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专题5.1 任意角和弧度制-2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题5.1 任意角和弧度制-2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册），文件包含专题51任意角和弧度制解析版docx、专题51任意角和弧度制原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
专题5.1 任意角和弧度制
1．象限角与轴线角
第一象限角的集合为；
第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；
第四象限角的集合为
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与坐标轴重合的角的集合为．
2．弧度制
用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
3．弧度与角度的换算
．
4．弧长公式
，其中的单位是弧度，与的单位要统一.
角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
5．扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
6．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN*）所在的象限．
7．象限角的判定有两种方法
（1）根据图象，其依据是终边相同的角的思想；
（2）先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．
一、单选题
1．扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省泉州市四校（永春一中、培元中学、季延中学、石光中学）2022届高三上学期第一次联考
【答案】A
【分析】根据已知条件，由扇形的面积公式即可求解．
【解析】因为扇形的中心角为120°，即因为扇形的中心角为，
又半径为，所以扇形的面积为．故选A．
2． 是
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试
【答案】D
【分析】根据终边相同的角以及象限角的定义即可求解．
【解析】，所以与角终边相同，是第四象限角．故选D．
3．下列角中终边与相同的角是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省龙岩第一中学2022届高三上学期第二次月考
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的集合表示即可得出答案．
【解析】与角终边相同的角的集合为，
当时，可得．故选B．
4．钟的时针和分针一天内会重合
A．21次 B．22次
C．23次 D．24次
【试题来源】云南省楚雄天人中学2019-2020学年高一5月月考
【答案】B
【分析】根据一天24小时中时针和分针转的圈数求解．
【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，
所以分针比时针多转的圈数是24-2=22，因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合22次，故选B
5．角为2弧度角的终边在第______________象限．
A．一 B．二
C．三 D．四
【试题来源】上海市西南高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考
【答案】B
【分析】根据题意得到2弧度，再判断象限即可．
【解析】2弧度，为第二象限角．故选B
6．已知扇形OAB的周长是60 cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】河北省衡水市武强中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】B
【分析】由弧长公式以及扇形的面积公式，结合二次函数的性质求解即可．
【解析】设半径为，圆心角的弧度数为，则，即，
则扇形OAB的面积为，
当时，扇形OAB的面积最大，此时圆心角的弧度数为，故选B
7．已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是
A．1 B．2
C． D．4
【试题来源】贵州省镇远县文德民族中学校2020-2021学年高一3月月考
【答案】A
【分析】由扇形面积公式求解．
【解析】因为扇形的半径为2，面积是2，
所以，解得，故选A
8．下列各角中，与终边相同的角为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】B
【分析】写出与终边相同的角的集合，取k值即可得出结果．
【解析】与终边相同的角的集合为，
当时，得．故选B
9．终边在轴的正半轴上的角的集合是
A． B．
C． D．
【试题来源】2021年山东省春季高考数学真题
【答案】A
【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【解析】终边在轴正半轴上的角的集合是，故选A
10．与角终边相同的角的集合是
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的定义可得．
【解析】，
所以与角终边相同的角的集合是．故选B．
11．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省张家口市2020-2021学年高一上学期期末
【答案】A
【分析】由题可得分针需要顺时针方向旋转．
【解析】分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为．故选A．
12．角的终边落在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】广东省肇庆市第一中学2022届高三上学期9月教学质量检测
【答案】D
【分析】根据周期性知与终边相同，即知终边所在的象限．
【解析】由，即与终边相同，
所以在第四象限．故选D
13．已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是
A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】C
【分析】由题设知且，求的范围，进而判断其所在的象限．
【解析】由题意，且，则，
所以角的范围是第一或第三象限角的集合．故选C
14．角的终边所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 三 弧度制
【答案】D
【分析】根据终边相同的角的定义和表示方法得到角与角是终边相同的角，结合象限角的定义即可得出结果．
【解析】因为，所以角与角是终边相同的角，
又，所以角的终边在第四象限．故选D
15．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在
A．8点处 B．10点处
C．11点处 D．12点处
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 一 周期变化
【答案】B
【分析】利用时钟的周期为60分钟，分析100分是多少个周期，由此即可得到答案．
【解析】一个周期是60分钟，则100分钟是一个周期，故100分钟后分针指在10点处．
故选B
16．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高一下学期期末模拟
【答案】B
【分析】首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可．
【解析】设该扇形半径为，因为圆心角，弧长，
所以扇形弧长公式可得，，解得，．故选B．
17．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为
A． B．
C． D．
【试题来源】全国百所名校2022届高三上学期大联考调研试卷（二）
【答案】B
【分析】根据给定条件利用扇形面积公式直接计算即得．
【解析】因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，
则由扇形面积公式得，而，解得，
所以该扇形所在圆的半径为2．故选B
18．角的终边所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】安徽省宿州市砀山中学2021-2022学年高二上学期第一次质量检测
【答案】C
【分析】将角化为（）的形式，由此确定正确选项．
【解析】，在第三象限．故选C
19．下列各角，与330°角的终边相同的角是
A．510° B．150°
C．-150° D．-390°
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【答案】D
【分析】根据终边相同角的表示即可求解．
【解析】与330°角的终边相同的角为，
当时， ，故选D
20．钟表的分针在1.5小时内转了
A．180° B．-180°
C．540° D．-540°
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【答案】D
【分析】根据任意角的定义即可得出选项．
【解析】根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ，故选D
21．下列命题中正确的是
A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限角 D．第一象限角一定是锐角
【答案】C
【分析】明确锐角、钝角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项．
【解析】A不正确，如就是第一象限角．
B不正确，如是小于的角，但并不是锐角．
C正确，因为钝角大于且小于，它的终边一定在第二象限．
D不正确，如就是第一象限角，但并不是锐角．故选C．
22．若，则角的终边在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】变换得到，根据得到答案．
【解析】，，故角的终边在第一象限．故选A．
23．在半径为15cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为
A．5 B．
C． D．
【试题来源】山西省朔州市怀仁一中云东校区2019-2020学年高一下学期期中
【答案】D
【分析】用扇形面积公式求解
【解析】由已知得扇形的半径，扇形所对的圆心角为，
则此扇形的面积为．故选D．
24．如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为
A．4 B．
C． D．2
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 章末培优专练
【答案】D
【分析】连接，得出，再由扇形的面积公式求解即可．
【解析】记月牙形图形的面积为，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为，连接OC
因为，
所以．故选D．
25．如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是
A． B．
C． D．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】D
【分析】求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解．
【解析】因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，
所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为，
设之后从起始位置转过的角为，故选D．
26．下列转化结果正确的是
A．60°化成弧度是 B．化成角度是30°
C．1°化成弧度是180rad D．化成角度是
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】D
【分析】根据弧度制与角度制的互化：即可求解．
【解析】对于A，60°化成弧度是，故A不正确；
对于B，化成角度是，故B不正确；
对于C，1°化成弧度是，故C不正确；
对于D，1rad化成角度是，故D正确．故选D．
27．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为
A．2 B．1
C． D．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】C
【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【解析】因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，
故扇形所在圆的半径，扇形的面积为，故选C．
28．在直径为的圆中，圆心角所对的弧长为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市毛坦厂中学2021-2022学年高三上学期9月月考
【答案】B
【分析】先将角度转化为弧度，再由弧长公式即可求解
【解析】因为圆的直径为，所以圆的半径
因为，所以圆心角所对的弧长为，故选B．
29．已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的周长是
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】A
【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长．
【解析】设扇形的半径为，则，故，
故弧长为，故该扇形的周长为，故选A．
30．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于
A．π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
【试题来源】 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）
【答案】B
【分析】由圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm解直角三角形求圆的半径，再由弦长公式求弦长．
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝，得r＝4cm，
所以l＝|α|·r＝×4＝cm，故选B．
31．下列说法中，错误的是
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】D
【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可．
【解析】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；
1rad的角是，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，
故D错误．故选D
32．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省商开大联考2020-2021学年高一下学期期末考试
【答案】D
【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解．
【解析】设扇形的半径为，所对弧长为，
则有，解得，故． 故选．
33．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市第一中学校2022届高三上学期9月月考
【答案】B
【分析】把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算．
【解析】．．故选B．
34．把化成角度是
A． B．
C． D．
【试题来源】广西梧州市藤县第六中学2020-2021学年高一下学期期末热身考
【答案】B
【分析】利用弧度和角度的关系，即得解
【解析】由题意，，故选B.
35．与角的终边相同的角的表达式中，正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）
【答案】C
【分析】要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可．
【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，所以正确．故选．
36．如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省金太阳百校联考2021-2022学年高三上学期10月月考
【答案】B
【分析】首先确定当时针指向，分针指向时，时针与分针的夹角，减掉分针指向时，时针由向移动的弧度即可得到结果．
【解析】表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为；
当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为；
但当分针指向时，时针由向移动了；
该时刻的时针与分针所夹钝角为．故选B．
37．已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省赣州市赣县第三中学2022届高三上学期期中适应考试
【答案】D
【分析】根据公式求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求出答案．
【解析】由得，所以该扇形的面积为．故选D．
38．八点二十分这个时刻同学们一定不陌生，因为那是我们学校第一节课上课的时刻．请你联想或观察黑板上方的钟表，对下面的问题做出选择：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省嘉峪关市第一中学2020-2021学年高一下学期期末
【答案】C
【分析】分别求出八点二十分，时针和12点方向半径的夹角及分针和12点方向半径的夹角即可求解．
【解析】如图示：记从表盘中心（圆心）O到12点方向的半径为OA，8：20时分针方向为OB，时针方向为OC．
则，
所以，
即八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为．故选C
39．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省宁冈中学2022届高三10月份段考
【答案】D
【分析】若圆锥底面半径为，母线长为，由已知及圆锥侧面积公式、底面积公式可得，再由扇形的弧长公式即可求圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角．
【解析】由题设，若圆锥底面半径为，母线长为，
所以由圆锥的全面积是底面积的3倍，则，即，
设圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为，则，可得．故选D
40．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
【试题来源】甘肃省静宁县第一中学2020-2021学年高一（实验班）下学期第一次月考
【答案】C
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解．
【解析】设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，当时，可得；
当时，可得，故选C．
二、多选题
1．下列给出的各角中，与的终边相同为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省连云港市板浦高级中学2020-2021学年高一上学期11月月考
【答案】AB
【分析】根据终边相同的两个角的性质进行判断即可．
【解析】终边相同的两个角的差是的整数倍．
A：因为，所以与的终边相同，符合题意；
B：因为，所以与的终边相同，符合题意；
C：因为，所以与的终边不相同，不符合题意；
D：因为，所以与的终边不相同，不符合题意，故选AB
2．若为第一象限角，则的终边所在的象限可能是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】AC
【分析】由题设，进而求的范围，即可判断终边所在的象限．
【解析】由题设，，，
所以，令，
所以，故的终边所在的象限可能是第一、三象限．故选AC
3．有一个小于的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角可以为
A． B．
C． D．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】ACD
【分析】由题设知且，结合即可判断的可能值．
【解析】由题意，且，则，又，
所以时，；时，；时，；时，；时，；故选ACD
4．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是
A． B．
C．2 D．或
【试题来源】2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）
【答案】AC
【分析】根据弧长公式和面积公式即可求解．
【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则，
所以解得 或，则或1．故选AC．
5．下列与角的终边不相同的角是
A． B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
【试题来源】2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）
【答案】ABD
【分析】根据终边相同的角的定义即可判断．
【解析】与角的终边相同的角为，
其余三个角的终边与角的终边不同．故选ABD．
6．下列四个选项中正确的是
A．-75°角是第三象限角 B．225°角是第二象限角
C．475°角是第二象限角 D．-315°是第一象限角
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】CD
【分析】根据象限角的定义结合图象逐一判断即可得出答案．
【解析】对于A，如图1所示，-75°角是第四象限角，故A错误；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角，故B错误；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角，故C正确；对于D，如图4所示，-315°角是第一象限角，故D正确．故选CD．
7．与角终边相同的角是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高一上学期期末
【答案】BD
【分析】写出终边相同的角的集合，再判断选项．
【解析】与角终边相同的角的集合是，
当时，，当时，．故选BD
8．若且与角的终边垂直，则是
A． B．
C． D．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 三 弧度制
【答案】AD
【分析】首先求出与角共终边的角，再根据已知条件即可求解．
【解析】由题意，易知，，因为与角的终边垂直，
所以，即，或，，
对于选项A：，，故A正确；
对于选项B：，可知，；
，可知，，故B错；
对于选项C： ，可知，；
，可知，，故C错；
对于选项D：，可知，，故D正确．故选AD．
9．与终边相同的角的表达式中，正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 易错疑难集训一
【答案】CD
【分析】根据终边相同角的表示判断可得；
【解析】由弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误，与终边相同的角的集合是，经验证选项C，D正确．故选CD
10．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的2倍
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 全章综合检测
【答案】BC
【分析】利用扇形面积公式和弧长公式的变形即可求解．
【解析】设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则原扇形的面积为，
扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为，
故，故A错误，C正确；
由，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误．故选BC．
三、填空题
1．若，则角的终边在第__________象限．
【试题来源】宁夏银川三沙源上游学校2020-2021学年高一下学期月考（二）
【答案】三
【分析】根据，即可判断角所在象限．
【解析】，所以角的终边在第三象限．
故答案为三
2．半径为的圆中，的圆心角所对的弧的长度为__________．
【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试
【答案】
【分析】根据扇形的弧长公式即可求解．
【解析】，所以弧长为．故答案为．
3．若一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为__________．
【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高一下学期开学测试
【答案】
【分析】根据扇形面积公式直接构造方程求得结果．
【解析】设扇形的半径为，则，解得．
故答案为．
4．是第__________象限的角．
【试题来源】上海市西南高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考
【答案】一
【分析】把给定角化成形式，判断角所在象限即可得解．
【解析】因，而是第一象限的角，
所以是第一象限的角．
故答案为一
5．化成弧度是__________．
【试题来源】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】
【分析】根据计算即可
【解析】由题意得．
故答案为
6．-1104°是第__________象限角．
【试题来源】广东省梅州市大埔县田家炳实验中学2022届高三上学期第二次月考
【答案】四．
【分析】变形得，通过判断所在象限，得所在象限．
【解析】，
又是第四象限角，所以也是第四象限角．
故答案为四．
7．已知角的终边关于原点对称，则间的关系为__________．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】
【分析】由题设是的奇数倍，写出的集合即可．
【解析】由题意，为的奇数倍，
所以．故答案为
8．已知扇形的弧长为，半径为1，扇形的面积为__________．
【试题来源】山东省菏泽市东明县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据扇形面积公式求得正确答案．
【解析】依题意可知，扇形面积为．故答案为
9．若角与角的终边相同，则__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【分析】根据终边相同的角的定义直接写出即可．
【解析】因与角终边相同连同角在内的角的集合为，
而角与角的终边相同，则，即，
所以．
故答案为
10．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为12的扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为__________．
【试题来源】湖南省150多所名校2021-2022学年高三上学期10月联考
【答案】
【分析】先求得，然后求得扇形的弧长．
【解析】，则该扇形的弧长．
故答案为
11．已知扇形的弧长是6，圆心角是2弧度，则该扇形的半径是__________．
【试题来源】上海市吴淞中学2022届高三上学期期中
【答案】3
【分析】结合扇形弧长公式可直接求解．
【解析】由．
故答案为3
12．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为__________．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】2
【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【解析】，扇形AOB的面积为，
所以，解得．
故答案为2
13．一扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则该扇形的圆心角为__________．
【试题来源】河南省信阳市浉河区新时代学校2020-2021学年高一下学期第三次阶段教学质量检测
【答案】
【分析】根据弧长公式，扇形的面积公式即可求出．
【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，
则，解得 ，所以，即圆心角的弧度数为．
故答案为．
14．已知，则按从小到大排列为__________．
【试题来源】江西省靖安中学2020-2021学年高一上学期第二次月考
【答案】
【分析】化为弧度，比较大小即可求解．
【解析】，
，
故答案为
15．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为__________．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 三 弧度制
【答案】
【分析】先算出扇形的面积，再求出内切圆的半径进而求出圆的面积，最后在作比可求出答案．
【解析】因为扇形圆心角为，半径为a，所以扇形的面积S1==．
因为扇形的内切圆圆心在圆心角的角平分线上，
所以内切圆的半径为，所以内切圆的面积为．
所以扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为：=
故答案为
16．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市实验中学2021-2022学年高三第三次月考
【答案】
【分析】设圆的半径为，根据圆心角与弦长、半径关系求，再由弧长公式求圆心角所对的弧长．
【解析】若圆的半径为，则，可得，
所以圆心角所对的弧长．故答案为
17．如图，在菱形ABCD中，，以B为圆心，AB长度为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积为__________．
【试题来源】重庆市育才中学校2020-2021学年高一上学期入学考试
【答案】
【分析】利用总面积减去扇形面积来求得阴影部分的面积．
【解析】依题意可知，阴影部分面积为．
故答案为
18．角的终边落在第一、三象限角平分线上，则角的集合是__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【答案】
【分析】分别写出终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合，再求这两个集合的并集即可．
【解析】终边落在第一象限角平分线上的角的集合为
，
终边落在第三象限角平分线上的角的集合为
，
于是有，
所以角的集合是．
故答案为
19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为__________平方步．
【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高三上学期期中
【答案】120
【分析】利用扇形的面积公式求解．
【解析】由题意得扇形的弧长为30，半径为8，
所以扇形的面积为，
故答案为120
20．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为__________平方米．（其中，）
【试题来源】2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）
【答案】16
【分析】根据已知条件求出半径和圆心到弦的距离，再根据经验公式计算出弧田的面积，根据实际面积等于扇形面积减去三角形面积求出实际面积，从而可得答案．
【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为20m，半径为40m，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为平方米，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为平方米，因此两者之差为平方米．
故答案为16．
四、解答题
1．把下列角度化成弧度：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），（2），（3），（4）
【分析】利用角度制与弧度制的转化公式直接计算即可．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．（1）写出与角终边相同的角的集合M；
（2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角；
（3）若角且，求角．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】（1）；（2），第四象限角；（3）．
【分析】（1）根据，写出终边相等的角的集合即可．
（2）利用周期性，写出与终边相同的最小正角，进而判断所在的象限．
（3）由（1）所得范围，结合给定的范围写出角．
【解析】（1）由终边相同的角的概念得．
（2）因为，而是第四象限角，
所以是第四象限角．
（3），又且，
所以取得，．
3．蒸汽机飞轮的直径为1．2m，以300（转/分）的速度作逆时针旋转，求：
（1）飞轮1s内转过的弧度数；
（2）轮周上一点1s内所经过的路程．
【答案】（1）；（2）米．
【分析】（1）根据转速，求出内转的圈数，乘以，即可得出答案；
（2）根据（1）中每转过的弧度数，然后利用弧长公式即可得出答案．
【解析】（1）飞轮转速（转分）（转秒），
而且飞轮作逆时针旋转，所以它每转过的弧度数为．
（2）轮周上一点每所转过的弧长为米．
4．设是第一象限角，试探究：
（1）一定不是第几象限角？
（2）是第几象限角？
【答案】（1）一定不是第三、四象限角；（2）是第一、二、三象限角．
【分析】根据是第一象限角，得到，再判断即可．
【解析】（1）因为是第一象限角，即，
所以，所以一定不是第三、四象限角；
（2）因为是第一象限角，即，
所以，
当时，，是第一象限；
当时，，是第二象限；
当时，，是第三象限；
当时，，是第一象限；
综上：是第一、二、三象限角．
5．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．
【答案】答案见详解
【分析】（1）结合图象，先分别表示终边落在两块区域的角的集合，再取并集即可；
（2）先写出在的范围内，阴影部分对应的角，再表示即可
【解析】（1）这是对顶角区域的表示问题，结合图象
终边落在阴影部分的角的集合可表示为
或
（2）在的范围内，阴影部分为
终边落在阴影部分的角的集合可表示为
6．在与530°角终边相同的角中，找出满足下列条件的角．
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】（1），（2），（3）
【分析】（1）写出与530°角终边相同的角为，，再根据，即可的解；
（2）根据，即可的解；
（3）根据，即可的解．
【解析】（1）与530°角终边相同的角为，，
由且，可得，故所求的最大负角；
（2）由且，可得，故所求的最小正角；
（3）由且，可得，故所求的角．
7．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
（1）求弦AB所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】（1），（2）；
【分析】（1）根据为等边三角形，可得，即可求解．
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解．
【解析】（1）由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以为等边三角形，，所以．
（2）因为，所以，
．
又，
所以．
8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面由扇形挖去扇形后构成的已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
（1）求关于的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值．
【试题来源】河北省衡水中学2020-2021学年高一上学期期末
【答案】（1）．（2）当时，取最大值．
【分析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；
（2）根据扇形面积公式求出关于的函数，从而得出的最大值．
【解析】（1）根据题意，可算得弧，弧，
，；
（2）依据题意，可知
，
当时，．
答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．
专题5.1 任意角和弧度制
1．象限角与轴线角
第一象限角的集合为；
第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；
第四象限角的集合为
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与坐标轴重合的角的集合为．
2．弧度制
用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
3．弧度与角度的换算
．
4．弧长公式
，其中的单位是弧度，与的单位要统一.
角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
5．扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
6．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN*）所在的象限．
7．象限角的判定有两种方法
（1）根据图象，其依据是终边相同的角的思想；
（2）先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．
一、单选题
1．扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省泉州市四校（永春一中、培元中学、季延中学、石光中学）2022届高三上学期第一次联考
【答案】A
【分析】根据已知条件，由扇形的面积公式即可求解．
【解析】因为扇形的中心角为120°，即因为扇形的中心角为，
又半径为，所以扇形的面积为．故选A．
2． 是
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试
【答案】D
【分析】根据终边相同的角以及象限角的定义即可求解．
【解析】，所以与角终边相同，是第四象限角．故选D．
3．下列角中终边与相同的角是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省龙岩第一中学2022届高三上学期第二次月考
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的集合表示即可得出答案．
【解析】与角终边相同的角的集合为，
当时，可得．故选B．
4．钟的时针和分针一天内会重合
A．21次 B．22次
C．23次 D．24次
【试题来源】云南省楚雄天人中学2019-2020学年高一5月月考
【答案】B
【分析】根据一天24小时中时针和分针转的圈数求解．
【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，
所以分针比时针多转的圈数是24-2=22，因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合22次，故选B
5．角为2弧度角的终边在第______________象限．
A．一 B．二
C．三 D．四
【试题来源】上海市西南高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考
【答案】B
【分析】根据题意得到2弧度，再判断象限即可．
【解析】2弧度，为第二象限角．故选B
6．已知扇形OAB的周长是60 cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】河北省衡水市武强中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】B
【分析】由弧长公式以及扇形的面积公式，结合二次函数的性质求解即可．
【解析】设半径为，圆心角的弧度数为，则，即，
则扇形OAB的面积为，
当时，扇形OAB的面积最大，此时圆心角的弧度数为，故选B
7．已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是
A．1 B．2
C． D．4
【试题来源】贵州省镇远县文德民族中学校2020-2021学年高一3月月考
【答案】A
【分析】由扇形面积公式求解．
【解析】因为扇形的半径为2，面积是2，
所以，解得，故选A
8．下列各角中，与终边相同的角为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】B
【分析】写出与终边相同的角的集合，取k值即可得出结果．
【解析】与终边相同的角的集合为，
当时，得．故选B
9．终边在轴的正半轴上的角的集合是
A． B．
C． D．
【试题来源】2021年山东省春季高考数学真题
【答案】A
【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【解析】终边在轴正半轴上的角的集合是，故选A
10．与角终边相同的角的集合是
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的定义可得．
【解析】，
所以与角终边相同的角的集合是．故选B．
11．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省张家口市2020-2021学年高一上学期期末
【答案】A
【分析】由题可得分针需要顺时针方向旋转．
【解析】分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为．故选A．
12．角的终边落在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】广东省肇庆市第一中学2022届高三上学期9月教学质量检测
【答案】D
【分析】根据周期性知与终边相同，即知终边所在的象限．
【解析】由，即与终边相同，
所以在第四象限．故选D
13．已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是
A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】C
【分析】由题设知且，求的范围，进而判断其所在的象限．
【解析】由题意，且，则，
所以角的范围是第一或第三象限角的集合．故选C
14．角的终边所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 三 弧度制
【答案】D
【分析】根据终边相同的角的定义和表示方法得到角与角是终边相同的角，结合象限角的定义即可得出结果．
【解析】因为，所以角与角是终边相同的角，
又，所以角的终边在第四象限．故选D
15．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在
A．8点处 B．10点处
C．11点处 D．12点处
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 一 周期变化
【答案】B
【分析】利用时钟的周期为60分钟，分析100分是多少个周期，由此即可得到答案．
【解析】一个周期是60分钟，则100分钟是一个周期，故100分钟后分针指在10点处．
故选B
16．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高一下学期期末模拟
【答案】B
【分析】首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可．
【解析】设该扇形半径为，因为圆心角，弧长，
所以扇形弧长公式可得，，解得，．故选B．
17．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为
A． B．
C． D．
【试题来源】全国百所名校2022届高三上学期大联考调研试卷（二）
【答案】B
【分析】根据给定条件利用扇形面积公式直接计算即得．
【解析】因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，
则由扇形面积公式得，而，解得，
所以该扇形所在圆的半径为2．故选B
18．角的终边所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】安徽省宿州市砀山中学2021-2022学年高二上学期第一次质量检测
【答案】C
【分析】将角化为（）的形式，由此确定正确选项．
【解析】，在第三象限．故选C
19．下列各角，与330°角的终边相同的角是
A．510° B．150°
C．-150° D．-390°
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【答案】D
【分析】根据终边相同角的表示即可求解．
【解析】与330°角的终边相同的角为，
当时， ，故选D
20．钟表的分针在1.5小时内转了
A．180° B．-180°
C．540° D．-540°
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【答案】D
【分析】根据任意角的定义即可得出选项．
【解析】根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ，故选D
21．下列命题中正确的是
A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限角 D．第一象限角一定是锐角
【答案】C
【分析】明确锐角、钝角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项．
【解析】A不正确，如就是第一象限角．
B不正确，如是小于的角，但并不是锐角．
C正确，因为钝角大于且小于，它的终边一定在第二象限．
D不正确，如就是第一象限角，但并不是锐角．故选C．
22．若，则角的终边在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】变换得到，根据得到答案．
【解析】，，故角的终边在第一象限．故选A．
23．在半径为15cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为
A．5 B．
C． D．
【试题来源】山西省朔州市怀仁一中云东校区2019-2020学年高一下学期期中
【答案】D
【分析】用扇形面积公式求解
【解析】由已知得扇形的半径，扇形所对的圆心角为，
则此扇形的面积为．故选D．
24．如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为
A．4 B．
C． D．2
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 章末培优专练
【答案】D
【分析】连接，得出，再由扇形的面积公式求解即可．
【解析】记月牙形图形的面积为，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为，连接OC
因为，
所以．故选D．
25．如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是
A． B．
C． D．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】D
【分析】求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解．
【解析】因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，
所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为，
设之后从起始位置转过的角为，故选D．
26．下列转化结果正确的是
A．60°化成弧度是 B．化成角度是30°
C．1°化成弧度是180rad D．化成角度是
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】D
【分析】根据弧度制与角度制的互化：即可求解．
【解析】对于A，60°化成弧度是，故A不正确；
对于B，化成角度是，故B不正确；
对于C，1°化成弧度是，故C不正确；
对于D，1rad化成角度是，故D正确．故选D．
27．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为
A．2 B．1
C． D．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】C
【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【解析】因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，
故扇形所在圆的半径，扇形的面积为，故选C．
28．在直径为的圆中，圆心角所对的弧长为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市毛坦厂中学2021-2022学年高三上学期9月月考
【答案】B
【分析】先将角度转化为弧度，再由弧长公式即可求解
【解析】因为圆的直径为，所以圆的半径
因为，所以圆心角所对的弧长为，故选B．
29．已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的周长是
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】A
【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长．
【解析】设扇形的半径为，则，故，
故弧长为，故该扇形的周长为，故选A．
30．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于
A．π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
【试题来源】 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）
【答案】B
【分析】由圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm解直角三角形求圆的半径，再由弦长公式求弦长．
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝，得r＝4cm，
所以l＝|α|·r＝×4＝cm，故选B．
31．下列说法中，错误的是
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】D
【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可．
【解析】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；
1rad的角是，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，
故D错误．故选D
32．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省商开大联考2020-2021学年高一下学期期末考试
【答案】D
【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解．
【解析】设扇形的半径为，所对弧长为，
则有，解得，故． 故选．
33．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市第一中学校2022届高三上学期9月月考
【答案】B
【分析】把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算．
【解析】．．故选B．
34．把化成角度是
A． B．
C． D．
【试题来源】广西梧州市藤县第六中学2020-2021学年高一下学期期末热身考
【答案】B
【分析】利用弧度和角度的关系，即得解
【解析】由题意，，故选B.
35．与角的终边相同的角的表达式中，正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）
【答案】C
【分析】要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可．
【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，所以正确．故选．
36．如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省金太阳百校联考2021-2022学年高三上学期10月月考
【答案】B
【分析】首先确定当时针指向，分针指向时，时针与分针的夹角，减掉分针指向时，时针由向移动的弧度即可得到结果．
【解析】表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为；
当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为；
但当分针指向时，时针由向移动了；
该时刻的时针与分针所夹钝角为．故选B．
37．已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省赣州市赣县第三中学2022届高三上学期期中适应考试
【答案】D
【分析】根据公式求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求出答案．
【解析】由得，所以该扇形的面积为．故选D．
38．八点二十分这个时刻同学们一定不陌生，因为那是我们学校第一节课上课的时刻．请你联想或观察黑板上方的钟表，对下面的问题做出选择：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省嘉峪关市第一中学2020-2021学年高一下学期期末
【答案】C
【分析】分别求出八点二十分，时针和12点方向半径的夹角及分针和12点方向半径的夹角即可求解．
【解析】如图示：记从表盘中心（圆心）O到12点方向的半径为OA，8：20时分针方向为OB，时针方向为OC．
则，
所以，
即八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为．故选C
39．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省宁冈中学2022届高三10月份段考
【答案】D
【分析】若圆锥底面半径为，母线长为，由已知及圆锥侧面积公式、底面积公式可得，再由扇形的弧长公式即可求圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角．
【解析】由题设，若圆锥底面半径为，母线长为，
所以由圆锥的全面积是底面积的3倍，则，即，
设圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为，则，可得．故选D
40．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
【试题来源】甘肃省静宁县第一中学2020-2021学年高一（实验班）下学期第一次月考
【答案】C
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解．
【解析】设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，当时，可得；
当时，可得，故选C．
二、多选题
1．下列给出的各角中，与的终边相同为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省连云港市板浦高级中学2020-2021学年高一上学期11月月考
【答案】AB
【分析】根据终边相同的两个角的性质进行判断即可．
【解析】终边相同的两个角的差是的整数倍．
A：因为，所以与的终边相同，符合题意；
B：因为，所以与的终边相同，符合题意；
C：因为，所以与的终边不相同，不符合题意；
D：因为，所以与的终边不相同，不符合题意，故选AB
2．若为第一象限角，则的终边所在的象限可能是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】AC
【分析】由题设，进而求的范围，即可判断终边所在的象限．
【解析】由题设，，，
所以，令，
所以，故的终边所在的象限可能是第一、三象限．故选AC
3．有一个小于的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角可以为
A． B．
C． D．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】ACD
【分析】由题设知且，结合即可判断的可能值．
【解析】由题意，且，则，又，
所以时，；时，；时，；时，；时，；故选ACD
4．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是
A． B．
C．2 D．或
【试题来源】2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）
【答案】AC
【分析】根据弧长公式和面积公式即可求解．
【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则，
所以解得 或，则或1．故选AC．
5．下列与角的终边不相同的角是
A． B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
【试题来源】2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）
【答案】ABD
【分析】根据终边相同的角的定义即可判断．
【解析】与角的终边相同的角为，
其余三个角的终边与角的终边不同．故选ABD．
6．下列四个选项中正确的是
A．-75°角是第三象限角 B．225°角是第二象限角
C．475°角是第二象限角 D．-315°是第一象限角
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】CD
【分析】根据象限角的定义结合图象逐一判断即可得出答案．
【解析】对于A，如图1所示，-75°角是第四象限角，故A错误；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角，故B错误；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角，故C正确；对于D，如图4所示，-315°角是第一象限角，故D正确．故选CD．
7．与角终边相同的角是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高一上学期期末
【答案】BD
【分析】写出终边相同的角的集合，再判断选项．
【解析】与角终边相同的角的集合是，
当时，，当时，．故选BD
8．若且与角的终边垂直，则是
A． B．
C． D．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 三 弧度制
【答案】AD
【分析】首先求出与角共终边的角，再根据已知条件即可求解．
【解析】由题意，易知，，因为与角的终边垂直，
所以，即，或，，
对于选项A：，，故A正确；
对于选项B：，可知，；
，可知，，故B错；
对于选项C： ，可知，；
，可知，，故C错；
对于选项D：，可知，，故D正确．故选AD．
9．与终边相同的角的表达式中，正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 易错疑难集训一
【答案】CD
【分析】根据终边相同角的表示判断可得；
【解析】由弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误，与终边相同的角的集合是，经验证选项C，D正确．故选CD
10．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的2倍
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 全章综合检测
【答案】BC
【分析】利用扇形面积公式和弧长公式的变形即可求解．
【解析】设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则原扇形的面积为，
扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为，
故，故A错误，C正确；
由，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误．故选BC．
三、填空题
1．若，则角的终边在第__________象限．
【试题来源】宁夏银川三沙源上游学校2020-2021学年高一下学期月考（二）
【答案】三
【分析】根据，即可判断角所在象限．
【解析】，所以角的终边在第三象限．
故答案为三
2．半径为的圆中，的圆心角所对的弧的长度为__________．
【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试
【答案】
【分析】根据扇形的弧长公式即可求解．
【解析】，所以弧长为．故答案为．
3．若一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为__________．
【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高一下学期开学测试
【答案】
【分析】根据扇形面积公式直接构造方程求得结果．
【解析】设扇形的半径为，则，解得．
故答案为．
4．是第__________象限的角．
【试题来源】上海市西南高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考
【答案】一
【分析】把给定角化成形式，判断角所在象限即可得解．
【解析】因，而是第一象限的角，
所以是第一象限的角．
故答案为一
5．化成弧度是__________．
【试题来源】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】
【分析】根据计算即可
【解析】由题意得．
故答案为
6．-1104°是第__________象限角．
【试题来源】广东省梅州市大埔县田家炳实验中学2022届高三上学期第二次月考
【答案】四．
【分析】变形得，通过判断所在象限，得所在象限．
【解析】，
又是第四象限角，所以也是第四象限角．
故答案为四．
7．已知角的终边关于原点对称，则间的关系为__________．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】
【分析】由题设是的奇数倍，写出的集合即可．
【解析】由题意，为的奇数倍，
所以．故答案为
8．已知扇形的弧长为，半径为1，扇形的面积为__________．
【试题来源】山东省菏泽市东明县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据扇形面积公式求得正确答案．
【解析】依题意可知，扇形面积为．故答案为
9．若角与角的终边相同，则__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【分析】根据终边相同的角的定义直接写出即可．
【解析】因与角终边相同连同角在内的角的集合为，
而角与角的终边相同，则，即，
所以．
故答案为
10．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为12的扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为__________．
【试题来源】湖南省150多所名校2021-2022学年高三上学期10月联考
【答案】
【分析】先求得，然后求得扇形的弧长．
【解析】，则该扇形的弧长．
故答案为
11．已知扇形的弧长是6，圆心角是2弧度，则该扇形的半径是__________．
【试题来源】上海市吴淞中学2022届高三上学期期中
【答案】3
【分析】结合扇形弧长公式可直接求解．
【解析】由．
故答案为3
12．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为__________．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】2
【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【解析】，扇形AOB的面积为，
所以，解得．
故答案为2
13．一扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则该扇形的圆心角为__________．
【试题来源】河南省信阳市浉河区新时代学校2020-2021学年高一下学期第三次阶段教学质量检测
【答案】
【分析】根据弧长公式，扇形的面积公式即可求出．
【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，
则，解得 ，所以，即圆心角的弧度数为．
故答案为．
14．已知，则按从小到大排列为__________．
【试题来源】江西省靖安中学2020-2021学年高一上学期第二次月考
【答案】
【分析】化为弧度，比较大小即可求解．
【解析】，
，
故答案为
15．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为__________．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 三 弧度制
【答案】
【分析】先算出扇形的面积，再求出内切圆的半径进而求出圆的面积，最后在作比可求出答案．
【解析】因为扇形圆心角为，半径为a，所以扇形的面积S1==．
因为扇形的内切圆圆心在圆心角的角平分线上，
所以内切圆的半径为，所以内切圆的面积为．
所以扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为：=
故答案为
16．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市实验中学2021-2022学年高三第三次月考
【答案】
【分析】设圆的半径为，根据圆心角与弦长、半径关系求，再由弧长公式求圆心角所对的弧长．
【解析】若圆的半径为，则，可得，
所以圆心角所对的弧长．故答案为
17．如图，在菱形ABCD中，，以B为圆心，AB长度为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积为__________．
【试题来源】重庆市育才中学校2020-2021学年高一上学期入学考试
【答案】
【分析】利用总面积减去扇形面积来求得阴影部分的面积．
【解析】依题意可知，阴影部分面积为．
故答案为
18．角的终边落在第一、三象限角平分线上，则角的集合是__________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 学习帮手 第七章 7．1．1 角的推广
【答案】
【分析】分别写出终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合，再求这两个集合的并集即可．
【解析】终边落在第一象限角平分线上的角的集合为
，
终边落在第三象限角平分线上的角的集合为
，
于是有，
所以角的集合是．
故答案为
19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为__________平方步．
【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高三上学期期中
【答案】120
【分析】利用扇形的面积公式求解．
【解析】由题意得扇形的弧长为30，半径为8，
所以扇形的面积为，
故答案为120
20．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为__________平方米．（其中，）
【试题来源】2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）
【答案】16
【分析】根据已知条件求出半径和圆心到弦的距离，再根据经验公式计算出弧田的面积，根据实际面积等于扇形面积减去三角形面积求出实际面积，从而可得答案．
【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为20m，半径为40m，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为平方米，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为平方米，因此两者之差为平方米．
故答案为16．
四、解答题
1．把下列角度化成弧度：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），（2），（3），（4）
【分析】利用角度制与弧度制的转化公式直接计算即可．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．（1）写出与角终边相同的角的集合M；
（2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角；
（3）若角且，求角．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二 任意角
【答案】（1）；（2），第四象限角；（3）．
【分析】（1）根据，写出终边相等的角的集合即可．
（2）利用周期性，写出与终边相同的最小正角，进而判断所在的象限．
（3）由（1）所得范围，结合给定的范围写出角．
【解析】（1）由终边相同的角的概念得．
（2）因为，而是第四象限角，
所以是第四象限角．
（3），又且，
所以取得，．
3．蒸汽机飞轮的直径为1．2m，以300（转/分）的速度作逆时针旋转，求：
（1）飞轮1s内转过的弧度数；
（2）轮周上一点1s内所经过的路程．
【答案】（1）；（2）米．
【分析】（1）根据转速，求出内转的圈数，乘以，即可得出答案；
（2）根据（1）中每转过的弧度数，然后利用弧长公式即可得出答案．
【解析】（1）飞轮转速（转分）（转秒），
而且飞轮作逆时针旋转，所以它每转过的弧度数为．
（2）轮周上一点每所转过的弧长为米．
4．设是第一象限角，试探究：
（1）一定不是第几象限角？
（2）是第几象限角？
【答案】（1）一定不是第三、四象限角；（2）是第一、二、三象限角．
【分析】根据是第一象限角，得到，再判断即可．
【解析】（1）因为是第一象限角，即，
所以，所以一定不是第三、四象限角；
（2）因为是第一象限角，即，
所以，
当时，，是第一象限；
当时，，是第二象限；
当时，，是第三象限；
当时，，是第一象限；
综上：是第一、二、三象限角．
5．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．
【答案】答案见详解
【分析】（1）结合图象，先分别表示终边落在两块区域的角的集合，再取并集即可；
（2）先写出在的范围内，阴影部分对应的角，再表示即可
【解析】（1）这是对顶角区域的表示问题，结合图象
终边落在阴影部分的角的集合可表示为
或
（2）在的范围内，阴影部分为
终边落在阴影部分的角的集合可表示为
6．在与530°角终边相同的角中，找出满足下列条件的角．
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章
【答案】（1），（2），（3）
【分析】（1）写出与530°角终边相同的角为，，再根据，即可的解；
（2）根据，即可的解；
（3）根据，即可的解．
【解析】（1）与530°角终边相同的角为，，
由且，可得，故所求的最大负角；
（2）由且，可得，故所求的最小正角；
（3）由且，可得，故所求的角．
7．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
（1）求弦AB所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第5章 第一节 课时2 弧度制
【答案】（1），（2）；
【分析】（1）根据为等边三角形，可得，即可求解．
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解．
【解析】（1）由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以为等边三角形，，所以．
（2）因为，所以，
．
又，
所以．
8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面由扇形挖去扇形后构成的已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
（1）求关于的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值．
【试题来源】河北省衡水中学2020-2021学年高一上学期期末
【答案】（1）．（2）当时，取最大值．
【分析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；
（2）根据扇形面积公式求出关于的函数，从而得出的最大值．
【解析】（1）根据题意，可算得弧，弧，
，；
（2）依据题意，可知
，
当时，．
答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．
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