2021-2022学年北京市顺义区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市顺义区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知离散型随机变量的分布列如表，则的数学期望等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知某居民小区附近设有，，，个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马羊吃了别人的禾苗．禾苗主人要求赔偿斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还斗粟．(    )

A.  B.  C.  D.

8. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为，若，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是(    )

A. ，
B. 一定存在极小值点
C. 若，则是函数的极小值点
D. 若，则

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

11. 已知等差数列，，，则______．
12. 某学校拟邀请位学生家长中的位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有______种．
13. 已知某品牌只卖、两种型号的产品，两种产品的比例为：，其中型号产品优秀率为，型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为______．
14. 函数的最小值为______．
15. 已知数列满足不等式其中，，对于数列给出以下四个结论：
    ；
    数列一定是递增数列；
    数列的通项公式可以是；
    数列的通项公式可以是．
    所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等．
    Ⅰ求的值；
    Ⅱ求展开式中各项系数的和；
    Ⅲ判断展开式中是否存在常数项，并说明理由．
17. 已知函数．
    Ⅰ求的单调区间；
    Ⅱ求在区间上的最值．
18. 如表为高二年级某班学生体质健康测试成绩百分制的频率分布表，已知在分数段内的学生数为人．

Ⅰ求测试成绩在分数段内的人数；
Ⅱ现从分数段内的学生中抽出人代表该班参加校级比赛，若这人都是男生的概率为，求分数段内男生的人数；
Ⅲ若在分数段内的女生有人，现从分数段内的学生中随机抽出人参加体质提升锻炼小组，记为从该组抽出的男生人数，求的分布列和数字期望．

19. 已知数列为等差数列，前项和为，数列是以为公比的等比数列，且，，．
    Ⅰ求数列，的通项公式；
    Ⅱ求数列的前项和；
    Ⅲ数列满足，记数列的前项和为，求的最小值．
20. 已知函数．
    Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
    Ⅱ若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
    Ⅲ证明：．
21. 若存在某常数或，对于一切，都有或，则称或为数列的上或下界，若数列既有上界也有下界，则称数列为“有界数列”．
    Ⅰ已知个数列的通项公式如下：；；；．
    请写出其中“有界数列”的序号；
    Ⅱ若，判断数列是否为“有界数列”，说明理由；
    Ⅲ在Ⅱ的条件下，记数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于一切，都有成立？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
运用排列数公式直接计算．
本题考查排列数公式，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：展开式中含的项为，
所以的系数为，
故选：．
根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由分布列的性质可得，，解得，
故E．
故选：．
根据已知条件，结合分布列的性质，先求出，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，求出，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象，可知的横坐标在函数的减区间上，是函数的极值点，
点的横坐标在函数的增区间上，
则
故选：．
结合函数的图象，利用函数的导数的几何意义，判断选项的正误即可．
本题考查函数导数的几何意义，函数的图象的判断，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：位居民依次选择检测点，方法数为．
故选：．
由分步计数原理计算．
本题主要考查分步计数原理，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设牛主人应偿还斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，
所以，解得：．
故选：．
牛主人应偿还斗粟，由题意列方程即可解得．
本题主要考查数列的实际应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：分别令，，，，所对应的点为，，，，，

由图可知，，
故空气中微生物密度变化的平均速度最快的是．
故选：．
根据图象，结合直线的斜率与平均变化率的定义，即可求解．
本题主要考查变化的快慢与变化率，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，，
或或或或或或或，
的最小值为．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的通项公式，推出，再结合列举法，即可求解．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项A，时，，，，选项A正确；
选项B，是函数的极大值点，方程有两个不等根，一定存在极小值点，选项B正确；
选项C，，方程有相异两根，是的极小值点，选项C正确；
选项D，，方程两根或，错误，选项D错误．
故选：．
根据极大值点概念，直接判断．
本题考查了运用导数判断函数的极值点，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：等差数列，，，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差中项的性质，即可求解．
本题主要考查等差中项的性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：甲同学家长必须参加，则还需从剩下的位家长中选位，方法数为．
故答案为：．
从剩下的四位家长中选位即可得．
本题主要考查简单的组合，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：某品牌只卖、两种型号的产品，两种产品的比例为：，
其中型号产品优秀率为，型号产品优秀率为，
根据题意，购买一件该品牌产品优秀的概率为：
．
故答案为：．
根据全概率公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值，也是最小值．
故答案为：．
先对函数求导，然后结合导数分析函数的单调性，进而可求函数的最小值．
本题主要考查了导数与单调性及极值及最值关系的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：数列满足不等式其中，，
则有其中，，
由，可得判断正确；
当时，满足，数列为常数列．
则数列不一定是递增数列．判断错误；
当时，由，可得，
即不等式成立，则数列的通项公式可以是判断正确；
当时，

则不等式成立，则数列的通项公式可以是判断正确；
故答案为：．
求得与的大小关系判断；举反例否定；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定．
本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的不等式问题等知识，属于中等题．
 

16.【答案】解：Ⅰ由题意可得展开式的第项与第项的二项式系数分别为，
则，所以，
Ⅱ令，则展开式的各项系数和为；
Ⅲ二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，
所以展开式中不存在常数项． 

【解析】Ⅰ分别求出展开式的第项与第项的二项式系数，建立方程即可求解；Ⅱ令，由此即可求解；Ⅲ求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可判断求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
当或时，，当时，，
故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
由知在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取得极小值，也是最小值，
因为，，
所以函数在上的最大值为． 

【解析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
结合中单调性分析函数的最值可求．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：高二年级某班学生共有，
，解得，
测试成绩在分数段内的人数为人．
由知在分数段内的学生有人，
设男生有人，
这人都是男生的概率为，则，解得，
故分数段内男生的人数有人．
在分数段内的学生有，
则男生有人，
的取值为，，，
故，
，
，
故的分布列为：

故E． 

【解析】根据已知条件，结合频率表的性质，以及频率与频数的关系，即可求解．
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
在分数段内的学生有，则男生有人，的取值为，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ，因为，所以，
故，
所以，故，
由题意得：，
所以，解得：或舍去，
因为，所以，
所以；
Ⅱ数列的前项和；
Ⅲ，
可以看出为递增数列，且当时，，当时，，当时，，
所以当或时，取得最小值，最小值为． 

【解析】Ⅰ根据，求出公差，从而求出通项公式，结合求出公比，得到等比数列的通项公式；
Ⅱ利用等比数列求和公式求解；Ⅲ先求出，结合的增减性和正负性求出当或时，取得最小值，求出最小值．
本题考查了数列的综合应用，属于中档题．
 

20.【答案】Ⅰ解：求导，得，又因为，，
所以曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ解：，
求导，得，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上，恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是
Ⅲ证明：令，则，
因为为增函数，且，，
所以存在，使得，即，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，得证． 

【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
Ⅱ求出，由题意可得在区间上，恒成立，参变量分类可得在区间上恒成立，令，利用导数求出的最小值，即可求解的取值范围；
Ⅲ令，利用导数求出即可得证．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
 

21.【答案】解：中随着的增大而增大，无上界；
中随着的增大而减小，且当时有最大值，且恒成立，故为有界数列；
中随着的增大而增大，无上界；
中或，为有界数列；
故有界数列的序号为．
，随着的增大而增大，且，，
故存在常数使得，常数使得，
故数列为有界数列．
，故，
若要，则，即，
因为，，
故当时，都有成立，
故若存在正整数，使，都有成立，则．
综上可得，实数的取值范围是． 

【解析】根据有界的定义，结合函数的性质逐个判断即可；
可得，再分析的单调性与最值即可；
根据题意，将转化为，再逐项计算分析当时，的取值范围即可．
本题主要考查数列中的新定义及其应用，数列单调性的应用等知识，属于中等题．