2021-2022学年内蒙古乌兰察布市高二（上）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

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2021-2022学年内蒙古乌兰察布市高二（上）期末数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 命题“若，则”的逆否命题是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3. 椭圆的焦点坐标为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 方程所表示的曲线为(    )

A. 射线
B. 直线
C. 射线或直线
D. 无法确定

5. 双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点到的距离为，则点到的距离为(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

6. 命题：有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. 或 D.

7. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴端点为焦点，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，椭圆的右焦点为，过作轴的垂线与在第一象限的交点为，点关于坐标原点的对称点为，且，则的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知命题：若，则，那么命题的否命题为______．
14. 抛物线上的一点到其焦点的距离 ______ ．
15. 已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为______．
16. 四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥的体积为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知命题：；：
    若“”为真命题，求实数的取值范围；
    若“”为真命题，求实数的取值范围．
18. 如图，已知矩形所在平面外一点，平面，、分别是、的中点．
    
    求证：共面；
    求证：．
19. 已知双曲线：的离心率为，实轴长为．
    求双曲线的焦点到渐近线的距离；
    若直线被双曲线截得的弦长为，求的值．
20. 设命题：实数满足，或，命题：实数满足其中
    Ⅰ若，且为真命题，求实数的取值范围；
    Ⅱ若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
21. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，且．
    求抛物线的方程；
    过点且斜率为的直线与交于，两点，，求直线的方程．
22. 在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是，离心率为．
    求椭圆的标准方程；
    斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
进行向量坐标的加法和数乘运算即可．
本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”．
故选：．
根据逆否命题的定义，逐一判断即可．
本题考查了逆否命题的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：椭圆的标准方程为：，
可得，，，
所以椭圆的焦点坐标，．
故选：．
化简椭圆方程为标准方程，然后求解，，推出即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意方程，可得或，即或，
故原方程表示的是射线或直线．
故选：．
对方程进行讨论可得曲线的轨迹．
本题考查曲线与方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点到的距离为，
由双曲线定义可知，解得或舍去，所以点到的距离为．
故选：．
利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案．
本题考查命题的真题，考查一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题．
【解答】
解：是假命题，则是真命题，有实数根，
当时，方程为，解得，有根，符合题意；
当时，方程有根，等价于，，
综上所述，的可能取值为或．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
根据已知条件，求出抛物线的焦点坐标，求出点的坐标，即可求解三角形的面积．
【解答】
解：由抛物线的焦点是，
根据对称性可知，，点的位置有两个，点，
的面积为：．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
又，
，
，
，
故选：．
由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得．
本题考查了平面向量数量积的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：椭圆的焦点在轴上，故设双曲线方程为．
则，，，
双曲线方程为：．
故选：．
先求出椭圆的焦点与顶点即所求双曲线的顶点与焦点可知且焦点位置确定，即可求解双曲线的方程．
本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线的性质，正确找出题中的相关量．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间向量的线性运算，是基础题．
利用空间向量的线性运算法则求解．

【解答】

解：

，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由题意设椭圆的方程为，左焦点为，连接，，
由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，
由得，
又，设，则，
又，解得或舍去，
又由，
解得，
则的方程为故选：．
连结，，设，则，由可求出，进而可求出，，，得出椭圆方程．
本题考查了椭圆的标准方程以及简单几何性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，根据二次函数知识求解最值，属中档题．
由点在直线上可得存在实数使得，由点在直线上可得，则由向量的数量积的坐标表示可得，根据二次函数的性质可求，取得最小值时的，进而可求．
【解答】
解：由点在直线上可得存在实数使得，则有，
，，
当 ，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时，
故选C．  

13.【答案】若，则 

【解析】解：命题：若，则，那么命题的否命题为若，则，
故答案为：若，则
如果命题：“若，则”，那么的否命题是：“若非，则非”，依此规律即可得到本题的答案．
本题给出命题，求它的否命题，着重考查了四种命题及其表示的知识，属于基础题．解题时应注意：含有逻辑词“且”的条件，否定时须改逻辑词为“或”．
 

14.【答案】 

【解析】解：为抛物线：一点，
即有，，
抛物线的方程为，
焦点为，
即有．
故答案为：．
代入的坐标，求得，求出抛物线的焦点坐标，由两点的距离公式计算即可得到．
本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：双曲线的焦点在轴上，由且，两式联立解得，，
所以所求双曲线的标准方程为．
故答案为：．
利用双曲线的焦距以及渐近线方程，求解，，然后求解双曲线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，，
所以底面，
又，，，
，又，
四棱锥的体积为．
故答案为：．
根据空间向量垂直的性质，锥体的体积公式即可求解．
本题考查空间向量垂直的性质，锥体的体积公式，属基础题．
 

17.【答案】解：若为真，则，所以，则；若为真，则，有，解可得；
若“”为真，
则、为至少有一个为真，
即和中至少有一个成立，取其并集可得，
此时的取值范围是；
若“”为真，
则且同时为真，
即和同时成立，取其交集可得，
此时的取值范围是． 

【解析】根据题意，首先求得为真与为真时，的取值范围，
若“”为真命题，则、为至少有一个为真，对求得的的范围求并集可得答案；
若“”为真命题，则、同时为真，对求得的的范围求交集可得答案．
本题考查复合命题真假的判断，要牢记复合命题真假的判读方法．
 

18.【答案】证明：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，

设，，，
则：，，，
，，
为的中点，为的中点，
，，
，，，
，
共面．
，，
，
，
． 

【解析】本题考查三个空间向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是基础题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，，，求出，，，从而，由此能证明共面；
求出，，由，能证明．
 

19.【答案】解：双曲线的离心率为，实轴长为，
，，
解得，，
，
所求双曲线的方程，
取，渐近线方程为
所以焦点到渐近线的距离为．
设，，
联立，消得，，
，，
，
，
解得， 

【解析】由离心率及的值，求出的值，可得双曲线的方程，再由焦点到渐近线的距离为，即可得．
联立直线与双曲线方程，再利用弦长公式即可得值．
本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ当命题：，
命题：或：，
又为真命题，满足，
，
实数的取值范围；
Ⅱ由题意得：命题：；
是的充分不必要条件，
，
，
实数的取值范围． 

【解析】Ⅰ把代入命题，可得的取值范围是，再根据为真命题，即可求出
Ⅱ是的充分不必要条，可得，解得即可．
本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：抛物线的焦点为，
可得抛物线的方程为，
设，由，可得，
即，所以，
又，所以，解得，
所以抛物线的方程为；
由抛物线的方程，可得，
设直线的方程为，
与抛物线的方程联立，可得，
设，的横坐标分别为，，则，
所以，
由题意可得，解得，
所以直线的方程为或． 

【解析】设抛物线的方程为，设，由抛物线的定义，解方程可得的坐标，再由三角形的面积公式计算，进而得到抛物线的方程；
设直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得，进而得到直线的方程．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意，，解得．
椭圆的标准方程为；
椭圆的右焦点为，则直线的方程为，
联立，得．
设，，则，．
，．
，，

． 

【解析】由已知列关于，，的方程组，求得与的值，则椭圆方程可求；
写出直线的方程，与椭圆方程联立，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系结合数量积运算求解的值．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．