2022年内蒙古翁牛特旗中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）

A．10 B．14 C．10或14 D．8或10

2．下列二次根式，最简二次根式是(   )

A． B． C． D．

3．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（　　）

A．48° B．40° C．30° D．24°

4．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是.（　　）

A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4

5．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（　　）

A． B． C． D．3

6．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十

．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

7．若a与﹣3互为倒数，则a=（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．-

8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

9．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　）

A．5 B． C． D．

10．下列各组数中，互为相反数的是（　　）

A．﹣1与（﹣1）2 B．（﹣1）2与1 C．2与 D．2与|﹣2|

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．函数y＝中，自变量x的取值范围是             

12．某种水果的售价为每千克a元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回               元（用含a的代数式表示）．

13．因式分解：9a2﹣12a+4＝______．

14．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.

15．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球_____个．

16．分解因式：__________．

17．一艘货轮以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．

（1）求∠EAD的余切值；

（2）求的值．

19．（5分）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=1．

20．（8分） “垃圾不落地，城市更美丽”．某中学为了了解七年级学生对这一倡议的落实情况，学校安排政教处在七年级学生中随机抽取了部分学生，并针对学生“是否随手丢垃圾”这一情况进行了问卷调查，统计结果为：A为从不随手丢垃圾；B为偶尔随手丢垃圾；C为经常随手丢垃圾三项．要求每位被调查的学生必须从以上三项中选一项且只能选一项．现将调查结果绘制成以下来不辜负不完整的统计图．

请你根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；

(2)所抽取学生“是否随手丢垃圾”情况的众数是　   　；

(3)若该校七年级共有1500名学生，请你估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有多少人？谈谈你的看法？

21．（10分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图的方法，求下列事件的概率：两次取出小球上的数字相同；两次取出小球上的数字之和大于1．

22．（10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题：

（1）本次抽取的学生人数是 ______ ；扇形统计图中的圆心角α等于 ______ ；补全统计直方图；

（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．

23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．

①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；

②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．

24．（14分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根．求 k 的取值范围；写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

试题分析： ∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，

∴22﹣4m+3m=0，m=4，

∴x2﹣8x+12=0，

解得x1=2，x2=1．

①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2； 

②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形． 

所以它的周长是2．

考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

2、C

【解析】
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【详解】

A、被开方数含开的尽的因数，故A不符合题意；

B、被开方数含分母，故B不符合题意；

C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；

D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意.

故选C．

【点睛】

本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

3、D

【解析】

解：∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°．∵CF=EF，∴∠C=∠E．∵∠1=∠C+∠E，∴∠C=∠1=×48°=24°．故选D．

点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

4、B

【解析】

试题分析：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3；原来的方差：；新的方差：，故选B.

考点： 平均数；方差.

5、B

【解析】
根据勾股定理和三角函数即可解答.

【详解】

解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，

设a=x,则c=3x,b==2x.

即tanA==.

故选B.

【点睛】

本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.

6、A

【解析】
设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】

解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，

依题意，得：．

故选A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

7、D

【解析】

试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1，

∴a=，

故选C.

考点：倒数．

8、C

【解析】

试题分析：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．

考点：1矩形；2平行线的性质.

9、C

【解析】
先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

【详解】

∵AB=6，BC=8，

∴AC=10（勾股定理）；

∴AO=AC=5，

∵EO⊥AC，

∴∠AOE=∠ADC=90°，

∵∠EAO=∠CAD，

∴△AEO∽△ACD，

∴，

即 ，

解得，AE=，

∴DE=8﹣=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．

10、A

【解析】
根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可.

【详解】

解：A、（﹣1）2＝1，1与﹣1 互为相反数，正确；

B、（﹣1）2＝1，故错误；

C、2与互为倒数，故错误；

D、2＝|﹣2|，故错误；

故选：A．

【点睛】

本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、x≥0且x≠1

【解析】

试题分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得答案．

试题解析：根据题意可得x-1≠0；

解得x≠1；

故答案为x≠1．

考点: 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

12、（50-3a）.

【解析】

试题解析：∵购买这种售价是每千克a元的水果3千克需3a元，

∴根据题意，应找回（50-3a）元．

考点：列代数式.

13、（3a﹣1）1

【解析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．

【详解】

9a1-11a+4=（3a-1）1．

故答案是：（3a﹣1）1.

【点睛】

考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

14、2

【解析】

分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．

详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=1，

∵3＜第三边的边长＜9，

∴第三边的边长为1．

∴这个三角形的周长是3+6+1=2．

故答案为2．

点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

15、8

【解析】

试题分析：设红球有x个，根据概率公式可得，解得：x＝8.

考点：概率.

16、3（m-1）2

【解析】

试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可，即3m2-6m+3=3（m2-2m+1）=3（m-1）2.

故答案为：3（m-1）2

点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.

17、1

【解析】
作CE⊥AB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．

【详解】

作CE⊥AB于E，

1km/h×30分钟=9km，

∴AC=9km，

∵∠CAB=45°，

∴CE=AC•sin45°=9km，

∵灯塔B在它的南偏东15°方向，

∴∠NCB=75°，∠CAB=45°，

∴∠B=30°，

∴BC==＝1km，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）∠EAD的余切值为；（2）=.

【解析】
（1）在Rt△ADB中，根据AB=13，cos∠BAC=，求出AD的长，由勾股定理求出BD的长，进而可求出DE的长，然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可；

（2）过D作DG∥AF交BC于G，由平行线分线段成比例定理可得CD：AD=CG：FG=3:5，从而可设CD=3x，AD=5x，再由EF∥DG，BE=ED， 可知BF=FG=5x，然后可求BF：CF的值.

【详解】

（1）∵BD⊥AC，

∴∠ADE=90°，

Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC=，

∴AD=5，  由勾股定理得：BD=12，

∵E是BD的中点，

 ∴ED=6，

 ∴∠EAD的余切==；

（2）过D作DG∥AF交BC于G，

∵AC=8，AD=5，  ∴CD=3，

∵DG∥AF，

 ∴=，

设CD=3x，AD=5x，

∵EF∥DG，BE=ED， 

∴BF=FG=5x，

∴==.

【点睛】

本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.

19、x1=，x2=

【解析】

试题分析：方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

试题解析：解：方程化为，，，．

＞1．

．

即，．

20、 (1)补全图形见解析；(2)B；(3)估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有75人，就该年级经常随手丢垃圾的学生人数看出仍需要加强公共卫生教育、宣传和监督．

【解析】
（1）根据被调查的总人数求出C情况的人数与B情况人数所占比例即可；

（2）根据众数的定义求解即可；

（3）该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生=总人数×C情况的比值.

【详解】

(1)∵被调查的总人数为60÷30%=200人，

∴C情况的人数为200﹣（60+130）=10人，B情况人数所占比例为×100%=65%，

补全图形如下：

(2)由条形图知，B情况出现次数最多，

所以众数为B，

故答案为B．

(3)1500×5%=75，

答：估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有75人，就该年级经常随手丢垃圾的学生人数看出仍需要加强公共卫生教育、宣传和监督．

【点睛】

本题考查了众数与扇形统计图与条形统计图，解题的关键是熟练的掌握众数与扇形统计图与条形统计图的相关知识点.

21、（1）；（2）．

【解析】
根据列表法或树状图看出所有可能出现的结果共有多少种，再求出两次取出小球上的数字相同的结果有多少种，根据概率公式求出该事件的概率．

【详解】

（1）P（两数相同）=．

（2）P（两数和大于1）=．

【点睛】

本题考查了利用列表法、画树状图法求等可能事件的概率．

22、（1）30；；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可；

（2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可．

解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°，

答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°；

故答案为30，144°；

补全统计图如图所示：

（2）根据题意列表如下：

设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，

记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，

∴．

考点：列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率．

23、（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.

【解析】
（1）应用待定系数法问题可解；

（2）①通过分类讨论研究△APQ和△CDO全等

②由已知求点D坐标，证明DN∥BC，从而得到DN为中线，问题可解．

【详解】

（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得： ，

∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；

（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，

当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，

∴tan∠QAP=tan∠DCO，

，

∴，

∴OD=，

∴点D坐标为（-，0）.

由对称性，当点D坐标为（，0）时，

由点B坐标为（4，0），

此时点D（，0）在线段OB上满足条件．

②∵OC=3，OB=4，

∴BC=5，

∵∠DCB=∠CDB，

∴BD=BC=5，

∴OD=BD-OB=1，

则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，

连DN，CM，

则DN=DM，∠NDC=∠MDC，

∴∠NDC=∠DCB，

∴DN∥BC，

∴，

则点N为AC中点．

∴DN时△ABC的中位线，

∵DN=DM=BC=，

∴OM=DM-OD=

∴点M（，0）

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合．

24、方程的根

【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；

（1）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．

【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程x1﹣1（k﹣a）x+k（k+1）=0有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣1（k﹣1）]1﹣4k（k﹣1）=﹣16k+4＞0，

解得：k＜ ．

（1）当k=0时，原方程为x1+1x=x（x+1）=0，

解得：x1=0，x1=﹣1．

∴当k=0时，方程的根为0和﹣1．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（1）取k=0，再利用分解因式法解方程．