湖南省长沙一中双语实验学校2021-2022学年下学期八年级期末数学试卷(word版含答案)

2021-2022学年湖南省长沙一中双语实验学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 对四边形加条件，使之成为平行四边形，下面的添加不正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. 与相互平分

4. 如图，在菱形中，已知的周长是，则菱形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列说法正确的是(    )

A. 了解某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查
B. 数据，，，，的中位数是
C. 数据，，，，，的众数是和
D. 甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明乙的射击成绩比甲稳定

6. 一元二次方程配方后化为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是(    )

A. 体育场离小明家
B. 体育场离文具店
C. 小明从体育场出发到文具店的平均速度是
D. 小明从文具店回家的平均速度是

9. 二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 周末晚会上，师生共有人参加跳舞，其中方老师和个学生跳舞，张老师和个学生跳舞依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算：的结果为______．
12. 抛物线的顶点坐标是______．
13. 若一组数据，，，，，的平均数是，则这组数据的众数是________。
14. 一次函数上有两个点，，且，，则，的大小关系为______填“”或者“”．
15. 要函数开口向上，则______ ．
16. 如图是棱长为的立方体木块，一只蚂蚁现在点，若在点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，直线与，轴交于点，，直线与，轴交于点，，这两条直线交于点．
    求点坐标；
    若为轴正半轴上一点，当的面积为时，求的坐标．

19. 本小题分
    已知：如图，、是平行四边形的对角线所在直线上的两点，且．
    求证：四边形是平行四边形．

20. 本小题分
    为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：
    
    本次接受随机抽样调查的中学生人数为______，图中的值是______；
    Ⅱ求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
    Ⅲ根据统计数据，估计该地区名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于的人数．
21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    若此方程的一个实数根为，求的值及方程的另一个实数根．
22. 本小题分
    某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园如图所示，其中一边靠墙墙长为，另外三边用的篱笆围成．
    令苗圃园长平行于墙的边长为，宽为，写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
    若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少米？
    苗圃园的面积能否达到？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．

23. 本小题分
    已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求四边形的面积．

24. 本小题分
    在关于的函数中，对于实数，，当且时，函数有最大值，最小值，设，则称为的“极差函数”此函数为关于的函数；特别的，当为一个常数与无关时，称有“极差常函数”．
    判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应内画“”，如果不是，请在对应内画“”．(    )
    ______；
    ______；
    ______
    关于的一次函数，它与两坐标轴围成的面积为，且它有“极差常函数”，求一次函数解析式；
    若，当时，写出函数的“极差函数”；并求的取值范围．
25. 本小题分
    如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点．
    
    求此抛物线的解析式；
    若抛物线的顶点为，点为线段上一动点不与点重合，点在线段上移动，且，设线段，，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；并直接写出的值；
    在同一平面直角坐标系中，两条直线，分别与抛物线交于点，，与中的函数图象交于点，问四边形能否为平行四边形？若能，求，之间的数量关系；若不能，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据算术平方根的定义对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，属于基础题．
判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】
解：、，故A选项构不成直角三角形；
B、，故B选项构不成直角三角形；
C、，故C选项构成直角三角形；
D、，故D选项构不成直角三角形．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形或梯形，
，，
四边形是平行四边形，
与相互平分，
四边形是平行四边形，
故选B．
根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，是对角线，
，，
，
是等边三角形，
的周长是，
，
菱形的周长是．
故选：．
由于四边形是菱形和是对角线，根据菱形对角线性质可求，而，易证是等边三角形，结合的周长是，从而可求，那么就可求菱形的周长．
本题主要考查了菱形的性质和等边三角形的判定、性质，解题的关键是证明是等边三角形．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用方差的意义以及中位数的定义和众数的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了方差的意义以及中位数的定义和众数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【解答】
解：、了解某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，故此选项错误；
B、数据，，，，按从小到大的顺序排序为：，，，，，
故中位数是：，故此选项错误；
C、数据，，，，，的众数是和，正确；
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选A．
先把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图像解析式为：
．
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知，体育场离小明家，故选项A不合题意；
由图象可知，小明家离文具店千米，离体育场千米，所以体育场离文具店千米，故选项B不合题意；
小明从体育场出发到文具店的平均速度为：，故选项C符合题意；
小明从文具店回家的平均速度是，故选项D不合题意．
故选：．
因为小明从家直接到体育场，故第一段图象所对应的轴的最高点即为体育场离小明家的距离；
小明从体育场到文具店是减函数，此段图象最高点与最低点纵坐标的差为小明家到文具店的距离；
根据“速度路程时间”即可得出小明从体育场出发到文具店的平均速度；
先求出小明家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，求出二者的比值即可．
本题考查了图象，正确理解图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
 

9.【答案】 

【解析】解：的图象的开口向下，
，
对称轴在轴的左侧，
，
一次函数的图象经过二，三，四象限．
故选：．
由的图象判断出，，于是得到一次函数的图象经过二，三，四象限，即可得到结论．
本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断、的取值范围．
 

10.【答案】 

【解析】解：设参加跳舞的老师有人，则第一个是方老师和个学生跳过舞；第二是张老师和个学生跳过舞；第三个是王老师和个学生跳过舞，第个是何老师和个学生跳过舞，所以有，
解得，则参加跳舞的学生人数为．
故选：．
可以设有个老师，根据第一个老师和个学生跳过舞；第二个老师和个学生跳过舞，根据规律可知第个是何老师和个学生跳过舞，根据总人数是人，即可得解．
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
故答案为：．
先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．
本题考查了对二次根式的乘除法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为．
故答案为：．
直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

13.【答案】和 

【解析】

【分析】
主要考查了众数和平均数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数．要注意本题有两个众数．
根据平均数先求出，再确定众数．
【解答】
解：因为数据的平均数是，
所以．
根据众数的定义可知，
众数为和．
故答案为：和．  

14.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随的增大而减小．
，
．
故答案为：．
先根据题意判断出函数的增减性，再由两点横坐标的大小即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数开口向上，
，即．
已知函数开口向上，二次项系数，可求的范围．
主要考查了二次函数的性质．二次函数为常数，，决定函数的开口方向．
 

16.【答案】 

【解析】解：将点和点所在的面展开为矩形，为矩形对角线的长，
矩形的长和宽分别为和，
．
故蚂蚁沿正方体的最短路程是．
根据“两点之间线段最短”，将点和点所在的各面展开，展开为矩形，为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离．
本题的关键是将蚂蚁所走的最短路程转化为求矩形的对角线的长．
 

17.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
方程没有实数根． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：解方程组得：
；
由得：，，
由得：，，
设，
则：，
解得：，
． 

【解析】先把两个函数的解析式联立方程组，再求解，得出交点坐标；
设点的坐标，列方程求解．
本题考查了一次函数的应用，理解函数与方程组的关系是解题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，连接，交于点．
四边形是平行四边形，
，．
又，
，即，
四边形是平行四边形 

【解析】连接，交于点，欲证明证明四边形是平行四边形，只需证得，．
本题考查了平行四边的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：；；
Ⅱ平均数为，
众数为，中位数为；
Ⅲ估计每天在校体育锻炼时间大于等于的人数约为人． 

【解析】

【分析】
本题考查平均数、众数、中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
由人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为可得的值；
Ⅱ根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；
Ⅲ总人数乘以样本中每天在校体育锻炼时间大于等于的人数所占比例可得．
【解答】解：本次接受随机抽样调查的中学生人数为人，
，
故答案为；；
Ⅱ见答案；
Ⅲ见答案．  

21.【答案】解：方程有两个实数根，
，即，
解得．
故的取值范围是；
把代入方程可得，解得，
方程为，
解得，，
即方程的另一个实数根为． 

【解析】由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．
本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到根的判别式的符号是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得：，
，
，
关于的函数关系式为，的取值范围为；
设苗圃园的面积为，
由知，，
令，
则，
解得：，舍去，
平行于墙的边长，
垂直于墙的边长为；
由知，
令，
则，
整理得：，
，
方程无实数解，
苗圃园的面积不能达到；
，
，
当时，有最大值，最大值为，
当平行于墙的边长为时，苗圃园的面积最大值． 

【解析】根据篱笆的长为米．列出关于的函数关系式，并根据墙长为，矩形的边长大于求出的取值范围；
设苗圃园的面积为，根据矩形的面积公式写出关于的函数解析式，令，解关于的一元二次方程，取在范围的解即可；
先令得到关于的一元二次方程，再根据，可知苗圃园面积不能达到；根据二次函数的性质求最值即可．
此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
平行四边形是矩形，
故四边形是矩形；

解：，，
，
，
是等边三角形，
，
在菱形中，
由勾股定理，
四边形是菱形，
，
四边形的面积 

【解析】根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形；
证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可求出四边形的面积．
本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】     

【解析】解：是一次函数，且随值的增大而增大，
，
是“极差常函数”，
故答案为：；
是一次函数，且随值的增大而减小，
，
是“极差常函数”，
故答案为：；
是二次函数，函数的对称轴为直线，
当时，；
当时，；
不是“极差常函数”，
故答案为：；
当时，，
函数与轴的交点为，
当时，，
函数与轴的交点为，
，
，
当时，，
，
，
函数的解析式为；
当时，，
，
，
函数的解析式为；
综上所述：函数的解析式为或；
，
函数的对称轴为直线，
，
，
，
，，
，，
当时，有最大值，
当时，有最小值，
，
，
．
由一次函数的性质可知，则是“极差常函数”；
由一次函数的性质可知，则是“极差常函数”；
由二次函数的性质可知，当时，不是常数，则不是“极差常函数”，
根据一次函数的图象及性质可得，再分两种情况讨论：当时，；当时，；分别求出、的值即可求函数的解析式；
函数的对称轴为直线，由的范围确定，，由此可得当时，有最大值，当时，有最小值，则，，再由的范围确定的范围即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将“极差函数”与一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质结合解题是关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过，两点；
，
解得．
抛物线的解析式为；

作，垂足为，

由得，，，；
，，，；
根据勾股定理有：，
；
；
由得：，
点为线段上一动点不与点重合，
，
与的函数关系式为，
，
，
，
∽，
，
，
，即的值为；

四边形可以为平行四边形，、之间的数量关系是：；

点、是抛物线分别与直线，的交点，
点、坐标为，；
同理，点、坐标为，
，；
四边形是平行四边形，，
，
；
由题意知，
；
因此，四边形可以为平行四边形，、之间的数量关系是． 

【解析】将、的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出的函数解析式；
过作轴于，根据抛物线的函数解析式，即可得到点的坐标，可分别在和中，用勾股定理表示出的长，由此可得到关于、的函数关系式；由，联立两式即可求出、的函数关系式，易证得∽，根据相似三角形得到的比例线段即可得到，求出，即可求解；
根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出、、、四点的坐标，即可得到、的长，由于，若四边形是平行四边形，那么必有，可据此求出、的数量关系．
此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，平行四边形的性质，综合性较强，难度较大．