突破4.2 指数函数（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.2 指数函数 一、考情分析二、考点梳理考点一 指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质三、题型突破(一) 指数函数的概念例1、（1）、（2021·金寨县青山中学高三开学考试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值.【详解】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.（2）、（2019秋•罗湖区校级期中）若函数是指数函数，则的值是　　A． B．3 C．3或 D．2【分析】根据指数函数的定义列出方程组，求出的值．【答案】解：函数是指数函数，，且，解得．故选：．【点睛】本题考查了指数函数的概念与应用问题，是基础题目【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.故选：C.【变式训练1-2】．（2021·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A(二) 指数函数的图像与性质例2．（1）、(多选题)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（ ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:由图像可知函数为增函数，所以.当时，，故选AD.（2）．（2022·全国）已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，故选：A【变式训练2-1】、若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的　　A． B． C． D．【分析】根据指数函数的单调性和二次函数的开口方向进行判断是哪个选项．【答案】解：函数在上单调递增，可排除选项与是开口向下的二次函数，可排除选项，故选：．【变式训练2-2】．（2021·全国高一课前预习）在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数和指数函数的图象，即可逐项判断，得出结果.【详解】为幂函数，为指数函数A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A【点睛】本题考查了幂函数和指数函数的图象，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.(三) 定点问题例3．（1）、（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【解析】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.（2）．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））函数且的图像必经过点________【答案】【分析】指数函数（且）的图像必经过点，由此计算即可.【详解】令，解得，当时，所以函数且的图像必经过点.故答案为：【变式训练3-1】．（2021·全国高一课时练习）函数图象所过定点坐标为__________.【答案】【分析】令，即可得出定点坐标.【详解】令，得，因为，所以定点坐标为故答案为：【变式训练3-2】．（2019秋•金凤区校级期中）不论为何值时，函数恒过定点，则这个定点的坐标是　　A． B． C． D．【分析】由指数函数的图象恒过定点，可令，计算即可得到所求定点．【答案】解：可令，解得，，则不论为何值时，函数恒过定点．故选：．【变式训练3-3】．（2019秋•泸县校级期中）函数的图象恒过定点　　A． B． C． D．【分析】运用指数函数的图象恒过定点，可令，即可得到所求定点．【答案】解：可令，解得，，可得函数的图象恒过定点．故选：．(四) 利用指数函数的单调性比较大小例4．（1）、（2021·全国高一课前预习）不等式的解集是________.【答案】【分析】根据指数函数的单调性可出、，进而可解得原不等式的解集.【详解】由得，解得，因此，原不等式的解集为.故答案为：.（2）、（2020·全国高一课时练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在R上为增函数，且，再根据，再计算得到答案.【详解】，，在R上为增函数，且，.在R上为增函数，且，..故选：A.【点睛】本题考查了利用函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.【变式训练4-1】（2018秋•泰山区校级期中）已知，，，则、、的大小关系是　　A． B． C． D．【分析】根据指数函数的性质判断即可．【答案】解：是减函数，故，而，故，故选：．【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查函数值的大小比较，是一道基础题．【变式训练4-2】、（2020·全国）已知，，，则下列不等式正确的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用中间值可得出、的大小关系，从而可得出、、三个数的大小关系.【详解】因为在上递减，且，则，所以.又因为在上递增，且，所以，即.因此，，故选D.【点睛】本题考查指数幂的大小比较，常用的就是中间值法、指数函数单调性以及幂函数单调性来比较大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.(五) 求指数型复合函数的定义域与值域例5．（1）、（2022·全国）（多选题）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】对分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.【详解】当时，函数在区间上为单调递增函数，当时，，当时，，所以，即，解得或，因为，所以；当时，函数在区间上为单调递减函数，当时，，当时，，所以，即，解得或，因为，所以.综上可得，实数的值为或.故选：BC（2）、函数f(x)＝的值域是(　　)[来源:学。科。网]A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】∵3x＋1>1，∴0<<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练5-1】．求函数的定义域与值域．【分析】根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．【答案】解：，设，则，则函数等价为，则函数的定义域为，，，即函数的值域为．【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．【变式训练5-2】．（2020·全国高一课时练习）函数的值域是_________.【答案】【分析】利用换元法和指数函数的单调性求出函数的值域．【详解】设 当 时，有最大值是9；当 时，有最小值是-9， ，由函数 在定义域上是减函数，∴原函数的值域是 故答案为：【点睛】本题考查复合函数值域的求法，考查换元法的应用，考查转化思想和计算能力，属于基础题．(六) 求指数型复合函数的最值与单调区间例6、（1）（2019·全国）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【分析】设,则在上递增，且，由在区间上单调递增，可得函数在上单调递增，利用二次函数的单调性可得，从而可得结果.【详解】设,则函数在上递增，且，因为在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，又因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，可得函数的递增区间为，由，可得，即实数的取值范围为，故选C.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数，需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.本题是利用方法①解答的.（2）．（2021·全国高一课时练习）已知是增函数，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】根据指数函数的单调性解题.【详解】因为是增函数，可得，解得.故答案为：.【变式训练6-1】．（多选题）若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围不能为(　BD　)A．(5,8) B．(2,8)C．[6,8) D．(3,8)【答案】BD【解析】因为函数f(x)＝是R上的增函数，所以解得4≤a<8.【变式训练6-2】．（2020·全国高一课时练习）函数在的最大值为，那么________.【答案】【分析】令，则，将问题转化为二次函数在上的最大值为【详解】令，则，对称轴为，在单调递增，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查指数型函数的最值问题，考查学生的转化与化归的思想，数学计算能力，是一道中档题.【变式训练6-3】．（2019春•雁塔区校级期末）若函数，且在区间，上的最大值为35，求的值．【分析】将看成一个整体，对解析式进平方后，化为关于的二次函数，再对分类讨论，由指数函数的性质分别求出的范围，再由二次函数的单调性求出函数的最大值，由条件列出方程求解．【答案】解：由题意得，，①若时，由，得，则当，即时，函数取到最大值，，解得或（舍去），②若时，由，得，则当，即时，函数取到最大值，，解得或（舍去），综上可知，的值为5或．【点睛】本题考查了指数函数和二次函数的性质的应用，关键是将看成一个整体对解析式化简，考查了整体思想．(七) 指数型复合函数的综合问题例7．（1）、（2022·全国高三专题练习（文））已知函数.（1）若，求的值；（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，，舍去；当时，，即，．基础即可得出．（2）当，时，，即，即．化简解出即可得出．【详解】解：（1）当时，，舍去；当时，，即，．解得，（2）当，时，，即，即．因为，所以．由，所以．故的取值范围是．（2）．（2022·全国（理））已知函数，（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）若实数a使得对，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）【分析】（1）采用换元法可将函数化为，；由二次函数图象和性质可求得最大值和最小值；（2）若不等式恒成立则需，从而得到结果．【详解】（1）令 ，当时，；当时，即最大值为，最小值为；（2）由恒成立得：由（1）知， 的取值范围为．【点睛】思路点睛：本题考查与指数函数有关的二次函数型的最值的求解、恒成立问题的求解；解决此类问题常采用换元法的方式，将函数转化为二次函数，从而利用二次函数图象与性质来进行求解；易错点是忽略换元后，新变量的取值范围，造成求解错误．【变式训练7-1】．（2019春•甘肃校级期末）已知定义在上的奇函数，为常数．（1）求的值；（2）用单调性定义证明在，上是减函数；（3）解不等式．【分析】（1）根据解出；（2）设，计算并化简，只需证明即可；（3）利用单调性和奇偶性得出，等价于，解出．【答案】解：（1）是定义在上的奇函数，，即，解得．（2），设，则，，，，，即，，在，上是减函数．（3）是奇函数且在，上单调递减，在上是减函数．．，，解得．【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用，属于基础题．【变式训练7-2】．已知奇函数的定义域为，其中为指数函数且过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数的单调性，并用函数单调性定义证明．【分析】（Ⅰ）设，由的图象过点，求得，可得的解析式．再根据，求得的值，可得的解析式．（Ⅱ）根据，设，则，根据，从而根据函数的单调性的定义得出结论．【答案】解：（Ⅰ）设，由的图象过点，可得，，．故函数．再根据为奇函数，可得，，即．（Ⅱ），．设，则，由于，结合，可得，，即，故在上单调递减．【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用，函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．(八) 指数型实际的综合问题例8．（2021·全国高一专题练习）医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物?（参考数据：，）【答案】（1）小时；（2）见解析【分析】（1）当时，，函数图像过点，求出，进而求出t=1时，所以当时，，函数图像过点，求出m,解指数不等式求出t的范围即可；（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为，当时，，根据单调性，解得x=1即得解.【详解】（1）当时，，函数图像过点，所以，得所以当时，当时，，函数图像过点所以，所以由，得，所以则药物有疗效时间为小时.（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为当时，因为函数在内单调递增，所以当时，当时，因为，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式解法，利用函数单调性是关键，属于中档题.【变式训练8-1】．（2020·全国高一课时练习）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.（1）写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；（2）过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？【答案】（1）；（2）当时，； 当时，，至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．【分析】（1）利用题设条件，求出过滤1次、2次、……n次后的杂质含量，即可求出函数解析式．（2）利用（1）所求函数解析式，求出当，时的函数值，与市场要求的的含量比较，求出符合条件的答案．【详解】（1）过滤1次后的杂质含量为，过滤2次后的杂质含量为，过滤3次后的杂质含量为，……过滤n次后的杂质含量为．故y与n的函数关系式为．（2）由（1）知，当时，， 当时，，因为，，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，其中关键是建立数学模型，属于中档题．a>100时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0