突破4.1 指数（课时训练）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.1 指数A组 基础巩固1．（2022·全国高三专题练习（文））下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案【详解】对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；对于B，当时，，而无意义，故B错误；对于C，，故C错误．对于D，．故D正确．故选：D.2．（2021·全国高一课时练习（理））计算 (n∈N*)的结果为（ ）A． B．22n＋5C．2n2－2n＋6 D． 2n－7【答案】D【分析】结合指数的运算公式化简即可求出结果.【详解】原式，故选：D.3．（2021·上海）若则x=（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解.【详解】由，得，即，所以.故选：A4．（2021·全国高一专题练习）下列一定正确的是（ ）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】利用根式与指数幂的互化可判断A选项的正误；解方程，可判断B选项的正误；取、为负数可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；对于B选项，若，则，B选项错误；对于C选项，取、均为负数且，则、无意义，C选项错误；对于D选项，取，，则，但，D选项错误.故选：A.5．（2020·全国高一期末）若，且，则的值是（ ）A．18 B．24 C．21 D．27【答案】D【分析】根据、得到关于的两个方程，解出的值即可得到答案.【详解】解：，有，；又，，；联立方程，解得，，故选：C.6．（2021·全国高一课时练习）已知正数满足，则（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据题中条件，结合指数幂运算的性质，即可求出结果.【详解】因为正数满足，所以，即，则，所以，即，因此.故选：B.7．（2021·全国高一专题练习）计算的结果为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数的运算法则以及零次幂求解即可.【详解】；故选：B.【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.8．（2021·全国高一课前预习）已知，则化为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根式的运算性质即可得出．【详解】解：原式．故选：B．【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2021·江苏高一课时练习）已知，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用和完全平方公式，可得的值，再运用立方和公式得出答案．【详解】由题意得 =x+2+x-1=5，所以=，所以=()(x-1+x-1)=，故选：B【点睛】本题考查指数幂的运算，考查公式的应用，属于基础题．10．（2020·上海）化简，结果是A． B． C． D．【答案】A【详解】原式 故选A【点睛】本题考查分数指数幂的运算，以及平方差公式的运用，其中在凑平方差公式时，乘以一项再除以这一项是解题的关键．11．（2021·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学高三月考（理））若，，，则下列结论正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合指数函数的单调性，可得出，，，结合，从而可得出三个数的大小关系.【详解】函数是上减函数，所以，同理得，又，所以，又，所以，即.故选：D.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.12．（2021·重庆复旦中学高一开学考试）计算等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用根式的运算性质即可得出．【详解】由可知，∴，故选：C.【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力，属于基础题．13．（多选题）（2021·全国高一专题练习）下列表达式中不正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据根式的性质、基本不等式以及指数幂的运算即可求解.【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，当且仅当时取等号,故C正确.对于D，，故D正确. 故选：AB14．（多选题）（2021·全国高一专题练习）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可.【详解】对于A，，左边，右边，故A错误；对于B，，当时，，故B错误；对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确；对于D，，故D错误.∴不正确的是A、B、D.故选：ABD.【点睛】本题为基础题，考查负指数分数指数幂与根式的转化运算.15．（多选题）（2021·江苏高一课时练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由，可得：；；；，即可判断出正误．【详解】解：，，因此A正确；，因此B不正确；，，解得，因此C不正确；，因此D正确．故选：AD．16．（2021·上海高一单元测试）__________．【答案】2【分析】先把根式化为分数指数幂，再用幂的运算性质求解即可【详解】，故答案为：217．（2020·上海闵行·古美高中高一期中）当时，=___________.【答案】【分析】根据开根号的性质，直接计算即可得解.【详解】由，则，故答案为：18．（2021·全国高一课时练习）代数式（其中x＞0）可化简为________．【答案】【分析】利用分数指数幂与根式的运算性质求解【详解】解：因为，所以，故答案为：19．（2021·全国高一专题练习）_________．【答案】【分析】利用指数幂的运算性质即可得解.【详解】原式故答案为：20．（2021·全国高一课时练习）的分数指数幂表示为____________【答案】【分析】本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.【详解】，故答案为：.21．（2020·江苏省通州高级中学）_______．（用分数指数幂表示）【答案】【分析】利用分数指数幂的运算法则求解即可.【详解】故答案为：22．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）=_____________（用分数指数幂表示）【答案】.【分析】根据根式和分数指数幂的关系相互转化规则化简即可得出答案.【详解】故答案为：.23．（2021·内蒙古赤峰·高一期末）用符号“”或“”填空：________.【答案】【分析】首先利用完全平方公式化简根式，利用集合与元素的关系判断.【详解】 ，此时时，，时集合中的元素.故答案为：24．（2021·上海）对于正数a，可以用有理数指数幂的形式表示为__________.【答案】【分析】将根式转化为有理数指数幂，应用指数幂的运算性质，即可得有理指数幂的形式.【详解】.故答案为：25．（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求的值．【答案】1【分析】将化为，利用平方差公式分解因式后，代入可得结果.【详解】由可知，所以==1.26．（2021·全国高一课时练习）化简：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用根式与分数指数幂互化及分数指数幂的四则运算可得答案；（2）利用分数指数幂的四则运算可得答案；.【详解】（1）原式；（2）原式．B组 能力提升27．（2022·全国高三专题练习）已知，则的值是（ ）A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【分析】推导出，再由立方差公式得，从而求出结果．【详解】解：∵，，由立方差公式得，故选：A．【点睛】本题主要考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．28．（2020·宾县第一中学高一月考）已知下列不等式①；②；③；④；⑤中恒成立的是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用特殊值法和对应函数的单调性一一验证即可.【详解】取，则不成立；由指数函数的单调性可知成立；取，则不成立；对于任意的，都有成立；由于底数成立，故五个命题中有三个是正确的，故选C.【点晴】对于此类题，可以直接取符合已知条件的特殊值计算得出.29．（2020·江苏高一课时练习）计算的值为（ ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用指数幂和根式进行化简得出答案．【详解】原式==e，故选：B【点睛】本题考查指数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．30．（2021·全国高一单元测试）计算：（1）；（2）已知：，求【答案】（1）4，（2）【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求解即可；（2）对两边平方化简求出，再平方可求出的值，从而可求出结果【详解】解：（1）原式（2）由，得，得，所以，所以，所以41．（2019·福建厦门双十中学）集合是由适合以下性质的函数组成：对于任意，，且在上是增函数.（1）试判断及是否在集合中，若不在中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为集合中的函数，不等式是否对任意恒成立，试证明你的结论.【答案】（1），.见解析（2）恒成立，见解析【分析】（1）通过特例，判断，求出的值域，即可判断是否在集合中． （2）利用 （1）在集合中，化简不等式通过指数的性质，推出结论即可．【详解】（1）当时，，所以，又当时为增函数，∴值域为，所以；所以.（2）∵∴对任意不等式总成立.【点睛】本题考查了利用单调性求解函数值域问题，考查了指数幂的运算，利用所学知识解决新问题的能力．42．（2021·全国高一专题练习）计算下列各式：（1）；（2）.【答案】（1）112；（2）.【分析】由分数指数幂的运算法则和根式与指数幂的互化可得答案 。【详解】（1）原式=；（2）原式.