广西省南宁市2021-2022学年八年级（下）期末数学试卷(解析版)

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广西省南宁市2021-2022学年八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图象中，不能表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列二次根式中，可与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，，，则点到的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 我市五月份连续五天的日最高气温单位：分别为，，，，，这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

5. 如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

7. 对于抛物线，下列判断正确的是(    )

A. 顶点
B. 抛物线向左平移个单位长度后得到
C. 抛物线与轴的交点是
D. 当时，随的增大而增大

8. 如图，在▱中，，于，交于点，为的中点，连接，若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；若，是图象上的两点，则；；若方程没有实数根，则；中正确的是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 如图，在矩形中，交于点，点在上，连接交于点，且，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 若关于的一元二次方程的一个根是，则______．
14. 直线沿轴向下平移个单位长度，则平移后直线解析式为______．
15. 如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的周长为______．

16. 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______．

17. 如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽米、高米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为______米．

18. 如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线与的交角内部作等腰，使，边轴，轴，点在直线上，点在直线上，的延长线交直线于点，作等腰，使，轴，轴，点在直线上按此规律，则等腰的腰长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    解方程：．
21. 本小题分
    图中所给的直线是一次函数的图象．
    请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
    求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置；
    根据图象，当时，直接写出的取值范围．

22. 本小题分
    月日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从七、八年级中各随机抽取了名同学的成绩满分为分．
    收集数据：

整理数据：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：
请直接写出表格中，，，的值．
通过数据分析，你认为哪个年级学生的成绩比较好？请说明理由．
若该校七、八年级共有人，本次竞赛成绩不低于分的为“优秀”，试估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”．

23. 本小题分
    如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．
    求证：四边形为矩形；
    若，，，求的长．

24. 本小题分
    年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为元，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量单位：与销售单价单位：元满足的函数图象如图所示．
    根据图象信息，求与的函数关系式；
    当销售单价为元时，销售荔枝获得的利润是多少元？
    求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．

25. 本小题分
    综合实践数学活动折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
    动手操作对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图，求的度数；
    拓展延伸如图，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，求证：四边形是菱形；
    解决问题如图，矩形纸片中，，，点是边上的一动点，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕过点，交边于点，把纸片展平．请你求出线段长度的取值范围．
     

26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点，与轴交于点、且点，，抛物线的对称轴与交于点．
    求二次函数的解析式；
    若点是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值；
    若点是抛物线上一点，在直线上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，不是有唯一的值和它对应，所以不能表示是的函数，故D符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，判断即可．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，，不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，，是同类二次根式，能合并，故该选项符合题意；
故选：．
根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可．
本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
根据勾股定理逆定理得，是直角三角形，，
所以，点到的距离是．
故选：．
利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，再根据点到直线的距离的定义解答．
本题考查了勾股定理逆定理，点到直线的距离的定义，熟记定理并判断出三角形是直角三角形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：把所给数据按照由小到大的顺序排序后为，，，，，
中位数为，众数为．
故选：．
首先把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后利用中位数和众数定义即可求出．
此题考查了中位数、众数的求法：
给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．一组数据是不一定存在众数的；如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
 

5.【答案】 

【解析】解：、分别为、的中点，
是的中位线．
，即．
，
．
故选：．
由题意可得，是的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可．
本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且．
故选：．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，
抛物线的顶点，故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，即本选项不符合题意，
C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，本选项符合题意，
D、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：．
根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质二次函数的图象与几何变换，根据二次函数的性质和平移的规律逐一对照四个选项即可得出结论．
 

8.【答案】 

【解析】解：，

四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据已知可得，因为为的中点，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得，从而求出的度数，进而利用已知，证明是等腰三角形，求出，最后利用三角形的内角和即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由二次函数的图象可得，，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：．
根据二次函数的图象可以得到、的正负，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为．
故选：．
设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，利用八月份的产量六月份的产量产量的月平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
，
结论不正确．
抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点，
，
结论正确．
抛物线与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
当时，
结论正确．
的最大值是，
方程没有实数根，则，
结论正确．
抛物线的对称轴，
，
，
，
，
结论正确．
综上，可得正确结论的序号是：．
故选：．
根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可．
根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可．
根据抛物线与轴的一个交点在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可．
根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可．
首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接交于点，连接，令交于点，
，
，
又四边形是矩形，
，，，
是的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
设，
则，
，，
，
，
在中，，
又，
，
四边形是矩形，
，
，
解得：，
，
故选：．
连接交于点，连接，令交于点，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，解方程求出的值，即可求出的值．
本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得，然后解的一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线沿轴向下平移个单位长度，则平移后直线解析式为，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
菱形的周长为．
故答案为：．
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的周长．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，
根据题意得，
解得：，
解得：或舍去，
故大正方形的边长为，
故答案为：．
设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意列出方程组，即可求得．
本题考查了勾股定理的证明，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：
建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得：
，，
设抛物线解析式为，把代入，得
，
所以抛物线的解析式为，
当时，，
．
所以通过隧道车辆的高度限制应为米．
故答案为．
首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，
直线与直线的内部作等腰，是，边轴，轴，点在直线上，
，
点在直线上，
，
解得，
等腰的腰长为，
，
的坐标为，
设，则，
点在直线上，
，
解得，
等腰的腰长为，
，
，
设，则，
点在直线上，
，
解得，
等腰的腰长为，
以此类推，
，即等腰的腰长为，
，即等腰的腰长为，

，等腰的腰长为，
，等腰的腰长为，
故答案为：．
设，利用两个函数解析式求出点、的坐标，然后求出的长度，再根据轴，轴，利用求出点的坐标，，则利用求出点，从而得到的长度，以此类推，求出、，从而得出规律即可得解．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】首先利用二次根式的性质以及结合绝对值的性质和零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质、二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
解得，． 

【解析】根据因式分解法解方程即可求解．
此题主要考查了解一元二次方程因式分解法，正确掌握因式分解法解方程的步骤是解题关键．
 

21.【答案】解：如图所示；

解得，，
，
点的位置如图所示；
由图象知，当时，的取值范围为． 

【解析】根据题意画出函数的图象即可；
解方程组即可得到结论；
根据函数的图象即可得到结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：观察八年级分的有人，故；
七年级的中位数为，故；
八年级的平均数为：，故；
八年级中分的最多，故；
七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综上，八年级的学生成绩好；
人，
估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有人． 

【解析】根据提供数据确定八年级分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；
利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；
用样本的平均数估计总体的平均数即可．
本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：由知，四边形为矩形，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，
即，
，
． 

【解析】先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论；
由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，设，
则，解得：，
当时，，
当时，，
．
当时，，
当荔枝的销售单价定为元千克时，荔枝的销售量为千克；
设利润为，则：
当时，，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
时，，
当时，，
随的增大而增大，
时，，
，
最大利润为元． 

【解析】分为和求解析式；
把代入中即可求解；
根据“利润售价成本销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
 

25.【答案】解：由折叠可得：，，，，
，
是等边三角形，
又，
，
；
证明：折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，
垂直平分，
，，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：如图，当点与点重合时，的长最大，

此时，
长的最大值为；
如图，当点与点重合时，的长最小，

设，则，
由折叠得，，
，，，
，
，
，
，

；
解得，
长的最小值为，
长的取值范围是． 

【解析】由折叠的性质可得，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可求解；
由折叠知垂直平分，再利用证明≌得，则四边形是平行四边形，进而证明结论；
当点与点重合时，的长最大，为；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理列方程求出此时的长，即可得出长的取值范围．
本题是四边形综合题，考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理及动点问题的探究等知识，解题的关键是把折叠问题抽象为轴对称问题，以便于用轴对称的性质解决问题，此题综合性较强，难度大，属于考试压轴题．
 

26.【答案】解：点，在抛物线上，
，
，
二次函数的解析式为；

如图，

，，
直线的解析式为，
点是抛物线的对称轴与直线的交点，
，
由知，二次函数的解析式为，
过点作轴交于，
设，
，
，
，
当时，，
即面积的最大值为；

抛物线的对称轴与交于点，
，
设，，
若，四边形为平行四边形，
，
解得或，
或；
若，四边形为平行四边形，同理求出；
若为对角线，则，
解得不合题意舍去或
综合以上可得出点的坐标为或或或． 

【解析】将点，坐标代入二次函数解析式中，建立方程求解，即可求出答案；
先确定出点坐标，直线的解析式，过点作轴交于，利用三角形面积公式得出，即可求出答案；
分为边和为对角线两种情况进行求解：当为平行四边形的边时，由建立方程求解；当为对角线时，由与互相平分建立方程组求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点的坐标时，分类讨论是解本题的难点．