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，所有这个数据的平均数为．
故答案为：．
根据加权平均数的定义计算．
此题主要考查了加权平均数的求法．正确理解加权平均数的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故答案为：．
先将代入，求得，则，进行选择即可．
本题考查了用待定系数法确定函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特点，是常用的一种常见的题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，．
故答案为：．
根据矩形性质得出，，，，推出，求出等边三角形，求出，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出、的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
 

15.【答案】 

【解析】解：、 分别平分 和
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
 ，
，
，
平分，
，
，
，
同理可证 ，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，，可得，再根据勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
点，，，在同一反比例函数的图象上，
以，，，为顶点的四边形可以是平行四边形或矩形，不可能是菱形，也不可能是正方形．
故答案为：．
根据新运算得到，即可得到点，，，在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断以，，，为顶点的四边形不可能是菱形，正方形．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形，矩形，菱形的判定与性质，解题的关键是确定点，，，在同一反比例函数的图象上．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再合并即可．
此题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质是解决此题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
又，，
．
在与中，
．
≌．
． 

【解析】通过证明≌推知．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个品牌足球需要元，购买一个品牌足球需要元． 

【解析】设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，利用数量总价单价，结合购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出品牌足球的单价，再将其代入中即可求出品牌足球的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
四边形为正方形，
，，
，
故答案为：；
由可得，
反比例函数的图象经过点，
，
解得，
反比例函数的解析式．
先求出正方形边长，即可得的坐标；
把的坐标代入，求出值，即可得反比例函数解析式．
本题考查直角坐标系中点的坐标和待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是求出，的坐标和掌握待定系数法．
 

22.【答案】解：如图，四边形即为所求；
由作图可知，是的中位线，
，
菱形的周长为．
 

【解析】作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，即可；
利用三角形中位线定理解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】     

【解析】解：八年级测试成绩的中位数，
九年级测试成绩的中位数，
九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比为，
，
故答案为：；；；
估计这两个年级心理健康的学生一共有人．
答：估计这两个年级心理健康的学生一共有人．
根据中位数的定义可得、的值，先求出九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比可得的值；
用总人数乘以样本中两个年级的健康率即可．
本题考查了中位数以及样本估计总体，掌握中位数的定义和样本估计总体的方法是解题的关键．
 

24.【答案】证明：在和中，
，
≌，
．
证明：，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
解：当时，，
理由：≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】先由，，，根据“三边分别相等的两个三角形全等”证明≌，则；
由得，而，所以，则，所以，即可根据“四条边都相等的四边形是菱形”证明四边形是菱形；
先由，证明，再证明≌，得，当时，则，即可根据“等角的余角相等”证明，所以．
此题重点考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角的余角相等、等腰三角形的判定等知识，证明≌及≌是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

由得：，，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
设的解析式为：，
，
，
直线的“旋转垂线”的解析式是：；
证明：如图，

当时，，
当时，，
，
，，
同理可得：，，
由，得，
，
，
，
；
如图，

作，作，作于，
，，
直线的解析式为：，
由得，
，
，
直线的解析式为：，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
点的纵坐标是，
当时，，
，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
当时，，
． 

【解析】求出与，轴的交点坐标，然后求得旋转后的点的坐标，进而求得结果；
分别求出和与，轴交点坐标，根据“旋转垂线“的定义得出等式，进一步得出结果；
作，作，作于，先求出直线的解析式，进而求得直线的解析式，证明≌，从而得出点的纵坐标是，进而求得点的坐标，从而求得的解析式，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．