2021-2022学年北京二中教育集团七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京二中教育集团七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 若，则下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列说法错误的是(    )

A. 的算术平方根是 B. 的立方根是
C. 没有平方根 D. 平方根是本身的数只有

5. 如图，直线与直线相交于点，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若点在第四象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案：
   方案一：在多家旅游公司随机调查名导游；
   方案二：在恭王府景区随机调查名游客；
   方案三：在北京动物园景区随机调查名游客；
   方案四：在上述四个景区各随机调查名游客．
   在这四种调查方案中，最合理的是(    )

A. 方案一 B. 方案二 C. 方案三 D. 方案四

9. 如图，有以下四个条件：；；；其中能判定的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，点点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向左跳动个单位至点，第次向上跳动个单位至点，第次向右跳动个单位至点，第次又向上跳动个单位至点，第次向左跳动个单位至点，照此规律，点第次跳动至点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共12分）

11. 若一个数的平方等于，则这个数等于______．
12. 把二元一次方程写成用含的代数式表示的形式为______．
13. 如图，一艘补给船从点出发沿北偏东方向航行，给点处的船补给物品后，向左进行了的转弯，然后沿着方向航行，则的度数为______ ．

14. 若关于的不等式的解集如图所示，则等于______．

15. 如图，在三角形中，，将三角形沿着的方向平移至三角形，若平移的距离是，则图中阴影部分的面积为______．

16. 在数学课上，小明提出如下命题：“在同一平面内，如果直线，相交于，且，那么与一定相交．”同学们，你认为小明提出的命题是______填“真命题”或“假命题”，你的依据是：______．

三、选择题（本题共12小题，共63分）

17. 计算：．
18. 解方程组：
19. 解不等式：，并把解集表示在数轴上．
20. 解不等式组：并写出它的所有整数解．
    ．
21. 已知在实数，，，，，中，互为倒数，，互为相反数，是绝对值，的算术平方根是求的值．
22. 完成证明并写出推理根据：
    已知：如图，，，．
    求证：．
    证明：，已知，
    ．
    ____________
    ______
    又，
    ______．
    ______

23. 已知：如图，把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．
    画出，写出、、的坐标；
    求出的面积；
    点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．

24. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格；
某单位欲购买这两款玩具作为冬奥知识竞赛活动的奖品，要求“雪容融”的数量恰好等于“冰墩墩”的数量的倍，且购买总资金不得超过元，请根据要求确定该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量．

25. 为贯彻落实教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要试行通知要求，培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取名学生，对他们的每日平均家务劳动时长单位：进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述，下面是其中的部分信息：
    名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表：

名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图：
每日平均家务劳动时长在这一组的是：

小东每日平均家务劳动时长为．
根据以上信息，回答下列问题：
写出频数分布表中的数值______，______；
补全频数分布直方图；
小东每日平均家务劳动时长______样本中一半学生的每日平均家务劳动时长；填“超过”或“没超过”；
学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有名学生，请估计获奖的学生人数．

26. 先阅读下列第题的解答过程
    解不等式
    方法：根据“两数相除，同号为正”的有理数除法法则，将原不等式化为两个一次不等式去解；
    解：原不等式组或
    解得或
    所以原不等式的解集：或
    请仿照上面的解法中的一种方法解答下面的不等式：
    解不等式．
27. 如图，已知，射线分别和直线、交于点、，射线分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合，设，，．
    
    如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由；
    如果点在、两点之外运动时，、、之间有何数量关系？只需写出结论，不必说明理由
28. 在平面直角坐标系中，已知点如果存在点，满足，，则称点为点的“控变点”．
    点的“控变点”的坐标为______；
    已知点的“控变点”的坐标为，求，的值；
    长方形的顶点坐标分别为，，，如果点的“控变点”在长方形的内部，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为点的横坐标为负，纵坐标为正，
所以点在第二象限，
故选：．
点的横坐标为负，在轴的左侧，纵坐标为正，在轴上方，那么可得此点所在的象限．
本题考查了点的坐标．熟记各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．
B.在不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．
C.，不妨设，，则，原变形不一定成立，故此选项不符合题意．
D.在不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解答．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据可得，然后根据求解．
本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简单的题目．
 

4.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是，
选项A不符合题意；
 
的立方根是，
选项B符合题意；
 
没有平方根，
选项C不符合题意；
 
平方根是本身的数只有，
选项D不符合题意．
故选：．
根据立方根的含义和求法，平方根的含义和求法，以及算术平方根的含义和求法，逐项判定即可．
此题主要考查了立方根的含义和求法，平方根的含义和求法，以及算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，


．
故选：．
首先根据垂直的定义可得，最后由平角的定义可得的度数．
此题主要考查了垂线的性质和应用，以及平角的定义和应用，解答此题的关键是要明确垂直的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
点横坐标为正数，纵坐标为负数，
点到轴的距离为，到轴的距离为，
，
故选：．
直接利用各象限内点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了各象限内点的坐标特点，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
在和之间．
故选：．
先估算在和之间，可得结论．
本题考查实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握数据收集代表性是解题关键．
根据调查收集数据应注重代表性以及全面性，进而得出符合题意的答案．
【解答】
解：为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，应在上述四个景区各随机调查名游客．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：，
；
，
；
，
；
，
；
能得到的条件是．
故选：．
根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得能判定；根据内错角相等，两直线平行可得能判定；根据同位角相等，两直线平行可得能判定．
此题主要考查了平行线的判定，掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：经过观察可得：和的纵坐标均为，和的纵坐标均为，和的纵坐标均为，
因此可以推知和的纵坐标均为；
其中的倍数的跳动都在轴的右侧，那么第次跳动得到的横坐标也在轴右侧．
的横坐标为，的横坐标为，横坐标为，
依此类推可得到：的横坐标为是的倍数．
故点的横坐标为：，纵坐标为，
故点第次跳动至点的坐标是．
故选：．
解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第次跳动后，纵坐标为；其中的倍数的跳动都在轴的右侧，那么第次跳动得到的横坐标也在轴右侧．的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，依此类推可得到的横坐标．
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
这个数为，
故答案为：．
根据平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
，
故答案为：．
想办法证明，利用平行线的性质求出即可解决问题．
本题考查方向角，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由不等式得：，
由数轴得不等式解集为，
，
解得：，
故答案为．
解关于的不等式得，结合数不等式解集可得关于的方程，求解即可．
本题主要考查解不等式的能力及在数轴上表示不等式解集，表示出不等式解集是前提，得到关于的方程是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：直角沿边平移个单位得到直角，
，，
四边形为平行四边形，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为．
先根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的面积公式．
 

16.【答案】真命题  过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 

【解析】解：小明提出的命题是真命题，理由如下：
在同一平面内，假如与不相交，那么，
则过点有两条直线，与平行，
这与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
所以与一定相交．
故答案为：真命题，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
小明提出的命题是真命题，用反证法证明即可．
本题考查了命题与定理，用反证法证明这个命题是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
把代入得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为：． 

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可；
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把的系数化为得：．
 

【解析】首先两边同时乘以去分母，再利用乘法分配律去括号，移项、合并同类项，最后把的系数化为即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，关键是注意去分母时，不要漏乘没有分母的项．
 

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为，、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：
，，，，
原式

． 

【解析】根据倒数，相反数，绝对值，算术平方根的意义可得，，，，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，熟练掌握倒数，相反数，绝对值，算术平方根的意义是解题的关键．
 

22.【答案】  同旁内角互补，两直线平行  两直线平行，内错角相等    同位角相等，两直线平行 

【解析】证明：，已知，
，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又，
，
同位角相等，两直线平行，
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；


；

设，
与的面积相等，
，
解得或，
或． 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用三角形面积公式求解即可；
设，构建方程求出即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为、元，
则，
解方程组得：
，
答：“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为、元．
设“冰墩墩”玩具的数量为个，则“雪容融”玩具为个．
则，
解得：，
正整数最大为，
答：该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量为． 

【解析】分别设出冰墩墩和雪容融的单价，根据题中的等量关系列出方程组，解方程组，最后作答．
设出冰墩墩玩具为个，列出不等式，取最大整数解即可．
本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意，列出对应的方程组或不等式是解题的关键．
 

25.【答案】    超过 

【解析】解：由频数分布直方图知，
则，
故答案为：，；
补全频数分布直方图如下：

样本中学生的每日平均家务劳动时长的中位数为，
，
小东每日平均家务劳动时长超过样本中一半学生的每日平均家务劳动时长，
故答案为：超过；
人．
答：估计获奖的学生人数为人
由频数分布直方图可得的值，再由各组人数之和等于总人数可得的值；
根据以上所求结果可补全图形；
计算出样本数据的中位数，再比较即可得出答案；
用总人数乘以样本中第、组人数所占比例即可．
本题主要考查频数分布直方图和，中位数及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

26.【答案】解：原不等式变形得：或，
解得：或，
则原不等式的解集为或． 

【解析】仿照阅读材料中的方法求出所求不等式的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

27.【答案】解：，
理由：过点作如图，

，
，
，，
；
当点在上运动时如图，过点作，交于点，

，
，
，，
；
同理可得，当点在上运动时，． 

【解析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的推论，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
过点作，根据，可知，故可得出，，由此即可得出结论；
点在、两点之外运动时，分点在上运动与点在上运动两种情况讨论．
 

28.【答案】解：设点坐标为，
由题意可得：，，
点坐标为，
故答案为：；
由题意可得：，，
解得：或，或，
的值或，的值为或；
由题意可得点，
点在长方形的内部，
，，
解得：或，
的取值范围为或． 

【解析】由“控变点”的定义可求解；
由“控变点”的定义列出方程可求解；
由“控变点”的定义列出不等式可求解．
本题是四边形综合题，考查了长方形的性质，掌握“控变点”的定义是解题的关键．