2022年山东省聊城二中重点中学中考数学最后一模试卷含解析

这是一份2022年山东省聊城二中重点中学中考数学最后一模试卷含解析，共23页。试卷主要包含了如图，已知，用尺规作图作等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．
2．已知点，与点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°
4．小亮家与姥姥家相距24 km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是(　　)

A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/h
B．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家
C．妈妈在距家12 km处追上小亮
D．9：30妈妈追上小亮
5．已知二次函数y＝ax1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b1﹣4ac＝0；③a＞1；④ax1+bx+c＝﹣1的根为x1＝x1＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y1）为函数图象上的两点，则y1＞y1．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．3 C．4 D．5
6．如图，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随运动时间变化而变化的函数关系图象，则矩形的面积为（ ）

A． B． C． D．
7．小丽只带2元和5元的两种面额的钞票（数量足够多），她要买27元的商品，而商店不找零钱，要她刚好付27元，她的付款方式有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知，用尺规作图作．第一步的作法以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，第二步的作法是（ ）

A．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点
B．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点
C．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点
D．以点为圆心，长为半径画弧，与第1步所画的弧相交于点
9．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
10．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作是△DEF经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程____.

12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．

13．如果两圆的半径之比为，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是__________.
14．在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数 (x＞0)的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将 (x＞0)的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A′，B点的对应点为B′．此时点B′的坐标是_____．
15．不等式组的最小整数解是_____．
16．将直线y=x沿y轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为_________，这两条直线间的距离为_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
求抛物线的解析式；抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
18．（8分）楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

19．（8分）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数 （x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．求m的值；若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．

20．（8分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若AB=5，AG=2，求EB的长．

21．（8分）如图,在平面直角坐标系中,四边形的顶点是坐标原点，点在第一象限,点在第四象限,点在轴的正半轴上，且.
(1)求点和点的坐标;
(2)点是线段上的一个动点(点不与点重合) ,以每秒个单位的速度由点向点运动，过点的直线与轴平行,直线交边或边于点,交边或边于点,设点.运动时间为,线段的长度为,已知时,直线恰好过点 .
①当时,求关于的函数关系式;
②点出发时点也从点出发,以每秒个单位的速度向点运动，点停止时点也停止.设的面积为 ,求与的函数关系式;
③直接写出②中的最大值是 .

22．（10分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

23．（12分）先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数.
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】
∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
故选D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
2、C
【解析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
解：点，与点关于轴对称的点的坐标是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3、D
【解析】
分析：依据AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．
详解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
故选D．

点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4、D
【解析】
根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．
【详解】
解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，
∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；
B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），
∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；
C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，
∴小亮走的路程为：1×12=12km，
∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；
D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；
故选D．
【点睛】
本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.
5、D
【解析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：，
∴，
由抛物线与轴的交点可知：，
∴，
∴，故①正确；
②抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，故②正确；
③令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④由图象可知：令，
即的解为,
∴的根为，故④正确；
⑤∵，
∴，故⑤正确；
故选D．
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
6、C
【解析】
由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,根据矩形的面积公式可求出．
【详解】
由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,
∴矩形的面积为4×8=32,
故选:C.
【点睛】
本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解△ABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型．
7、C
【解析】
分析：先根据题意列出二元一次方程，再根据x，y都是非负整数可求得x，y的值．
详解：解：设2元的共有x张，5元的共有y张，
由题意，2x+5y=27
∴x=（27-5y）
∵x，y是非负整数，
∴或或，
∴付款的方式共有3种．
故选C.
点睛：本题考查二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再根据实际意义求解．
8、D
【解析】
根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．
【详解】
解：用尺规作图作∠AOC=2∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点F为圆心，EF长为半径画弧．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．
9、A
【解析】
根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】
该几何体的俯视图是：．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
10、C
【解析】
根据直角三角形两锐角互余即可解决问题.
【详解】
解：∵直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角的度数=90°﹣45°=45°，
故选C．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、先以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，再将得到的三角形沿x轴翻折.
【解析】
根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△DEF得到△ABC的过程.
【详解】
由题可得，由△DEF得到△ABC的过程为：
先以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，再将得到的三角形沿x轴翻折.（答案不唯一）
故答案为：先以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，再将得到的三角形沿x轴翻折.
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小.
12、5.
【解析】
试题解析：过E作EM⊥AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE==5.
考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．
13、.
【解析】
先根据比例式设两圆半径分别为，根据内切时圆心距列出等式求出半径，然后利用相交时圆心距与半径的关系求解.
【详解】
解：设两圆半径分别为，
由题意，得3x-2x=3，解得，
则两圆半径分别为，
所以当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是，
即，
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，熟练掌握圆心距与圆位置关系的数量关系是解决本题的关键.
14、（1，-4）
【解析】
利用旋转的性质即可解决问题.
【详解】
如图，

由题意A（1，4），B（4，1），A根据旋转的性质可知′（4，-1），B′（1，-4）；
所以，B′（1，-4）；
故答案为（1，-4）.
【点睛】
本题考查反比例函数的旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15、-1
【解析】
分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
详解： .
∵解不等式①得：x＞-3，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为-3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是-1，
故答案为：-1．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
16、y=x+1
【解析】
已知直线 y=x 沿y 轴向上平移1 个单位长度，根据一次函数图象的平移规律即可求得平移后的解析式为y=x+1．再利用等面积法求得这两条直线间的距离即可．
【详解】
∵直线 y=x 沿y轴向上平移1个单位长度，
∴所得直线的函数关系式为：y=x+1．
∴A（0，1），B（1，0），
∴AB=1，
过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，

则AB•OF=OA•OB，
∴OF=，
即这两条直线间的距离为．
故答案为y=x+1，．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时 k 不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为 y=kx+b+m．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
【解析】
（1）将A（3，0），C（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长．
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．
【详解】
解：（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，）．
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM为直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
18、（39+9）米．
【解析】
过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
【详解】
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵=tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF=CE=10米，CF=10米，
∴BH=EF=10米， HE=BF=BC+CF=（25+10）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．
答：楼房AB的高为（35+10）米．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题；坡度坡角问题，掌握概念正确计算是本题的解题关键．
19、（1）-6；（2）．
【解析】
（1）由点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上可得﹣2n=3﹣3n，即可得出答案；
（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC．延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得DE=FE=4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．
【详解】
解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴，解得：；
（2）由（1）知反比例函数解析式为，∵n=3，∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），
如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，
在△DBE和△FBE中，∵∠DBE=∠FBE，BE=BE，∠BED=∠BEF=90°，
∴△DBE≌△FBE（ASA），∴DE=FE=4，
∴点F（2，1），将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y=kx+b，
∴，解得：，
∴．

【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是能借助全等三角形确定一些相关线段的长．
20、（1）证明见解析；（2） ；
【解析】
（1）根据正方形的性质得到∠GAD=∠EAB，证明△GAD≌△EAB，根据全等三角形的性质证明；（2）根据正方形的性质得到BD⊥AC，AC=BD=5，根据勾股定理计算即可．
【详解】
（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
在△GAD和△EAB中，，
∴△GAD≌△EAB，
∴EB=GD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AB=5，
∴BD⊥AC，AC=BD=5，
∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=，
∵AG=2 ，
∴OG=OA+AG=，
由勾股定理得，GD==，
∴EB=．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线相等、垂直且互相平分是解题的关键．
21、（1）；（2）①；②当时，；
当时, ；当时, ；③.
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）首先求出直线OA、AB、OC、BC的解析式．①求出R、Q的坐标,利用两点间距离公式即可解决问题；②分三种情形分别求解即可解决问题；③利用②中的函数，利用配方法求出最值即可；
【详解】
解:(1)由题意是等腰直角三角形，


(2) ,
线直的解析式为，直线的解析式
时,直线恰好过点.
,
直线的解析式为,直线的解析式为
①当时，，

②当时，
当时,
当时,
③当时,
，
时, 的最大值为.
当时，
.
时, 的值最大,最大值为.
当时，，
时, 的最大值为，
综上所述,最大值为
故答案为.

【点睛】
本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．
22、（1） （2），，144元
【解析】
（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】
（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
23、1
【解析】
试题分析：先进行分式的除法运算，再进行分式的加减法运算，根据三角形三边的关系确定出a的值，然后代入进行计算即可.
试题解析：原式= ，
∵a与2、3构成△ABC的三边，
∴3−2