2021-2022学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 函数中自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

3. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列多边形中，内角和等于外角和的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C. ，， D. ，，

6. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在中，，，，点是边的中点，点
   是边的中点，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中是一条折线这个容器的形状可能是下面图中的(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 计算：______．
10. 如图，在▱中，，，则的度数是______．

11. 如果一次函数的图象经过，且随的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是______写出一个即可．
12. 每年的月日是“世界读书日”，某校为了解月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级名学生读书的册数，数据整理如下：

由此估计该校八年级学生月份人均读书______册．

13. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是边，，，的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形是矩形，这个条件可以是______写出一个即可．

14. 农科院为某地选择甲、乙两种甜玉米种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．他们各用块自然条件相同的试验田进行试验，如图是试验后得到的各试验田两种种子每公顷的产量单位：，已知甲、乙两种甜玉米种子的平均产量相差不大，那么由样本估计总体，推测这个地区比较适合种植______填“甲”或“乙”种甜玉米，理由是______．

15. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”连接四条线段得到如图的新的图案，如果图中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图中阴影部分的面积为，那么的值为______．

16. 在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    已知，求代数式的值．
19. 本小题分
    已知：．
    求作：直线，使得．
    作法：如图．
    分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、点；
    作直线交于点；
    以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
    作直线．
    所以直线就是所求作的直线．
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：连接．
    ____________．
    四边形是平行四边形．______填推理的依据．
    ______填推理的依据．

20. 本小题分
    在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
    求的值；
    画出一次函数的图象；
    根据图象回答：当自变量的取值范围是______时，函数值．
21. 本小题分
    如图，在▱中，，平分交于点，交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    如果，，求四边形的面积．

22. 本小题分
    年月北京市义务教育体育与健康考核评价方案正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了名学生分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
    学生分钟跳绳次数频数分布直方图如下数据分成组：，，，：
    
    男生分钟跳绳次数在这一组的是：
    ，，，，，，，
    分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如表：

注：国家中学生体质健康标准规定：八年级男生分钟跳绳次数大于或等于个，成绩为优秀；八年级女生分钟跳绳次数大于或等于个，成绩为优秀．
根据以上信息，回答下列问题：
将女生分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整；
写出表中，的值；
此次测试中，某学生的分钟跳绳次数为个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______填“男生”或“女生”组；
如果全年级男生人数为人，女生人数为人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数．

23. 本小题分
    在“一次函数”的课题学习中，某小组从购物节期间甲、乙两家商场的促销信息中发现并提出问题，请将他们分析、解决问题的过程补充完整．

问题：在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？
分析问题：
设原价为元，则甲、乙两家商场的购物金额分别元、元，得到相应的函数解析式：
，(    )
按照表中自变量的值代入解析式计算，分别得到了，的几组对应值；

在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象；

解决问题：
根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，选择购物更省钱的方案是______．

24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象向上平移个单位长度得到．
    求这个一次函数的解析式；
    当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
25. 本小题分
    如图，在正方形中，点是直线上任意一点不与点，重合，过点作交直线于点，过点作交直线于点．
    如图，当点在线段上时，猜想与的数量关系；
    如图，当点在线段的延长线上时，补全图形，并判断中与的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
     

26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，对于点与图形给出如下定义：如果存在以点为端点的一条射线与图形有且只有个公共点，那么称点是图形的“相关点”．
    已知点，，．
    当时，
    在点，，，中，是折线的“相关点”的是______；
    点是直线上一点，如果点是折线的“相关点”，求点的横坐标的取值范围；
    正方形的各边都平行于坐标轴，对角线的交点的坐标是，如果正方形的边长是，正方形上的任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据分式的意义，分母不等于，可以求出的范围．
考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

2.【答案】 

【解析】解：众数体现数据的最多的一点，这样可以确定进货的数量，
商家更应该关注这种运动鞋尺码的众数，
故选：．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出商家最关心的数据．
此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故C符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么不符合题意．
B.四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么符合题意．
C.五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么不符合题意．
D.六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么不符合题意．
故选：．
任意多边形的外角和都等于，所以当内角和等于外角和时，内角和等于，利用公式求出多边形内角和即可．
本题主要考查多边形的内角和、外角和，熟练掌握任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、：：：：，，
，
是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不是直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则及化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
点是边的中点，
，
点是边的中点，
，
是的中位线，
，
的周长

，
故选：．
先在中，求出，的长，然后根据直角三角形斜边上的中线性质，求出的长，再利用线段中点的定义求出的长，最后根据三角形中位线定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，含度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及含度角的直角三角形性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为．
故选：．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据进行运算即可．
此题考查了二次根式的乘除法运算，属于基础题，注意掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一次函数随的增大而增大，
，
不妨设，
则，
把代入得，，
所以，．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的性质，随的增大而增大，不妨令，把经过的点代入求出的值即可．
本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足．
 

12.【答案】 

【解析】解：估计该校八年级学生月份人均读书册，
由此估计该校八年级学生月份人均读书册．
故答案为：．
先根据表格中的数据得出名学生读书的册数，然后除以即可求出平均数．
本题考查的是加权平均数的计算方法，通过样本去估计总体，总体平均数与样本平均数近似相等．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
要想四边形是矩形，
添加条件是答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
首先利用三角形中位线定理说明，，，，得，，则四边形是平行四边形，再根据矩形的判定可得答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的判定等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

14.【答案】甲  甲的产量比较稳定 

【解析】解：从图中看到，甲的波动比甲的波动小，故甲的产量比较稳定，
所以这个地区比较适合种植甲种甜玉米，理由是甲的产量比较稳定．
故答案为：甲；甲的产量比较稳定．
据从图中数据的波动情况分析．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意作出如下图，

得，，，是直角三角形，
则大正方形面积，
面积，
阴影部分的面积，
故答案为：．
利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：在等边中，为边的中线，，
，，
在平行四边形中，此时对角线长度为，

在平行四边形中，延长，过点作，交的延长线于点，

则四边形是矩形，
，，
在中，，
在平行四边形中，延长，过点作，交的延长线于点，

则四边形是矩形，
，，
在中，，
综上，在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是，
故答案为：．
根据平行四边形的判定方法作出图形，结合勾股定理分析计算．
本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握勾股定理，利用分类讨论思想解题是关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先计算开方、负整数指数幂及绝对值，再合并即可．
此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

18.【答案】解：，
．
即． 

【解析】将所求的代数式利用完全平方公式进行因式分解，然后代入求值．
本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
 

19.【答案】    对角线互相平分的四边形是平行四边形  平行四边形的对边平行 

【解析】解：如图，直线即为所求；

证明：连接．

．
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
平行四边形的对边平行，
故答案为：，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．
根据要求作出图形即可；
证明四边形是平行四边形，可得结论．
本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

20.【答案】 

【解析】解：把点代入一次函数，可得
，
解得；
由可知，一次函数的图象经过点和点，
如图所示：

观察图象，当自变量的取值范围是时，函数值．
故答案为：．
把代入一次函数，可得的值，
画出该函数的图象；
观察图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，函数与不等式的关系，正确作出图象，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为菱形；
解：四边形为菱形，
，
，
，
由可知，
，
，
又，
四边形的面积． 

【解析】由平行四边形的性质及角平分线的定义证出，则，可证出四边形是平行四边形，由菱形的判定方法可得出结论；
由菱形的性质证出，由勾股定理可求出的长，根据菱形的面积公式可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】女生 

【解析】解：女生分钟跳绳次数在这一组的频数为，
补全图形如下：

男生分钟跳绳次数的中位数为，；
因为该学生的分钟跳绳次数为个，大于女生分钟跳绳次数的中位数，
所以该生属于女生组，
故答案为：女生；


人，
答：估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为人．
女生分钟跳绳次数在这一组的频数，继而可补全图形；
根据中位数和优秀率的概念可得、的值；
根据中位数的意义判断即可；
将男、女生人数分别乘以其优秀率，再相加即可．
本题考查频数分布直方图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】时，选择甲；当时，甲、乙一样；当时，选择乙 

【解析】解：分析问题：
设原价为元，则甲、乙两家商场的购物金额分别元、元，得到相应的函数解析式：
；
当时，，
当时，．
；
由知，；
；

故答案为：，；
根据表中数据和解析式画图，如图：

解决问题：
从分析问题可知，当购买原价小于元商品时应选择甲商场购买；
当购买原价等于元商品时，甲、乙两家商场花费一样多；
当购买原价大于元商品时应选择乙商场购买．
故答案为：时，选择甲；当时，甲、乙一样；当时，选择乙．
分析问题：根据题意直接写出函数解析式；
根据中解析式直接求值即可；
根据中数据在坐标系中画出图象即可；
解决问题，根据分析问题中的数据和图象可以直接得出结论．
本题考查一次函数的应用，关键是根据相关信息列出函数解析式．
 

24.【答案】解：一次函数的图象由函数的图象向上平移个单位长度得到．
，，
这个一次函数的解析式为；
把代入，得，
把点代入，得．
当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，
的取值范围是或． 

【解析】根据平移的规律即可求得．
根据点结合一次函数的性质即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，理由如下：
正方形，
，，
过点作于，于，如图，
则，
，
四边形是矩形，
又，
和均为等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
过点作于，
则，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
，
等腰直角三角形，
；
成立，理由如下：
过点作交延长线于，交延长线于，过点作于，如图，
则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
设与交于点，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
等腰直角三角形，
，
． 

【解析】过点作于，于，如图，可证得≌，得出，过点作于，再证得≌，进而得出，再利用等腰直角三角形性质即可证得结论；
过点作交延长线于，交延长线于，过点作于，如图，可证得≌，再证得≌，进而得出等腰直角三角形，即可证得结论．
本题考查的是正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】， 

【解析】解：当时，
点，点，点，
直线的解析式为，直线的解析式为，
如图，

是折线的“相关点”的是，，
故答案为：，；
由题意可得：，
，
直线与的交点为，
由题意可得：，
，
直线与的交点为，
；
正方形的边长为，对角线的交点的坐标是，
正方形的顶点坐标分别为：，，，，
点，，，
直线解析式为，直线的解析式为，
正方形上的任意一点都是折线的“相关点”，
或，
解得：或．
的取值范围为或．
结合图形，可求解；
联立方程组，求出交点坐标，即可求解；
先求出正方形的四个顶点坐标，利用折线的“相关点”的定义列出不等式组，可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，理解新定义并运用是解题的关键．