2021-2022学年北京市延庆区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市延庆区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形

2. 下列曲线中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各点中，在直线上的点是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近次训练成绩单位：的平均数与方差：

要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 菱形和矩形都具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线长度相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角

8. 某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 函数中自变量的取值范围是______．
10. 方程的解为______．
11. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为______．

12. 如图，，两点被池塘隔开，在直线外选一点，连接和分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______
13. 请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式______．
14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
15. 如果点与点都在直线上，那么 ______填“”、“”或“”．
16. 平面直角坐标系中，直线与相交于点，
    下列结论中正确的是______填写序号．
    关于，的方程组的解是；
    关于的不等式的解集是；
    ．

三、解答题（本大题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，四边形是平行四边形，于，于求证：．

19. 本小题分
    阅读下面材料：
    在数学课上，老师提出如下问题：

小明的思考过程是：

小明的作法如下：

请你根据小明同学设计的尺规作图过程：
使用直尺和圆规，依作法在图中补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明：
证明：直线是的垂直平分线，
．
，
四边形是平行四边形______填推理的依据．
，
四边形是矩形______填推理的依据．
参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图中完成．
温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明
 

20. 本小题分
    已知一次函数的图象经过点和点，与轴交于点．
    求这个一次函数的表达式；
    在坐标系中画出该一次函数的图象；
    求的面积．

21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    如果该方程有两个相等的实数根，求的值；
    如果该方程有一个根小于，求的取值范围．
22. 本小题分
    如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙墙的长度不限，另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为平方米，篱笆长米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？

23. 本小题分
    某通信公司推出，，三种上网收费方式，每月收取的费用，，与月上网时间的对应关系如图所示．
    对于上网方式，若月上网时间在小时以内，月收费为______元；
    如果月上网时间超过小时且不足小时，选择______方式最省钱？
    对于上网方式，若月上网时间超过小时，超出的时间每小时收费______元；
    根据图象，写出一个其他的推断．

24. 本小题分
    如图，在矩形中，，相交于点，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，求四边形的面积．

25. 本小题分
    年月日晚，北京冬奥会圆满落幕．伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰雪运动、了解冬奥知识的热潮．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校进行了相关测试，获得了他们的成绩单位：分，并随机抽取了名学生的成绩，对数据成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息：
    名学生的测试分数百分制如下：
    
    按如下分组整理、描述样本数据：

请根据以上信息，解答下列问题：
在频数分布表中，______，______；
补全频数分布直方图；
该校有名学生，请你估计该校学生成绩不低于分的人数．

26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线与平行，且过点，过点作轴的垂线，垂足为点．
    求，的值；
    点在轴上，点，四边形是矩形．
    如果矩形的面积小于，求的取值范围；
    直线与直线交于点，，直接写出点的坐标．
27. 本小题分
    如图，四边形是正方形，点是边上的点，连接，，过点作，垂足为，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点．
    依题意补全图形；
    用含的式子表示；
    直接写出的度数；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28. 本小题分
    在平面直角坐标系中，对于直线：与图形给出如下定义：若直线与图形有两个交点，，则线段的长度称为直线关于图形的“截距”如图，矩形的其中三个顶点的坐标为，，．
    点的坐标是______；
    直线关于矩形的“截距”是______；直线关于矩形的“截距”是，求的值．
    如果直线经过点，且关于矩形的“截距”的最小值是，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案．
【解答】
解：、平行四边形是中心对称图形，故A选项错误；
B、矩形是中心对称图形，故B选项错误；
C、菱形是中心对称图形，故C选项错误；
D、等边三角形不是中心对称图形，故D选项正确；
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
D、能表示是的函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据函数的定义解答即可．
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
 

3.【答案】 

【解析】解：、在第四象限，故本选项符合题意；
B、在第二象限，故本选项不符合题意；
C、在轴上，故本选项不符合题意；
D、在轴上，故本选项不符合题意．
故选：．
根据第四象限内点的坐标特点解答．
本题主要考查点的坐标．解题的关键是明确平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，
点不在直线上，选项A不符合题意；
B.当时，，
点在直线上，选项B符合题意；
C.当时，，
点不在直线上，选项C不符合题意；
D.当时，，
点不在直线上，选项D不符合题意．
故选：．
代入各选项中点的横坐标求出纵坐标，比较后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设所求多边形的边数为，根据题意得：
，
解得．
故选：．
根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：乙，丙的平均数较大，
从乙和丙中选择一人参加比赛，
，
选择丙参赛，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形对角线互相平分的性质，
选项A符合题意；
矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，
选项B不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，
选项C不符合题意；
菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，
选项D不符合题意；
故选：．
利用矩形的性质和菱形的性质对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，
依题意，得：．
故选：．
设年平均增长率为，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

10.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
或．
故答案为：，．
把方程的左边分解因式得，得到或，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
，
平分，
，
，
，
故答案是：．
由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，求出的长是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小．
直接根据正比例函数的性质求解．
【解答】
解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
可取，
此时正比例函数解析式为．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点与点都在直线上，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线与相交于点，
关于，的方程组的解是，故的结论正确；
由图知：当时，函数对应的点都在函数下方，因此关于的不等式的解集是，故的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此，故的结论不正确；
故答案为：．
结合一次函数的性质、一次函数与方程组、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．
本题考查了一次函数与方程组，一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
 

17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，． 

【解析】利用因式分解法解方程；
先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
于，于，
．
在与中，
．
≌．
． 

【解析】证线段所在的三角形全等．根据“”可证≌或≌．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，属于基础题，关键是利用全等的知识证明线段的相等，这是经常用到的，同学们要注意掌握．
 

19.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形  有一个角是直角的平行四边形是矩形 

【解析】解：补全图形如图所示；
证明：直线是的垂直平分线，
，
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
如图，四边形为矩形，
依据：有三个角是直角的四边形是矩形．
根据线段垂直平分线的作法作出图形；
根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答；
根据线段垂直平分线的作法、有三个角是直角的四边形是矩形作图．
本题考查的是矩形的概念和判定，基本尺规作图，掌握矩形的判定定理、正确进行基本尺规作图是解题的关键．
 

20.【答案】解：一次函数的图象经过点和点，
，解得，
一次函数的表达式为；
该一次函数的图象如图：

令，则，
，
，
的面积． 

【解析】利用待定系数法求得即可；
利用、两点画出函数图象即可；
先求得的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得，
解得，
即的值为；
，
所以，，
该方程有一个根小于，
，
解得，
的取值范围为． 

【解析】根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可；
利用公式法解方程得到，，则，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

22.【答案】解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
．
答：矩形花圃的长为米，宽为米． 

【解析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出矩形花圃的宽，再将其代入中即可求出矩形花圃的长．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：对于上网方式，若月上网时间在小时以内，月收费为元，
故答案为：；
如果月上网时间超过小时且不足小时，选择方式最省钱，
故答案为：；
对于上网方式，若月上网时间超过小时，超出的时间每小时收费为：元，
故答案为：；
当上网时间超过分钟时，选择方式最省钱．答案不唯一．
根据上网方式的图象判断即可；
比较月上网时间超过小时且不足小时，三种上网方式的费用大小即可；
根据上网方式的图象列式计算即可；
根据月上网时间超过小时，三种上网方式的费用大小即可．
本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，

，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：如图，连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
． 

【解析】由，，得出四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形；
连接交于点，由菱形的性质得出，，，由，证明是等边三角形，求出，由勾股定理求出，进而，代入菱形面积公式计算，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积公式是解决问题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：，
，
故答案为：，；
补全的频数分布直方图如图所示；

人，
答：估计该校学生成绩不低于分的有人．
根据组的频率乘以总数，可以计算出的值，然后根据组的频数除以总数，即可计算出的值；
根据中的结果，即可将频数分布直方图补充完整；
根据直方图中的数据，可以计算出该校学生成绩不低于分的人数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

26.【答案】解：直线 与直线平行，
，
直线过点，
；
轴，
点，
，
点，
，
矩形的面积小于，
，
；
，，
解析式为，
直线与直线交于点，
点，
，
，
，
解得：或，
点或． 

【解析】由两直线平行可得，将点坐标代入解析式可求的值；
利用参数表示的长，由矩形的面积公式列出不等式可求解；
利用参数表示的长，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，矩形的面积公式，利用参数表示线段是解题的关键．
 

27.【答案】解：补全图形如图所示；
四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
，，
，，
；
是的外角，
；
，
证明如下：如图，延长至，使，连接，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】根据题意补全图形；
根据正方形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；
根据三角形的外角性质计算即可；
延长至，使，连接，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

28.【答案】   

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，，
，
故答案为：；
对于，当时，，
截距为，

当直线关于矩形的“截距”是，
当直线在的上方时，
当时，，
，
同理，当直线在的下方时，，
故答案为：；
如图，当时，，

将，代入直线得，
，
，
，
关于矩形的“截距”的最小值是，
，
同理，当直线过时，，
此时，
关于矩形的“截距”的最小值是，
，
综上：或．
根据矩形的性质可得点的坐标；
对于，当时，，截距为，当直线在的上方时，可知当时，，，同理，当直线在的下方时，；
首先求出截距为时，的值，再根据图象解决问题．
本题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识，找到临界状态是解决问题的关键，同时注意数形结合思想的运用．