2022年上海市徐汇区田林第二中学中考数学模拟试题含解析

这是一份2022年上海市徐汇区田林第二中学中考数学模拟试题含解析，共20页。试卷主要包含了如图，点A，B在双曲线y=，下列图形是轴对称图形的有等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．已知方程组，那么x+y的值（　　）
A．-1 B．1 C．0 D．5
2．若|a|=﹣a，则a为（　　）
A．a是负数 B．a是正数 C．a=0 D．负数或零
3．如图，△ABC的面积为12，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长可能是（　　）

A．3 B．5 C．6 D．10
4．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)，以下是甲、乙两同学的作业：

甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；
②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求(如图1)．
乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；
②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求(如图2)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．甲乙都对 B．甲乙都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，已对
5．2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（　　）
A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×102
6．据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示，
尺码（码）
34
35
36
37
38
人数
2
5
10
2
1
则鞋子尺码的众数和中位数分别是( )
A．35码，35码 B．35码，36码 C．36码，35码 D．36码，36码
7．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（　　）

A． B．2 C．4 D．3
8．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%，现售价为a元，则原售价为（　　）
A．（a﹣20%）元 B．（a+20%）元 C．a元 D． a元
9．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（ ）

A． B． C． D．
10．下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则a的取值范围是_____．

12．不等式组的解集是__________．
13．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是____．

14．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么不等式kx+b＜0的解集是_____．

15．如图， AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．

16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝_____°．

17．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）（1）计算：
（2）化简：
19．（5分）已知.
（1）化简A；
（2）如果a,b 是方程的两个根，求A的值．
20．（8分）解不等式组：，并求出该不等式组所有整数解的和．
21．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．
22．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．求证：CG是⊙O的切线．求证：AF＝CF．若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的长．

23．（12分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.1°，∠PBA=26.1．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.1°=0.62，cos38.1°=0.78，tan38.1°=0.80，sin26.1°=0.41，cos26.1°=0.89，tan26.1°=0.10）

24．（14分）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90o，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A=∠PDB．

（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AB=4，DA=DP，试求弧BD的长；
（3）如图②，点M是弧AB的中点，连结DM，交AB于点N．若tanA=，求的值．



参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解析】
解：，
①+②得：3(x+y)=15，
则x+y=5，
故选D
2、D
【解析】
根据绝对值的性质解答.
【详解】
解：当a≤0时，|a|=-a，
∴|a|=-a时，a为负数或零，
故选D.
【点睛】
本题考查的是绝对值的性质，①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．
3、D
【解析】
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是8，得出选项即可．
【详解】

解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
∵△ABC的面积等于12，边AC=3，
∴×AC×BN=12，
∴BN=8，
∴BM=8，
即点B到AD的最短距离是8，
∴BP的长不小于8，
即只有选项D符合，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解题关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
4、A
【解析】
（1）连接OM，OA，连接OP，作OP的垂直平分线l可得OA=MA=AP，进而得到∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，所以∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，得出MP是⊙O的切线，（1）直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，所以∠OMP=90°，得到MP是⊙O的切线．
【详解】
证明：（1）如图1，连接OM，OA．
∵连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A，∴OA=AP．
∵以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；
∴OA=MA=AP，∴∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，∴∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，∴OM⊥MP，∴MP是⊙O的切线；
（1）如图1．
∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，∴∠OMP=90°，∴MP是⊙O的切线．
故两位同学的作法都正确．
故选A．

【点睛】
本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性．
5、B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：7600＝7.6×103，
故选B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6、D
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】
数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36，
一共有20个数据,位置处于中间的数是：36,36,所以中位数是(36+36)÷2=36.
故选D.
【点睛】
考查中位数与众数，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数是解题的关键.
7、B
【解析】
【分析】依据点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC=BC，即可得到﹣=3a﹣a，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进而得到Rt△ABC中，AB=2．
【详解】点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC=BC，
∴﹣=3a﹣a，
解得a=1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC=BC=2，
∴Rt△ABC中，AB=2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
8、C
【解析】
根据题意列出代数式，化简即可得到结果．
【详解】
根据题意得：a÷(1−20%)=a÷= a(元)，
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.
9、B
【解析】
根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面看得到的图形即可．
【详解】
解：主视图，如图所示：
．
故选B．
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图是从物体的正面看得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．
10、C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故轴对称图形有4个．
故选C．
考点：轴对称图形．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、10＜a≤10．
【解析】
根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程z2-az+=0中，最后由根的判别式求得a的取值范围．
【详解】
∵M是AB的中点，MC=MA=5，
∴△ABC为直角三角形，AB=10；
∴a=AC+BC＞AB=10；
令AC=x、BC=y．
∴，
∴xy=，
∴x、y是一元二次方程z2-az+=0的两个实根，
∴△=a2-4×≥0，即a≤10．综上所述，a的取值范围是10＜a≤10．
故答案为10＜a≤10．
【点睛】
本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．此题的综合性比较强，解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点．
12、x≥1
【解析】
分析：分别求出两个不等式的解，从而得出不等式组的解集．
详解：解不等式①可得：x≥1， 解不等式②可得：x＞－3， ∴不等式组的解为x≥1．
点睛：本题主要考查的是不等式组的解集，属于基础题型．理解不等式的性质是解决这个问题的关键．
13、1
【解析】
如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′﹣EF．
【详解】
如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，
在Rt△EDD′中，∵DE=6，DD′=1，
∴ED′==10，
∵DP=PD′，
∴PD+PF=PD′+PF，
∵EF=EA=2是定值，
∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=10﹣2=1，
∴PF+PD的最小值为1，
故答案为1．

【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.
14、x＞﹣1．
【解析】
一次函数y=kx+b的图象在x轴下方时，y＜0，再根据图象写出解集即可．
【详解】
当不等式kx+b＜0时，一次函数y=kx+b的图象在x轴下方，因此x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b（k≠0）的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b（k≠0）在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
15、18
【解析】
连接OB，
∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，
∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，
∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，
∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，
∴AB=AC+BC=18，
故答案为18.

16、1
【解析】
连接BD．根据圆周角定理可得.
【详解】
解：如图，连接BD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠DAB＝1°，
∴∠ACD＝∠B＝1°，
故答案为1．
【点睛】
考核知识点：圆周角定理.理解定义是关键.
17、或．
【解析】
由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.

过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，
∴在Rt△CFE中，，.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴，
∴在Rt△ODE中，.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.

过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∴在Rt△MFE中，，
∵∠DEO=∠EMF，
∴，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，.
综上所述，DO的长是或.
故本题应填写：或.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）；（2）-1；
【解析】
（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【详解】
（1）

=
=2-.
（2）
=
=
=
=
=-1
【点睛】
本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19、（1）；（2）-.
【解析】
（1）先通分，再根据同分母的分式相加减求出即可；
（2）根据根与系数的关系即可得出结论．
【详解】
（1）A=﹣
=
=；
（2）∵a，b 是方程的两个根，∴a+b=4，ab=－12，∴．
【点睛】
本题考查了分式的加减和根与系数的关系，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．
20、1
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解:，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤3，
所以所有整数解的和为：﹣1+0+1+2+3=1．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21、y=2x2+x﹣3，C点坐标为（﹣，0）或（2，7）
【解析】
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入可求出解析式，进而求出点C的坐标即可.
【详解】
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3，
把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，
∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
22、（1）见解析；（2）见解析；（3）AG＝1．
【解析】
（1）利用垂径定理、平行的性质，得出OC⊥CG，得证CG是⊙O的切线.
（2）利用直径所对圆周角为和垂直的条件得出∠2=∠B，再根据等弧所对的圆周角相等得出∠1=∠B，进而证得∠1=∠2，得证AF=CF.
（3）根据直角三角形的性质，求出AD的长度，再利用平行的性质计算出结果.
【详解】
（1）证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2+∠BCD＝90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠2，
∵C是劣弧AE的中点，
∴,
∴∠1＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴AF＝CF；
（3）解：∵CG∥AE，
∴∠FAD＝∠G，
∵sinG＝0.6，
∴sin∠FAD＝＝0.6，
∵∠CDA＝90°，AF＝CF＝4，
∴DF＝2.4，
∴AD＝3.2，
∴CD＝CF+DF＝6.4，
∵AF∥CG，
∴,
∴
∴DG＝，
∴AG＝DG﹣AD＝1．

【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,掌握切线的判定定理以及解直角三角形是解题的关键.
23、49.2米
【解析】
设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．
【详解】
解：设PD=x米，
∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°．
在Rt△PAD中，，∴．
在Rt△PBD中，，∴．
又∵AB=80.0米，∴，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米．
∴DB=2x=49.2米．
答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．
24、（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）连结OD；由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圆上，于是得到结论；
（2）设∠A=x，则∠A=∠P=x，∠DBA=2x，在△ABD中，根据∠A+∠ABD=90o列方程求出x的值，进而可得到∠DOB=60o，然后根据弧长公式计算即可；
（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，然后证明△OMN∽△FDN，根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】
（1）连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90o，
∠A+∠ABD=90o，又∵OA=OB=OD，∴∠BDO=∠ABD，
又∵∠A=∠PDB，∴∠PDB+∠BDO=90o，即∠PDO=90o，
且D在圆上，∴PD是⊙O的切线．
（2）设∠A=x，
∵DA=DP，∴∠A=∠P=x，∴∠DBA=∠P+∠BDP=x+x=2x，
在△ABD中，
∠A+∠ABD=90o，x=2x=90o，即x=30o，
∴∠DOB=60o，∴弧BD长．

（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，∵点M是的中点，
∴OM⊥AB，设BD=x，则AD=2x，AB==2OM，即OM=，
在Rt△BDF中，DF=，
由△OMN∽△FDN得．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定与性质.熟练掌握切线的判定方法是解（1）的关键，求出∠A=30o是解（2）的关键，证明△OMN∽△FDN是解（3）的关键.