人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀课后作业题

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突破5.4 三角函数的图像与性质
一、考情分析

二、考点梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定
义
域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
(k∈Z)
对称中心是
(k∈Z)

三、题型突破
重难点题型突破1 三角函数的定义域与周期
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
例1、（1）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以
故函数的定义域为 ，选D。
（2）．（2017·全国·高考真题（文））函数的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，故选C．
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
(3)．（2020·湖北·高三学业考试）(多选题)下列函数中最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据周期公式计算可知、正确；不正确；根据的图象可知正确.
【详解】
对于，，故正确；
对于，，故正确；
对于，，故不正确；
对于，因为的图象是由的图象进行翻折变换得到的，所以的最小正周期为.故正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：根据的图象求最小正周期是本题解题关键.
（4）．（2021·河南·原阳县第三高级中学高一月考）函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】
函数有意义可得，然后解三角不等式即可求解.
【详解】
函数有意义，
则，即，
所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【变式训练1-1】、（2020·山东高一期末）函数的定义域为_____．
【答案】
【解析】解不等式，可得，
因此，函数的定义域为.故答案为：.
【变式训练1-2】、（2021·全国·高一专题练习）（多选题）下列函数中周期为且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
利用诱导公式可将A、B、D分别化为、、即可判断周期及其奇偶性，进而判断选项正误.
【详解】
A中，，周期为且为偶函数，错误；
B中，，周期为且为奇函数，正确；
C中，，周期为且为奇函数，正确；
D中，，周期为且为奇函数，正确；
故选：BCD.
【变式训练1-3】、（2021·上海·高一课时练习）函数的定义域是________.
【答案】
【分析】
根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的性质得到的范围．
【详解】
由题意得：


即
故答案为
【点睛】

重难点题型突破2 三角函数的单调性及最值
1、三角函数单调性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　
例2、（1）、（2020·宁夏·银川一中高三月考（文））函数的单调递减区间是_________.
【答案】
【详解】
试题分析：，解得，.
考点：三角函数的单调单调区间．
（2）、（2021·四川省广安代市中学校高一月考）函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令，由x[-，]可得，再由函数的单调性即可解出．
【详解】
令，因为x[-，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是．
故选：A．






【变式训练2-1】、（2020·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为_______________.
【答案】
【分析】
将函数解析式变形为，然后解不等式，即可得出该函数的单调递增区间.
【详解】
，要求函数的单调增区间，
即求函数的单调递减区间，
解不等式，得，
因此，函数的单调增区间为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，在求解时要将自变量的系数化为正数，考查运算求解能力，属于基础题.
【变式训练2-2】、（2013·天津·高考真题（文））函数在区间上的最小值是
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】
因为，所以，所以由正弦函数的图象可知，函数在区间上的最小值是，故选B.
【考点定位】本小题主要考查三角函数的值域的求解，考查三角函数的图象，考查分析问题以及解决问题的能力.
例3．（2020·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数取得最大值时的集合.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最大值，以及此时的自变量的值．
【详解】
(1)在上的增区间满足:,,
∴,解得:,,
所以单调递增区间为,,
同理，单调递减区间为,.
(2)，
令：,，解得：,，
函数取得最大值的集合为:.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
【变式训练3-1】、（2021·浙江浙江·高一期末）已知函数.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间和单调递减区间；
（3）当，求f（x）值域.
【答案】（1）；（2）单调递增区间为；单调递减区间为；（3）.
【分析】
（1）由公式求周期；
（2）利用正弦函数的单调性求单调区间；
（3）求出的范围，然后结合正弦函数的性质得值域．
【详解】
解：（1）由解析式得ω＝3，
则函数的最小周期.
（2）由，k∈Z，
所以，k∈Z，
即函数的单调递增区间为，k∈Z，
由k∈Z，
得，k∈Z，
即函数的单调递减区间为 ，k∈Z.
（3）当x∈[0，]时，，
则当3x+＝时，函数f（x）取得最大值，此时f（x）＝，
当3x+时，函数f（x）取得最小值，此时f（x）＝，
即f(x)值域为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型三角函数的性质．对于，最小正周期为，利用正弦函数的性质，把作为一个整体替换中的，可得的性质．



重难点题型突破3 根据图像求三角函数的解析式
例4．（1）、（2021·江西·景德镇一中高二期中）已知函数的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的解.
【详解】
由题意知，根据函数的部分图象，
因为，且，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得：，
故选：B.
（2）、（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）（多选题）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】
利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由图可知，
设函数的最小正周期为，则，，，则，
由得，解得，
又，，，A正确；
对于B选项，由，得，B正确；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，
得的图象，C错误；
对于D选项，由得，
由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，
则，解得，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
【变式训练4-1】、（2021·全国·高一单元测试）已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．
【详解】
由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，
∴的最小值是．
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．
【变式训练4-2】、（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）（多选题）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．与图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【分析】
根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
【详解】
由题意，，∴，又，，又，∴，
∴．
∵，∴不是对称轴，A错；
，∴是对称中心，B正确；
时，，∴在上单调递增，C正确；
，，或，
即或，，又，∴，和为，D正确．
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．

重难点题型突破4 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）
1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　
2.函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
例5、（1）、（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期中）函数的图象 （ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【分析】
分别求出函数的对称中心坐标和对称轴方程，然后对赋整数值得出结果.
【详解】
对于函数，令，得，，
令，得，，
所以，函数的图象的对称中心坐标为，对称轴为直线，
令，可知函数图象的一个对称中心坐标为，故选A.
【点睛】
本题考查三角函数的对称中心和对称轴方程，一般先求出对称中心坐标和对称轴方程通式，然后通过赋值法得到，考查计算能力，属于基础题.
（2）．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校高一期末）函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正弦函数图象性质求出全部对称轴，即得结果.
【详解】
由正弦函数图象性质知，得对称轴.
时取，故B正确，ACD都不成立.
故选：B.
（3）．（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））关于函数有如下命题，其中正确的有______
①的表达式可改写为
②是以为最小正周期的周期函数；
③的图象关于点对称；
④的图象关于直线对称.
【答案】①③
【分析】
①利用诱导公式变形，判断选项；②利用周期公式，判断选项；③代入函数判断是否为0，判断选项；④代入选项，是否取得最值，判断选项.
【详解】
①，故①正确；
②的最小正周期，故②不正确；
③当时，，此时函数值为0，所以函数的图象关于点对称，故③正确；
④当时，，此时函数值是0，不是函数的对称轴，故④不正确.
故答案为：①③
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.
【变式训练5-1】、（2020·湖南·长沙一中高一月考）（多选题）已知的相邻两条对称轴的距离为，则有（ ）
A．点是函数图像的一个对称中心
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数在上为减函数
D．将函数的图像向右平移个单位后，对应的函数是奇函数
【答案】ABD
【分析】
依据题意可得，然后根据余弦函数的性质逐一验证即可.
【详解】
由题可知：，所以，即；
注意到，故为对称中心，A正确；
又，即是函数图像的一条对称轴，B正确；
而，且，故在上不单调，C错误；
的图像向右平移个单位后可得为奇函数，故D正确.
故选：ABD
【变式训练5-2】、(2020·辽宁辽阳一模)函数的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数
令，
则，
当时，，
故选B.
【变式训练5-3】、（2021·广东·红岭中学高三月考）（多选题）已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）

A．函数最靠近原点的零点为
B．函数的图像在轴上的截距为
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
【答案】ABC
【分析】
首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项.
【详解】
根据函数的部分图像知，，
设的最小正周期为，则，∴，．
∵，且，∴，
故．
令，得，，
即，，因此函数最靠近原点的零点为，故A正确；
由，因此函数的图像在轴上的截距为，故B正确；
由，因此函数是偶函数，故C正确；
令，，得，，此时函数单调递增，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故D不正确．
故选：ABC．
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.
例6．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期中（文））已知函数的部分图象如图所示.

（1）写出函数的最小正周期及、的值；
（2）求函数在区间上的单调增区间.
【答案】（1），，；（2）
【分析】
（1）由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）由以上可得，，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性．
【详解】
解：（1）根据函数，的部分图象，
可得，解得，最小正周期．所以
因为函数过，所以，所以，解得
因为，所以．所以
（2）由以上可得，，在区间上，
所以，，令，解得
即函数在区间上的单调增区间为
【点睛】
求三角函数的解析式时，由即可求出；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
例7．（2021·广西·南宁三中高一期末）如图为函数的一个周期内的图象.

（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由图可求出，令，即可求出单调递减区间；
（2）由题可得，则可求得值域.
【详解】
(1)由题图，知，
所以，
所以.
将点(－1，0)代入，得.
因为，所以，
所以.
令,
得.
所以的单调递减区间为.
(2)当时，，
此时，则，
即的值域为.
【点睛】
方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式的方法：
（1）根据图象的最值可求出A；
（2）求出函数的周期，利用求出；
（3）取点代入函数可求得.


四、定时训练
1．（2021·全国·高一单元测试）已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若，其中，求的值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由函数的图象可得出的最小正周期的值，可求得，再将点代入函数的解析式，结合可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）求得，结合，可求得的值；
（3）求出函数在区间上的最大值和最小值，由题意可得，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）由图象可知，函数的最小正周期为，，
则，
，可得，
，，，解得，
因此，；
（2），可得，
，，，解得；
（3）当时，，则，
，，
由可得，则，
，，所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：根据三角函数（或）的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
2．（2020·内蒙古·集宁一中高一期末（理））已知的最小正周期为.
(1)求的值，并求的单调递增区间；
(2)求在区间上的值域.
【答案】（1），（2）
【详解】
试题分析：（1）由最小正周期为，得，由，，即可解得的单调递增区间；
（2）由，得，进而可得值域.
试题解析：
解：(1)由的最小正周期为，得，
∵，∴，
，令，则，
的单调递增区间为，
由得，
故的单调递增区间为.
(2)因为，所以，
的取值范围是，故的值域为.
点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.
求对称轴只需令，求解即可，
求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.
3．（2021·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）已知函数．
（1）求在R上的对称轴方程；
（2）若，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据三角函数的对称轴方程进行求解即可．
（2）求出角的范围，结合函数最值和角的关系求出最值即可．
【详解】
（1）由，得，
即函数的对称轴方程为．
（2）若，则，所以，
则当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
即函数的值域为．